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CT 解析重建方法进展：从圆轨迹扫描
到多源直线扫描成像

摘要：从 1971 年 Hounsfield 完成世界上首次 X 射线计算机断层成像（CT）扫描以来，CT 技 术在扫描方式上经历了 5 代发展，并在医疗、安检等领域深刻地影响着人们的生活。在扫描 方式不断进步的同时，重建方法也在不断发展。与迭代算法相比，解析算法具有重建速度快、 误差分析简单以及占用运算资源小等特点，成为 CT 系统中常用的成像算法。本文以 CT 扫描 方式的发展为脉络介绍解析重建方法的发展，从经典的圆轨迹和螺旋轨迹扫描出发，到非标 准轨迹扫描，并介绍当前有关多源直线 CT 的研究进展。最后，我们展望 CT 系统的发展在未 来所面临的挑战。
关键词：X 射线计算机断层成像；CT 解析重建；非标准轨迹扫描；直线轨迹扫描；分布式光源 CT

X 射线计算机断层成像（computed tomography，CT）利用不同角度下 X 射线穿透被检 物体获得的投影数据，通过算法重建出物体断层图像或三维图像，解决了 X 射线透视成像 过程中存在的混叠和遮挡问题，可以实现空间各点数值的精确求解，是 X 射线成像技术的 一次重要飞跃。从 1971 年 Hounsfield 完成世界上首次 CT 扫描至今[1] ，经过 50 年的发展， CT 已经成为一种主流的非入侵式成像手段，给医学诊断、工业检测和安全检查等领域带来 了革命性的影响。伴随成像需求的变化，CT 技术经历了 5 代发展（图 1），从最初的“笔束 平移-旋转”扫描，发展到现在的多层螺旋锥束扫描、电子束扫描等。随着 CT 技术在三维 成像、医学导航、快速安检等领域的深入应用，低剂量成像、定量成像、快速成像等新需 求也给 CT 成像技术提出了更高的要求，但以圆轨迹扫描和螺旋轨迹扫描为代表的标准扫描 轨迹 CT 系统在更快的成像速度、更大的通道尺寸等方面的发展遇到瓶颈。近年来，非标准 轨迹扫描及分布式多光源成像大大拓展了 CT 系统的应用场景，在解决大通道成像、高速成 像等问题上表现出了巨大的潜力。
CT 成像模式的发展带动了 CT 图像重建算法的发展。传统 CT 重建算法可以分为解析重 建算法与迭代重建算法两大类。与迭代算法相比，解析算法具有重建速度快、误差分析简 单以及占用运算资源小等特点，是当前 CT 系统中应用的主流算法。本文依托 CT 扫描模式

的发展，介绍解析重建方法的发展，从经典的圆轨迹和螺旋轨迹扫描出发，到非标准轨迹 扫描成像，并介绍了当前分布式多源直线 CT 的研究进展。最后，展望了 CT 成像系统在未 来面临的挑战。

图 1 各代 CT 系统扫描示意图
Fig.1 The illustrations of CT systems across the generations

1 标准轨迹 CT 扫描模式与重建方法
在 CT 扫描投影和数据重建过程中，主要涉及投影数据和图像数据在物体空间、拉东空

间和傅里叶空间之间的相互变换（图 2）。
拉东变换（Radon transform）和 中 心 切 片 定 理 （ central slice theorem）是解析重建的理论基础。1917 年，奥地利数学家拉东[2]首次提出，由 物体某断面各方向的物理特性参数线 积分值，可计算该断面的物理特性参数 分布。在二维成像中，CT 重建就是物 体空间与拉东空间相互变换的过程。二 维图像的中心切片定理揭示了傅里叶


图 2 三种空间之间的关系（二维成像）
Fig.2 The relationship between the three
domains (2D Imaging)

空间是拉东空间与物体空间之间的桥梁，定理指出：二维函数 f(x,y) 在角度θ 下的平行束

投影 p(t,θ) 关于探测器方向t 的一维傅里叶变换p( ˆ)(ξ,θ) 给定了 f(x,y) 的二维傅里叶空间
fˆ(ξx,ξy ) 中与探测器方向平行的过原点的一个切片，其数学表达为：
p(ˆ)(ξ,θ) = fˆ (ξcosθ, ξsinθ) 。 （1）

