有趣的数学游戏-三阶幻方(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,单击此处编辑母版标题样式,三 阶 幻 方,风子编辑,1,第一课 基础部分,2,幻方起源：,大约两千多年前西汉时代，流传夏禹治水时，黄河中跃出一匹神马，马背上驮着一幅图，人称河图；又洛水河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案称为洛书,.,他们发现，这个图案每一列，每一行及对角线，加起来的数字和都是一样的。,中国不仅拥有幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元,13,世纪的数学家杨辉已经编制出,3,10,阶幻方。,幻方的发展：,经过国内外幻方数学家和爱好者的研究，幻方得到了快速的发展。从最初的三阶幻方发展到现在的高阶幻方，由和幻方发展到乘幻方。对平面幻方的构造，分为三种情况：,N,为奇数、,N,为,4,的倍数、,N,为其它偶数,(4n+2,的形式）。,清末民初数学家寿孝天,3,三阶幻方：,就是将,9,个自然数填在,33,（三行三列）的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等。,例,1,：（,p.45,例,1,）将,1-9,这,9,个数填入上图，使它成为一个三阶幻方。,动动手：,p.45,随堂,1,4,幻和与中央数：,一个幻方的幻和,=3,中央数,=,总和,3,例,1,：（,p.46,例,3,）,动动手：,p.46,随堂,3,5,已知三个数填写幻方,例,1,：（,p.47,例,4,）,动动手：,p.47,随堂4,6,A,B,C,D,E,F,G,H,I,对九宫格每个格子进行编号为,A-I,，设,S=A+B+C+D+E+F+G+H+I,，即九个数的和。,定义：幻和,=A+B+C=D+E+F=G+H+I=A+D+G=B+E+H=C+F+I=A+E+I=C+E+G,，即每条横、竖、斜线上的三个数的和相等，为幻和。,3,幻和,=,（,A+B+C,）,+,（,D+E+F,）,+,（,G+H+I,）,=S,，即幻和是总和的,1/3,。,D+E+F=B+E+H=A+E+I=C+E+G,，即,4,幻和,=A+B+C+D+E+F+G+H+I+3E=3,幻和,+3E,所以，,3E=,幻和，即,E,是幻和的,1/3,，是总和的,1/9,S=,（,A+B+C,）,+,（,A+E+I,）,+,（,A+D+G,）,=,（,A+B+C,）,+,（,D+E+F,）,+,（,G+H+I,）,所以，,2A=F+H,同理可得：,2G=B+F,，,2I=B+D,，,2C=D+H,7,A,B,C,D,E,F,8,G,H,例：在下图空格上填上互不相等,且不大于,15,的自然数，使每行、每例、对角线上的和为,30,。,7,11,12,15,10,5,8,9,13,为方便表述，对每个空格编号为,A-H,。,1,、根据中心数是幻和的,1/3,，可得到,E=10,2,、根据幻和为,30,，可知,C=30-10-8=12,3,、根据,A+H=B+G=D+F=20,且每个数不大于,15,，,则最小为,5,。符合条件的数对还,有四对：,5,15,、,6,14,、,7,13,、,9,11,，只有一堆为偶数。,4,、选,6,、,14,放入任何格对中，因为偶数,+,偶数,+,偶数,=,偶数，但剩下的数都,是奇数，所以不符合。,5,、选择包含最大数的一对,5,，,15,，如果,15,与,12,在同一行或列，则这行或列,的另一个数为,3,，小于,5,。所以，,15,不能与,12,在同一行或列，因此放在,D,格。,对应的,F,格则为,5,。,6,、剩下的空格就很容易了。,6,12,12,10,4,8,14,8,?,19,13,2,倍角格,=,不相邻的两个边格之和,？,=,（,13+19,）,2=16,三条直线上的数字的和,=,幻方所有数字之和,+2,个？,-,（,19+13,）,幻和,=,一条直线上的三个数字之和,所有数字之和,=3,幻和,所以：三条直线上的数字的和,=,幻方所有数字之和,则：？,=,（,13+19,）,2,9,10,30,10,30,30,10,30,10,30,5,30,5,5,30,5,30,原先每条边的和为：,30+10+10=50,新的填法每条边的和为：,50+15=65,总和减少，每边和增加，则应该把大数移到公共角的位置,则有：,30+10+30=70 70-65=5,所以，四个,10,各减,5,，合计正好减了,20.,10,22,30,26,22,30,26,22,30,26,22,30,26,30,26,22,26,22,30,三组,22,，,26,，,30,，为等差数列，所以先把中间数放中间；,以中间格为中心，画四条直线；在一条对角线上放与中间格相同的,数，另一条对角线上放两个不同的数；剩下四个位置只要保证同一,行或列上没有重复的数字。,11,3,10,5,8,6,4,7,2,9,利用角格是不相邻的两个边数和的一半，可以得到右下角方格的数字；,其次利用红线和相等关系，知道下中间的数为,2,；利用蓝线和相等，得,到中右格数为,4,。,利用幻和,=3,中间数,3,幻和,=,所有数，可知中间那个数为,6,。