6讲分布函数及概率密度优秀PPT.ppt

概率论与数理统计,第六讲,主讲教师：张冬梅 博士 副教授,浙江工业大学理学院,2.3,随机变量及其分布,随机变量的分布函数；,概率密度；,几种常见连续型随机变量分布,2.3.1,随机变量的分布函数,定义,1:,设,X,(,),是一个随机变量，称函数,F,(,x,)=P,X,x,-,x,为随机变量,X,的分布函数,。,性质：,(1).,a,b,总有,F,(,a,),F,(,b,)(,单调非减性,),；,(2).,F,(,x,),是一个右连续函数；,(3).,x,R,，总有,0,F,(,x,)1(,有界性,),，且,证明：,仅证,(1),。,因,a,X,b,=,X,b,-,X,a,，,P,a,Xb,=,P,X,b,-,P,X,a,=,F,(,b,),-,F,(,a,).,又,，因,P,a,X,b,0,，,故,F,(,a,),F,(,b,).,注意：,一个重要公式,:,P,a,0,，则称,X,服从参数为,和,的正态分布。,II.,正态分布 的图形特点,特点,“,两头低，中间高，左右对称,”,。,关于,X,=,对称的,钟形曲线,并在,x=,处达到最大值,正态分布 的图形特点,决定了图形的中心位置,决定了图形峰的陡峭程度。,这说明：曲线,f,(,x,),向左右伸展时，越来越贴近,x,轴。即,f,(,x,),以,x,轴为渐近线。,当,x,时，,f,(,x,),0,。,求导的方法可以证明：,为,f,(,x,),的两个拐点的横坐标。,x=,III.,正态分布 的分布函数,IV.,标准正态分布,称,N,(,0,1,),为标准正态分布，其,密度函数和分布函数常用,来,表示。,(,附录,),依据？,标准正态分布的重要性在于，,任何一个,一般的正态分布都可以通过线性变换转化为,标准正态分布。,根据定理,1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题。,定理,1,：,附录（,P289,）附有标准正态分布函数数值表，可以解决,一般正态分布,的概率计算问题。,V.,正态分布表,表中给出的是,x,0,时，,(,x,),的取值,;,若,X,N,(0,1),服从,N,(01),解,:,设车门高度为,h,，,按设计要求,P,(,X h,)0.01,，,或,P,(,X,h,),0.99,，,求满足上式的最小的,h,。,例,1,：,公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在,0.01,以下来设计的。,设某地区成年男性身高,(,单位,:,cm),X,N,(170,7.692),问车门高度应如何确定,?,因为,X,N,(,170,7.,69,2,),求满足,P,(,X,h,),0.99,的最小,h,。,故，当汽车门高度为,188,厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过,0.01,。,若,随机变量,X,的概率密度为：,则称,X,服从区间,a,b,上的均匀分布，记作X,U,a,b,2.,均匀,分布,(Uniform),(,注,:,也记作,X,U(,a,b,),),。,若,X,U,a,b,，则对于满足,a,c,d,b,的,c,和,d,，总有,指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命服从指数分布,。,定义：,若随机变量,X,具有概率密度,3.,指数分布,则称,X,服从参数为,的指数分布,，,记成,X,E(,),。,例,2,：,设某电子管的使用寿命,X,(,单位：小时,),服从参数,=0.0002,的指数分布，求,电子管使用寿命超过,3000,小时的概率。,解：,2.3.4,连续型,随机变量,的分布函数,即分布函数是密度函数的变上限积分。,由上式，得：,在,f,(,x,),的连续点，有,回忆：若,X,是连续型随机变量，,f,(,x,),是,X,的,密度函数，,F(,x,),是分布函数，则对任意,x,R,，总有,求连续型,随机变量的分布函数,例,4,：,设随机变量,X,的密度函数,解：,求,F,(,x,).,对,x,1,，有,F,(,x,)=1.,即,思考：均匀分布的分布函数是什么？,随机变量的分布函数；,三种常用的连续型随机变量：,正态分布，均匀分布,和,指数分布,；,离散型随机变量的概率分布和分布函数的关系，,连续型随机变量的概率密度和分布函数的关系等。,小结,