本节主要针对圆轨迹和螺旋轨迹两种标准轨迹扫描模式及其解析重建算法进行介绍。
1.1 圆轨迹 CT 扫描与重建方法
在圆轨迹 CT 扫描中，光源与探测器绕扫描中心做圆轨迹运动，这是最为经典的扫描模 式之一。常用的圆轨迹 CT 解析重建算法有滤波反投影算法（平行束/扇形束扫描）与 FDK （Feldkamp-Davis-Kress）算法（锥束扫描）等。
滤波反投影算法[3]（filtered backprojection，FBP）因形式简洁、易于实现、重建速 度较快而得到广泛应用。平行束扫描投影的 FBP 重建过程可表示为：

其中，内层积分对应投影的滤波步骤（h 为滤波核函数），外层积分对应反投影步骤。
FBP 算法由中心切片定理推导而来，用于圆轨迹平行束重建。扇形束扫描相对于平行束 扫描而言，具有射线利用率高等优势，并逐步成为主流的扫描方式。对于圆轨迹扇形束扫 描而言，主要有两类解析重建算法：① 重排算法[4] ，将扇形束投影重排为平行束投影，利 用平行束 FBP 算法重建；② 由坐标变换推导直接扇形束 FBP 算法[5] 。重排算法在投影变换 中需引入插值，其重建误差大于直接 FBP 算法。在实际应用中，人们总是希望在尽可能小 的扫描角度范围内获得完备投影数据。扇形束扫描模式下，利用光源和探测器的轨迹覆盖 “ 180 °+ 扇角”得到的短扫描投影数据即可完成精确重建。但在重建过程中，存在数据冗 余问题。一般而言，主要有 3 种解决思路[6] ：① 数据重排，将扇束投影重排成平行束投影， 在重排过程中即可利用冗余部分降低噪声；② 数据补全，利用投影数据的周期性，将短扫 描数据补全为 360°全扫描数据；③ 投影数据加权，利用连续的窗函数对冗余数据进行归 一化加权[7]。
在三维容积成像中，锥束扫描相比扇束扫描有更大的投影范围和更高的光子效率，是 常用的扫描方式。 Feldkamp 等[8]在 1984 年提出了针对圆轨迹锥束扫描的三维解析重建 算法，即 FDK 算法。但圆轨迹锥束扫描不满足数据完备条件[9-10]，FDK 算法只能进行非精确 重建。在轨道平面，其等同于扇形束 FBP 重建，而在远离轨道平面区域，重建图像将有明 显锥束伪影，主要表现为图像数值偏低、层与层之间图像互串等。因此，FDK 算法只适用于 小锥角扫描重建，且只能对轨道平面或对纵向均匀物体进行精确重建。针对 FDK 算法的改 进，主要有 3 种思路：① 附加修正项，减缓重建结果沿纵向的衰减。Hu[11]提出一种改进 FDK 算法，将原始图像视作 3 项的加和：FDK 重建结果、FDK 重建未利用的圆轨迹锥束 CT 扫描 信息以及圆轨迹扫描缺失的数据，其利用逆拉东变换计算第 2 项并指出可以利用先验知识 估计第 3 项，使重建结果更加精确。Zhu 等[12]在此基础上利用拉东空间插值与平行束反投影 修正重建结果。② 数据重排：P-FDK（parallel FDK）算法[13]在水平方向上对投影数据进行 类似扇形束重排的处理，而保持纵向不变，得到“锥状平行束”（Cone-Parallel）投影， 使得中心虚拟探测器向后弯曲，在重建速度上有所提升。在 P-FDK 的基础上，T-FDK（tent