,这样其他几个利用幻和可以得到了。,12,10,15,8,9,11,13,14,7,12,本题与上体方法一样，自己尝试下,13,50,1,20,4,10,25,5,100,2,先在两条蓝线上确定左下角的数：,1102=5,，在两条线段上的公共格不,用考虑；再找有两个确定数的线段，通过未知角画出另外的线段，如图红,线，则可知左中格为：,2105=4,，右上格为：,2101=20,。利用一条,对角线上的三个数的积,51020=1000,，可以得到其它几个数。,14,20,2560,80,640,160,40,320,10,1280,三个数相乘的幻方的属性：,1,、等差数列或者三组等差数列：找一个包含,10,的等差数列（如图）,或者：,1,、,2,、,4,、,5,、,10,、,20,、,25,、,50,、,100,2,、角格的平方,=,不相邻的边格之积,2,100,5,25,10,4,20,1,50,15,1,2,9,4,3,7,5,3,7,6,1,8,9,按三条红线排列三组等差或等比数列，再按红数字位置调整,9,6,8,3,5,7,2,4,1,9,4,2,7,5,3,8,6,1,上下对调,左右对调,16,第二课 拓展部分,17,平面幻方的构造一,奇幻方,：,N,为奇数时,将,1,放在第一行中间一列；,从,2,开始直到,nn,止各数依次按下列规则存放：,按,45,方向行走如向右上,每一个数存放的行比前一个数的行数减,1,，列数加,1,如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。,例如,1,在第,1,行，则,2,应放在最下一行，列数同样加,1;,如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第,1,行第,n,列时，,则把下一个数放在上一个数的下面。,双偶幻方：,N,为,4,的倍数。采用对称元素交换法。,1),把数,1,到,nn,按从上至下，从左到右顺序填入矩阵,2),将方阵的所有,44,子方阵中的两对角线上位置的数关于方阵中心作对称交换，即,a(i,j,）与,a(n+1-i,n+1-j,）交换，所有其它位置上的数不变。（或者将对角线不变，其它位置对称交换也可）,*以上方法只适合于,n=4,时*,18,平面幻方的构造二,单偶幻方：,N,为,4m+2,的偶数,1,）把大方阵分解为,4,个奇数,(2m+1,阶）子方阵。,按上述奇数阶幻方给分解的,4,个子方阵对应赋值。由小到大依次为上左子阵（,i,），下右子（,i+v,），上右子阵（,i+2v),，下左子阵（,i+3v,），,即,4,个子方阵对应元素相差,v,，其中,v=n*n/4,四个子矩阵由小到大排列方式为 ,2,）此时各列和与幻和相同，对角线、上三行与下三行之和不符合幻和要求。因此，只需在同列间交换数字。,上述交换使行列及对角线上元素之和相等。,2,9,4,20,27,22,7,5,3,25,23,21,6,1,8,24,19,26,29,36,31,11,18,13,34,32,30,16,14,12,33,28,35,15,10,17,2,9,31,20,27,22,7,32,3,25,23,21,6,1,35,24,19,26,29,36,4,11,18,13,34,5,30,16,14,12,33,28,8,15,10,17,19,Merzirac,法生成奇阶幻方：,在第一行居中的方格内放,1,，依次向右上方填入,2,、,3,、,4,，如果右上方已有数字，则向下移一格继续填写。,loubere,法生成奇阶幻方：,在居中的方格向上一格内放,1,，依次向右上方填入,2,、,3,、,4,，如果右上方已有数字，则向上移二格继续填写。,17,24,1,8,15,23,5,7,14,16,4,6,13,20,22,10,12,19,21,3,11,18,25,2,9,23,6,19,2,15,10,18,1,14,22,17,5,13,21,9,4,12,25,8,16,11,24,7,20,3,20,3.,横补角，,以中间行为基准，将突出的数字补回本行所缺的方格内，,4,，,5,补到,1,的前，,10,补到,6,前，,16,补到,20,后，,21,，,22,补到,25,后。从而重新得到一个,n*n,方格。,错位补角,1.,对于所有的奇阶幻方，,1-n*n,从小到大填入,n*n,的方格中。以,n=5,时，,1-25,为例。,2.,横错位，,将方格横向错位，每行错位数为,n-,行数，即第一行横向移动,n-1,位，第二行横向移动,n-2,位,.,直到形成一个左低右高的楼梯。,21,小结：错位补角可以先横后竖，也可以先竖后横。楼梯可以左低右高，也可以左高右低。只要保证横竖做出的楼梯方向相同，就能得到正确结果。一共可以求出,4,个答案。,4.,竖错位，,将方格纵向错位，每列错位数为,n-,列数，即第一列横向移动,n-1,位，第二列横向移动,n-2,位,.,直到形成一个左低右高的楼梯。,5.,竖补角，,以中间列为基准，将突出的数字补回本列所缺的方格内，,17,，,23,补到,4,上，,24,补到,5,上，,2,补到,21,下，,3,，,9,补到,22,下。从而重新得到一个,n*n,方格，及得到结果。,22,