有限元在电磁场中的应用课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,有限元法在电磁场分析中的应用,1,有限元法简介,有限元法是一种数值计算方法，最初用于力学领域，六十年代中期开,始用于电磁场计算。目前在电磁场分析中，有限元法是较先进的方法之,一。这种方法以变分原理为依据，具有牢固的数学基础。,在实际的电磁场中，场是连续的，空间无限多个点的每一点都有确,定的的场量（即具有数学上所称的无穷维自由度,),。而有限元法是将场域,划分为有限个单元，用一个简单的函数作为场变量模型（又称插值函,数），构成每个单元中场的试探解。有限元法可以将单元中任一点的待,求量，用该单元边界与其他单元边界的交点,(,在有限元法中称为结点,),上的场量值表示。因此，整个场的计算可归结为有限个结点上场量的,2,的计算，即将无穷维自由度问题转化为有限个自由度的问题。,结点场量计算的思路如下：描述电磁场规律的是些偏微分方程，,首先找出与之相应的泛函，这样偏微分方程的边值问题就成了求泛函的极值问题。场域被分成有限单元后，整个场域的泛函就是各单元泛函之和。在引入插值函数并用结点场量表示单元内任一点的场量后，泛函近似转化为多元函数，变分极值近似转化为多元函数的极值。在对场量取偏导并令之为零后，得到的方程是代数方程。每个单元建立一个方程，在整个求解区域中则有一个代数方程组，计及边界条件后解此方程组就可求出各结点场量。在此过程中，并不要求每个单元中的插值函数满足整个场域的边界条件，所以可以很容易的确定。由于,3,整个计算过程都是代数运算，故可由计算机进行。正因如此，有限元法成了求解电磁场边值的一种简单有效的方法。,4,有限元法解题的一般步骤,用有限元求解实际问题的步骤大致如下：,（,1,）找出与被求解的边值问题相应的泛函。目前，电磁场中常遇到的一些偏微分方程相应的泛函均已被找到，例如与泊松方程 相应的泛函（对第二类边界条件）为,（,1,）,其中，表示电位 的梯度，表示求解域体积，,s,为其表面积，,f,为常数,2,）对求解域的连续域进行离散，即按一定方式将场域剖分为有限个单元体。若求解的是平面场，则可以用三角形、矩形、曲线四边形等单,5,元去分割（见图,1,）。对于三维空间场，单元的形状可以是四面体、长方体、任意六面体等（见图,2,）。不论是平面场还是空间场，对于同一求解域可以用不同类型的单元去分割。究竟场域如何剖分及结点如何编号等，需要根据场域及边界的具体形状、结构、计算机容量、计算速度和求解的精度等因素来确定。,6,（,3,）选择场变量模型。因为多项式容易进行微积分运算，故目前大多采用多项式作为场变量模型来近似地表示真实的场分析。多项式的项数由单元上结点的数目及每个结点的未知量的性质、数目等因素所决定。,7,如平面场域中若用三角形,【,见图,1,（,a,）,】,，作为基本单元，当单元中每个结点的自由度为,1,时，则线性场变量模型为,（,2,）,式中，代表单元内任意一点的场量，,x,、,y,为该点的坐标，为系数,若用双线性元的矩形单元,【,见图,1,（,b,）,】,为基本单元，则场变量模型为：,（,3,）,8,（,4,）求出单元特征式。当选定单元形状和场变量模型后，就可确定表示单元特性的矩阵公式。例如，平面场中若选定三角形单元来分割，它的场变量模型由（,2,）式表示，其中系数 与三角形的三个顶点处的坐标极点及电位值有关。若令三角形,ijm【,见图,1,（,a,）,】,的三个顶点的函数值分别为 、,和 ，则有,（,4,）,9,解式（,4,）可得,（,5,）,式中,（,6,）,10,表示为,ijm,三角形面积。将式（,5,）代入式（,4,）经整理可得,（,6,）,其中,（,7,）,11,式（,8,）称为三结点三角单元的形状函数（也称内插函数或基函数）。至此，可用已知结点的场景及形状函数来表示单元中未知点场量。,若令式（,1,）中,f=0,，对于第一、第二类边界条件，则式（,1,）变为,(9),这就是第一、第二类边界条件下的拉普拉斯方程所对应的泛函。将式（,7,）代入式（,9,），然后进行求导运算可得,12,（,10,）,这就是拉普拉斯方程的三角单元矩阵特征式,13,（,5,集合单元特性得到表示整个解域性质的矩阵方程式。为了求得全系统模型的特性，就必须“集合”全部单元的特性，然后求泛函的极值，导出联立代数方程组（又称有限元方程）。“集合”所依据的原理是：在一些单元相互连接的结点处，要求所有包括此结点的单元在该结点处的场变量相同。（,4,）和（,5,）步可一并由计算机来完成。,（,6,）求解有限元方程。这首先要考虑边界条件，然后由计算机解出未知结点的场变量值，通过这些结点值就能求出场内任一点的场量值。,总之，有限元法是从变分原理出发，通过区域划分和分片插值找出形状函数，在通过“集合”把变分问题近似转化为多元函数的极值问题。,14,因它在理论上以变分原理为基础，这既保障了方法的收敛性，同时又保持了系数矩阵的对称正定性。另一方面，它在处理技巧上，又吸取和发展了有限差分法对定义域离散处理的灵活性和边界的适应性，同时还保持了差分法中系数矩阵的稀疏性，这就大大计省了计算机容量。,15,谢谢！,16,