FDK）算法[14]在纵向也进行插值，改变了滤波路径，能明显改善大锥角下的重建误差。在 T-FDK 的基础上，C-FDK（ curve-filtered FDK）算法[15]在中心虚拟探测器平面上选择不同的滤波 曲线，进一步提升了重建质量。③ 投影加权，Tang 等[16]在“Cone-Parallel”投影的基础 上，利用共轭射线的性质提出 3D 加权策略，算法可有效地缓解重建图像的锥角伪影。
除上述算法之外，还有一些不太常用的解析重建算法。例如，直接二维傅里叶逆变换 重建[17]，首先在拉东空间逐角度做一维傅里叶变换，再通过二维傅里叶逆变换对物体进行 重建。利用快速傅里叶变换，其具有重建速度快的优势。但离散数据导致逐角度的一维傅 里叶变换难以铺满整个二维空间。重建过程中，需要在傅里叶空间中插值，这将使高频信 号失真，导致重建图像边缘模糊并产生环状伪影。
1.2 螺旋轨迹 CT 扫描与重建方法
圆轨迹锥束 CT 虽然易于实现、重建简单，但无法满足数据完备性条件。在螺旋轨迹锥束 扫描中，光源与物体在轴向也存在相对运动，使得投影数据满足重建数据完备条件，可实现 精确重建，并提升扫描效率。螺旋轨迹可由角度参数λ ,扫描半径 R和螺距 h 定义：
r (λ) = (Rcosλ, Rsin λ, hλ 2π) ， （3）
螺旋轨迹 CT 重建方法可分为近似重建算法与精确重建算法。
近似重建算法主要有二维 FBP 与三维 FDK 型算法。二维 FBP 算法将三维重建问题转化 为二维重建，首先获得单个断层的平行束或扇形束投影数据，再利用 FBP 算法进行重建。 一般而言，断层数据由待重建平面两侧的实测投影内插（轴向内插）得到。Crawford 等[18] 提出了全扫描内插 360 °LI（linear interpolation）和半扫描内插 180 °LI 方法，180 °LI 方法利用 360 °范围内的近似共轭投影数据，运动伪影较小，但噪声更加明显。Hsieh[19]跳 出重建平面与 z 轴正交 的 限制 ， 引入重建 区域 的概念并提 出 了 内插 HI（ helical interpolative）算法，噪声抑制性能比 180 °LI 方法更优。随着探测器层数增加，射线束 锥角逐渐增大，内插带来的误差使算法精度逐渐下降。Turbell 等[20]将 Tam 窗内的投影数据 重排成平行束投影进行重建，提出 PI 重建方法。Noo 等[21]对每个截面将锥束投影重排成扇 束投影，再进行 FBP 重建。Kachelrieß 等[22]在此基础上提出 ASSR（advanced single-slice rebinning）算法，对倾斜的重建平面进行投影数据重排与重建，能更好利用螺旋投影数据， 进一步提升重建图像质量。对于三维 FDK 型重建方法，Kudo 等[23]和 Wang 等[24]将 FDK 算法从 圆轨迹扩展到了螺旋轨迹扫描，提出了螺旋 FDK 算法，在射线束锥角增大的情形下，重建 精度更高。Noo 等[25]提出了短扫描 FDK 算法，利用短扫描锥束投影数据重建断层图像，进一 步减少插值误差。
在精确重建领域中，Grangeat 算法[26]具有里程碑意义。Grangeat 算法主要利用三维拉 东反演公式重建图像。在三维成像中，拉东变换是对三维物体的面积分。拉东反演公式需 要将拉东变换得到的面积分沿积分平面法线方向求二阶导数，再进行三维拉东反投影。 Grangeat 发现了面积分的微分与锥束投影数据在探测器上线积分导数之间的等价关系，通 过该关系可计算面积分的一阶导数。但是，Grangeat 算法不是一个 FBP 型算法，重建过程 中将图像嵌入拉东空间需要进行插值运算，会引入较大误差，且无法对长物体进行重建。
Katsevich 在[27]2002 年针对螺旋轨迹扫描长物体重建提出了一种真正意义上的 FBP 型 算法，可以证明，对于待重建区域内任意一点，有且仅有一条经过该点且与螺旋轨迹有两

个交点的线段（PI 线）[28]。Tam[29]证明了对螺旋线内物体进行精确重建所需的最少投影数据

为 Tam 窗内的数据。Tam 窗是指光源点照射其所在位置的 上半螺旋轨道弧与下半螺旋轨道弧在探测器上两条投影 线之间的区域（图 3[30]）。螺旋轨迹扫描的数据是有冗余 的，而重建某点只需要用 Tam 窗内的数据，Katsevich 提 出利用平移不变的一维滤波函数，通过滤波方向的选择对 冗余数据归一化加权，只需要特定区域的数据即可对单点 实现精确重建，算法能有效解决纵向截断重建问题。但是， Katsevich 算法所用的探测器数据范围要远大于 Tam 窗， 滤波路径上的所有数据均需要参与重建，无法解决横向截 断问题。
Zou 等[31]于 2004 年在 Katsevich 算法的基础上，基 于 PI 线 提 出 了 反 投 影 滤 波 （ backprojection filtration，BPF）形式的重建算法。BPF 算法主要基于
投影数据的微分反投影 g (r ) 与待重建物体的希尔伯特
变换Hf (r ) 之间的关系：


图 3 PI 线及 Tam 窗示意图[30]
Fig3 The illustration of PI-
line and Tam-Danielsson
window[30]

g (r ) = -2πHf (r) 。 （4）
算法通过逐角度微分、加权反投影、沿 PI线希尔伯特变换，重建螺旋轨迹内每一条 PI 线对应的信息，并在笛卡尔坐标系中重采样，完成对三维物体的重建。Katsevich 算法只能 解决纵向截断问题，而 BPF 算法利用理论上最少的投影数据进行重建，能有效解决横向截 断重建问题，具有重要意义。
2 非标准轨迹 CT 扫描模式与重建方法
在标准轨迹扫描模式下，CT 解析重建方法取得了长足发展。但是在实际应用中，标准 扫描轨迹无法满足某些特殊场景的需求和非理想化因素，例如，系统的启动与暂停、图像 引导治疗中有限扫描范围重建、降低扫描对敏感区域的辐射剂量等。近 20 年来，为了适应 实际需求，人们针对各种非标准扫描轨迹开展了广泛研究。由于篇幅限制，本文主要以其 中几种典型轨迹（变螺距变半径螺旋轨迹扫描、马鞍形轨迹扫描、“滑梯式”螺旋轨迹扫描、 反螺旋轨迹扫描等）为例，说明非标准扫描轨迹相关的重建算法发展。值得注意的是，直 线轨迹也是一类常见的非标准轨迹，相关内容将在下一部分重点介绍。
2.1 变螺距、变半径螺旋轨迹 CT 扫描与重建方法
标准螺旋轨迹扫描中，假设系统以固定半径匀速运动，而实际应用中，系统的扫描与暂 停可能导致扫描螺距和半径动态变化，即式（3）中扫描半径R 和螺距 h 均为角度λ 的函数。
Ye 等[32-33]在 2004 年提出了变螺距及变半径的非标准螺旋轨迹扫描的最小探测窗并讨论 了其 PI 线的存在性及唯一性条件，还提出了一种 Katsevich 型的重建算法。这一重建算法 适用于光源平移是单调函数的扫描，Katsevich 等[34]随后提出了一种针对轴向运动速度之和 及加速度不变号情形下的变螺距螺旋轨迹 CT 扫描的 Katsevich 型精确重建算法，并揭示了 变螺距螺旋线投影的凸性与螺旋线内 PI 线存在唯一性之间的等价性。而后，Zou 等[35]基于

PI 线将 BPF 算法和 FBP 算法拓展到了变螺距螺旋轨迹扫描 CT 重建中。
2.2 马鞍形轨迹 CT 扫描与重建方法
心脏成像为减少剂量，需要对心脏部位采样完全，并尽可能减少对其他部位的照射。 马鞍形轨迹（saddle trajectory）扫描非常适合对心脏成像。在数学上，马鞍形轨迹可定 义如下：在三维笛卡尔坐标系中，考虑任意两个二阶连续可微的函数f(x)和g(y)，其满足 如下关系：

'' '
f (x) > 0(x∈ R) f (0)=0
'' '
g (y) > 0(y∈ R) g (0)=0

f (0) < 0
g(0) = 一f (0)

, （5）

马鞍形轨迹为两个鞍面S1 = {(x, y, z) : x = f (x)} 和S2 = {(x, y, z) : y = g(y)} 的交线。

图 4 鞍形轨迹示意图[36]
Fig.4 The illustration of the saddle trajectory[36]
Pack 等[36]在 2004 年系统地分析了马鞍形轨迹的特点，从理论上说明马鞍形轨迹扫描实 现精确重建的条件，并针对马鞍形轨迹锥束扫描中存在的轴向截断问题提出基于 PI 线的精 确重建算法。随后，他们又针对截面存在截断的情况，提出了局部 FBP 算法[37] ，将光源轨 迹分成冗余采样分段（redundantly measured line，R-line），R 线是指与扫描轨迹有两个 交点的任意线段，该算法在各 R 线上沿着探测器方向求一阶导数，得到各分段上物体的希 尔伯特变换，再进行重建。Yang 等[38]提出了一种滤波方向移不变的精确 FBP 算法用于马鞍 形轨迹锥束 CT 重建，算法只在探测器平面引入一簇滤波线，重建过程不依赖 PI 线的存在。
2.3 “滑梯式”螺旋轨迹 CT 扫描与重建方法
“滑梯式”螺旋轨迹（tilted helical trajectory），是指在扫描过程中机架倾斜 （图 5（b））的一类扫描方式。与普通螺旋扫描（图 5（a））相比，倾斜机架具有更大灵活 度。在头部扫描时，倾斜机架可以降低对眼睛的辐射剂量且避免牙齿填充物带来的金属伪 影等。Hsieh[39]于 2000 年率先提出，倾斜机架多排螺旋 CT 重建图像质量下降主要是由重建

中心与机架中心偏离导致的，指出偏离量是探测器位置、探测器尺寸、移动方向及机架倾 斜角的函数，并提出了多种内插值方法改善重建效果。Kachelrieß等[40]将单排螺旋 CT 近似 重建方法 ASSR 算法拓展到了倾斜机架扫描，提出 ASSR+算法，使其在重建中可以利用非平 行运动物体的扫描数据。Hein 等[41]针对多排倾斜机架扫描螺旋 CT，在 TCOT（true cone- beam tomography）算法的基础上，提出 T-TCOT（tilt-compensated TCOT）算法，通过在 反投影过程中对感兴趣重建切片进行侧向偏移，在不显著增加计算复杂度的情况下，修正 倾斜机架带来的影响。
大多数针对倾斜机架的重建方法将倾斜机架扫描的数据变换为未倾斜机架的扫描数 据，通过重建未倾斜机架下的虚拟物体完成重建。Noo 等[42]发现由于与倾斜机架平面平行的 真实物体切片图像就是在笛卡尔坐标系中对虚拟物体的重建图像，在倾斜机架数据变换中 插值可以省略，并提出了一种更为通用的重建算法。

（a）标准螺旋轨迹 （b）“滑梯式 ”螺旋轨迹
图 5 “滑梯式 ”螺旋轨迹示意图[42]
Fig.5 The illustration of the tilted helical trajectory[42]

（a）标准螺旋轨迹 （b）反螺旋轨迹 图 6 反螺旋轨迹示意图[43]
Fig.6 The illustration of the reverse helical trajectory[43]

2.4 反螺旋轨迹 CT 扫描与重建方法
图像引导的放射治疗是 CT 应用的重要场景。实际医疗系统往往需要实现高质量动态成 像、合理的辐射剂量暴露且不影响放射治疗系统，这对 CT 扫描提出了更高的要求。Cho 等[43] 在 2008 年针对搭载在直线加速器治疗系统上的 CT 仅能沿某一方向旋转一圈带来的问题，提 出反螺旋轨迹（reverse helical trajectory）锥束扫描 CT。扫描过程中，病床沿着一个 方向运动，而滑环旋转一圈后再反方向旋转一圈（图 6（b））。其提出了针对反螺旋扫描的

精确重建算法，解决了基于弦线的重建算法中无法重建未被弦线覆盖区域的问题，但仅可 针对非截断数据进行重建。其又提出了 BPF-FBP 串联算法对存在截断的长物体反螺旋轨迹 扫描重建[44]，并在实际医疗系统实现了反螺旋轨迹扫描与重建[45]。
3 直线轨迹 CT 扫描模式与重建方法
在上一部分，我们介绍了几种典型的非标准轨迹扫描模式及其解析重建算法，除此之 外，直线轨迹也是一种特殊的非标准轨迹。从扫描模式而言，当下最常用的 CT 主要基于滑 环旋转实现，但是随着滑环旋转速度提高，环上离心加速度将成平方倍提升， 目前滑环旋 转速度已经接近极限，使得滑环 CT 的时间分辨率很难再提升。直线轨迹扫描由于其机械设 计简单、系统复杂度低、易于实现，在近几十年，吸引了国内外很多学者的关注与研究。 直线扫描轨迹在提升扫描速度方面表现出了很大的潜力[46] ，尤其是近年来，使用碳纳米管 作为阴极材料的高分辨率 X 射线源的出现[47-50]，进一步推动了多光源扫描的发展。最近，有 学者尝试将多光源和直线扫描轨迹结合，提出了一种新型的静态 CT 成像方案[51] ，利用直线 分布式光源靶点间的切换替代滑环的旋转，在提升扫描速度方面具有革命性的优势。下面 我们分别从单段和多段两种模式介绍直线扫描轨迹的相关工作，并着重介绍基于多源直线 扫描模式的静态 CT 相关研究工作。
3.1 单段直线 CT 扫描与重建方法
单段直线 CT 是指光源和物体沿着一条直线段相对运动的扫描方式。图 7 为典型的单段 直线扫描 CT 示意图，大张角射线源与大面阵列探测器固定，而物体沿着直线运动。

理论上，当扫描轨迹无限长时，射线束张角 可以达到 180°, 扫描数据满足精确重建条件。 但在实际应用中，扫描轨迹长度是有限的，采集 的扫描数据不满足数据完备条件，将产生有限角 问题，无法实现精确重建。Sidky 等[52]利用有限 长希尔伯特逆变换修正 BPF 算法，对扫描轨迹片 段进行重建，并指出 BPF 算法用于不满足弦线重 建要求的轨迹时，是不精确的。若额外扫描连接 图像空间感兴趣区域的各轨迹片段，重建将是精 确的。2007 年，Gao 等[46]从傅里叶中心切片定理


图 7 直线 CT 示意图[46]
Fig.7 The illustration of the linear CT[46]

出发，提出了一种直接 FBP 重建方法，并通过迭代反投影修复有限角缺失数据，与重排为 平行束的重建算法相比，直接 FBP 方法有更高的空间分辨率。
3.2 多段直线 CT 扫描与重建方法
为了解决单段直线轨迹扫描数据不完备的问题，多段直线扫描轨迹被提出，其是指光 源和物体沿着折线（多段直线）相对运动的扫描方式[53]。
Seger 等[54]在 2003 年提出针对直线分布的垂直双锥束扫描方式，系统由两套相互垂直 的直线源探装置组成（图 8），并提出了基于 Linogram 的重建方法。这样的扫描方式易于实 现且可以弥补一部分缺失数据，但未能最大程度改善数据缺失问题。

Gao 等[53]在 2007 年提出了一种多段直线扫描方式（图9），扫描过程中，物体沿着折线 运动，各轨迹分段均为直线。直线轨迹投影有一个特性，即每一个探测器单元对应着一定 角度的平行束射线。因此，图 9 所示的多段直线扫描得到的投影数据是完备的。其将 2D FBP 算法拓展成了 3D FDK 类型的解析重建算法，在中心平面可实现精确重建，且与圆轨迹锥束 CT 相比，其重建产生的锥角伪影更小。

图 8 直线分布垂直双锥束扫描示意图[54]
Fig.8 The illustration of the double cone-beam scanner[54]

在实际扫描中，图 9 所示的扫描方式需要物体在各直线分段中均进行加速及减速，这 一过程也会影响系统的时间分辨率， 并给扫描带来一定不便。在物体周围排布一系列光 源并逐次曝光，采集不同角度的投影数据是一种实现多段直线扫描的解决方案，而光源
图 9 多段直线扫描示意图[53]
Fig.9 The illustration of the multi-
segment linear scanner[53]
触发能否实现快速切换是决定扫描效率的 关键。近年来，使用碳纳米管作为阴极材料 的高分辨率 X 射线源成为了研究热点[47-50]，与 传统热阴极材料相比，冷阴极材料能耗小且对 散热系统要求低，使得可独立控制的电子发射 源可密集分布，更适应多光源脉冲扫描模式需 求。Otto Zhou 团队就碳纳米管 X 射线源及扫 描系统设计开展了广泛而深入的研究，包括微 型 CT[55]、口腔静态层析成像[56]、胸腔静态层 析成像[57]、乳腺静态层析成像[58] 以及头部静
态层析成像[59]等。Morton 等[60]在 2009 年提出了一种光源和探测器呈双环形分布的扫描模 式，并提出将投影重排成平行束，利用 FDK 型算法进行重建，系统可实现每秒上百张切片 成像，达到实时断层成像的效果。Gonzales 等[61]在 2013 年提出了一种由共面且相互垂直的 两段直线射线源以及两段探测器组成的 CT 扫描装置，并采用迭代重建算法进行图像重建， 但这套装置中，散射问题比较严重。Chen 等[62]在 2014 年提出了一种源和探测器以螺旋线交 织分布的扫描模式，并提出了一种结合线性插值的 Katsevich 型算法。Cramer 等[63]在 2018 年提出了一种环形分布的光源与探测器相间模组的扫描方式，为便携式 CT 提供可能。
结合多光源扫描的特点以及直线轨迹的优势，Zhang 等[51]于 2020 年提出了一种基于直 线分布式光源的对称几何静态 CT 系统（symmetric-geometry computed tomography，SGCT）， 利用分布式多光源实现多段直线扫描。如图 10（a）所示，SGCT 中光源和探测器单元呈线

性排布，且位置对称。在扫描过程中，光源逐一切换曝光，位于物体另一侧的探测器阵列 持续收集数据。与单段直线轨迹扫描类似，在实际中，光源和探测器有限长将导致有限角 问题。为保证在重建区域每一个点均有至少 180°射线穿过，其提出了一种两段 SGCT 扫描 方式，两段 SGCT 扫描的光源阵列与相互垂直，图 10（b）展示了这种扫描的异面实现方式。

（a）SGCT 几何关系 （b）SGCT 扫描方式
图 10 SGCT 几何关系与扫描方式示意图[51]
Fig.10 The illustration of the geometry of SGCT and its configuration[51]
Zhang 等[51]提出了一种直接 FBP 算法用于单段 SGCT 扫描图像重建，从理论上可以证明， 光源阵列无限长时能重建出精确的图像。同时，该算法可以拓展应用到多段 SGCT 扫描的重 建，这里需要重点关注的问题是多段 SGCT 投影数据存在的冗余问题，可以利用类似“Parker Weights ”[7,64]的冗余加权策略解决。而后关于 SGCT 解析重建理论的研究进一步深入，在平 行束扫描中心切片定理的基础上，Zhang 等[65]通过对 SGCT 投影 p(t, l) 几何加权后得到 pw (t, l) 并由扫描物体f(x, y) 仿射变换得到变形物体g(u, v) ，建立了 SGCT 的投影傅里叶性质 （图 11），其中 l 表示分布式射线源阵列上光源单元偏离中心的距离，t 表示等效探测器阵 列上探测器单元偏离中心的距离，D 表示分布式射线源与等效探测器阵列的距离，(u, v) 表 示对物体坐标空间 (x, y) 仿射变换得到的变形物体坐标系。

图 11 SGCT 扫描与平行束扫描傅里叶中心切片定理比较[65]
Fig.11 Comparison of the Fourier slice theorem of SGCT and that of the parallel beam CT[65]
基于这一性质，还设计了一种 Linogram-based 的直接傅里叶重建方法[65]。算法流程如

下：① 对 SGCT 投影p(t,l) 进行几何加权得到pw (t,l) ；② 沿探测器方向t 对几何加权投影做
一维傅里叶变换得到 p(ˆ)w (ξ, l)；③ 利用 SGCT 的投影傅里叶性质得到变形物体二维傅里叶空
间采样并通过逆傅里叶变换直接重建出变形物体g(u,v) ；④ 通过坐标变换由变形物体得到 待重建物体f(x,y) 。至此，关于直线分布式光源静态 CT 的解析重建框架已初步建立并完善。 目前，基于直线分布式光源静态 CT 系统已经应用于快速安检、双能物质识别等领域[66]。
4 其他重建方法
传统的解析重建方法一般基于特定成像几何进行推导，大多只适用于特定扫描方式的 重建，这限制了算法的应用场景。Tam 窗的提出后，人们越来越关注利用局部投影数据进行 解析重建的算法[29]。通过将扫描轨迹拆分成不同分段，从数学上总结轨迹分段的特征，并 研究针对各分段投影数据重建的方法，得到更加一般的、适用于多轨迹的重建方法。理论 上，对于任意轨迹，只要其满足重建方法定义的轨迹分段特征，均能使用该方法进行重建。
BPF 算法[31]基于 PI 线，提供了从螺旋轨迹锥束扫描采集最少数据进行 3D ROI（region of interest）重建的可能。Ye [67]在更加一般的轨迹下，解析地证明了 BPF 算法。Palamodov[68] 在 2003 年从数学上提出对任意轨迹冗余采样分段投影的解析重建理论，而后 Pack 等[37]进 一步提出了 R 线重建算法，首先在 R 线上沿探测器方向求一阶导数，得到各分段上待重建 物体的希尔伯特变换，再进行重建，可以有效解决截面和轴向存在截断的重建问题。而后 其又提出了 3 种由一维滤波和三维反投影构成 FBP 重建方法[69]，滤波沿着与轨迹相交的任 意线段（M 线）在探测器上的投影进行，多样的滤波方向选择提升了重建质量。这两种方法 仅适用于重建有 R 线穿过的点，对于常见的轨迹，如标准螺旋、变螺距螺旋、变半径螺旋、 马鞍形等，所有满足 Tuy 条件的点均有 R 线穿过。除此之外，Zou 等[70]在 2005 年提出基于 弦线（chord line）轨迹扫描的重建算法，实现了对平滑 n-PI 线螺旋轨迹与非平滑双圆轨 迹轨迹扫描的重建，并提出了与传统螺旋线扫描的 BPF 算法、最小数据滤波反投影算法 （minimum-data filtered-backprojection，MD-FBP）及 FBP 算法对应的三类算法。
5 总结与展望
本文以扫描方式为脉络，回顾圆轨迹扫描、标准螺旋轨迹扫描、非标准螺旋轨迹扫描 及当前多源直线扫描相关的解析重建方法。随着传统解析重建理论的完善，近 20 年来，相 关研究热点主要集中在面向各种实际需求的新型扫描方式，及符合其成像几何的解析重建 算法上。更快的扫描速度一直是 CT 成像追求的目标之一，随着心脏成像、在线安检等领域 的不断发展，突破传统第 3 代 CT 时间分辨率极限的扫描方式一直备受关注。静态 CT 作为 一种无滑环设计的新型系统具有广阔的应用前景，尤其是在时间分辨率上潜力巨大。
近年来，各种静态 CT 扫描方式不断被提出，其中基于直线分布式光源的静态 CT 结构 简单、易于实现，具有很强的实用价值。我们相信随着系统核心部件，特别是光源技术和 探测器技术的不断进步，分布式光源静态 CT 将会为下一代新型 CT 的发展做出重要贡献， 其对应的重建理论与方法也将会持续创新。
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