二项分布与泊松分布PPT参考课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,gjfdsljkdfsk,常用离散型变量概率分布及应用,二项分布和泊松分布,张合喜,公共卫生学院,第一节 二项分布和总体率的估计,一、二项分布,（一）二项分布的概念,在生命科学研究中，经常会遇到一些事物，其结果可分为两个彼此对立的类型，如一个病人的死亡与存活、动物的雌与雄、微生物培养的阳性与阴性等，这些都可以根据某种性状的出现与否而分为非此即彼的对立事件。这种非此即彼事件构成的总体，就称为二项总体（,binomial population,）。,第一节 二项分布和总体率的估计,二项分布,(binomial distribution),就,是对这种只具有两种互斥结果的离散型随机变量的规律性进行描述的一种概率分布。由于这一种分布规律是由瑞士学者贝努里,(,Bernoulli,),首先发现的，又称贝努里分布。,二项分布有两个基本假设：,1.,各事件是相互独立的，即任一事件的发生与否，不影响其它事件的发生概率；,2.,各个随机事件只能产生相互排斥的两种结果。,定理：几个相互独立事件同时发生的概率等于各独立事件的概率之积。,定理：在几个互不相容的事件中，任一事件发生的概率等于这几个事件的概率之和。,抓中两黑一白的概率：,P,(2)=30.125=0.375,抓中三个黑球的概率：,P,(3)=0.50.50.5=0.125,各种可能发生的结果对应的概率相当于展开后的各项数值，即：,前例：,=0.8,，,1-,=0.2,，,n,=3,二项分布的概率公式,如果一个事件,A,，在,n,次独立试验中，每次试验都具有概率,，那么，这一事件,A,将在,n,次试验中出现,x,次的概率为：,式中：称二项系数。,（二）二项分布的应用条件,1.,各观察单位只能具有互相对立的一种结果，属于二项分类资料；,2.,已知发生某一结果的概率为,，其对立结果的概率则为,1-,。实际工作中要求,是从大量观察中获得的比较稳定的数值；,3.,n,个观察单位的观察结果互相独立，即每个观察单位的观察结果不会影响到其它观察单位的结果。,（三）二项分布的性质,1.,二项分布的均数和 标准差,二项分布的平均数：,=,n,上式的意义：做,n,次独立试验，某事件平均出现的次数为,n,次，这一结果较为符合人们的直观想法。如果，生男孩这一事件的概率是,1/2,，则,100,个新生儿中可期望有,n,=1001/2=50,个是男孩。,当用率表示时，,（三）二项分布的性质,二项分布的标准差：,标准差表示,x,取值的离散度或变异的大小。如,n,=5,，,=5/6,，,1-,=1-5/6,，则：,（三）二项分布的性质,二项分布的标准误,若以比值或百分数表示，则标准误为,:,p,被称为率的标准误（,standard error of rate,），用来反映随机抽样获得的样本率,p,与总体,之间的抽样误差大小。,三）二项分布的性质,二项分布的标准误,若以比值或百分数表示，则标准误为,:,实际工作中常用,p,作为,的估计值，得：,（三）二项分布的性质,2.,二项分布的累计概率,常用的有左侧累计和右侧累计,2,种方法。,从阳性率为,的总体中随机抽取,n,个个体，则,(1),最多有,k,例阳性的概率,P,(,x,k,)=,P,(0)+,P,(1)+,P,(,k,),(2),最少有,k,例阳性的概率,P,(,x,k,)=,P,(,k,)+,P,(,k,+1)+,P,(,n,),=1-,P,(,x,k,-1),（三）二项分布的性质,3.,二项分布的图形,二项分布的图形，取决于两个方面，其一为事件发生的概率,，其二为样本含量,n,。,当,=1-,=1/2,时，二项分布的图形是对称的；,当,1/2,时，二项分布的图形呈右偏态；,当,与,1-,不变时，即使,1-,，但随着,n,的增大，二项分布的的偏态程度会逐渐降低而趋于对称。,二项分布总体不同样本例数时的抽样分布,二、,二项分布的应用,(,一,),、总体率的估计,有点值估计和区间估计。,1,查表法,：,当,n,较小，如,n,50,时，特别是,p,很接近于,0,或,1,时，可由附表,6,百分率的置信区间表直接查出。,P,709,or p,817,例：某地对,13,名输卵管结扎的育龄妇女经壶腹部吻合术后，观察其受孕情况，发现有,6,人受孕，据此估计该吻合术妇女的受孕的,95%,可信区间,此例：,n,=13,，,x,=6,查表得,95%CI,为：,19%,75%,。,二、,二项分布的应用,(,一,),、总体率的估计,1,查表法,：,附表,6,百分率的置信区间表直接列出了,X,n,/2,的部分,。其余部分可以查,n-x,的阴性部分的,Q,L,Q,U,再相减得,P,L,and,p,U,P,L,=1-Q,L,1-Q,U,例：,某地调查,50,名儿童蛔虫感染情况，发现有,10,人大便中有蛔虫卵，问儿童蛔虫感染率的,95%,置信区间是多少？,此例：,n,=50,，,x,=10,查表得,95%CI,为：,10%,34%,。,二项分布的应用,2,正态近似法,：应用条件：,np,及,n,(1,p,),均,5,p,u,s,p,例：在某地随机抽取,329,人，做,HBsAg,检验，得阳性率为,8.81%,，求阳性率,95%,置信区间。,已知：,p,=8.81%,，,n,=329,，故：,95%,CI,：,8.81,1.961.56,；即,5.75%,11.87%,。,二项分布,下表是用,P,U,a,s,p,时要求的,P,值与,N,的大小参考数字。,P,n n,P,0.5 30 15,0.4 50 20,0.3 80 24,0.2 200 40,0.1 600 60,0.05 1400 70,二项分布的应用,(,二,),差异的显著性检验,1,直接法,例 某医院用甲药治疗某病，其治愈率为,70%,，今用乙药治疗该病,10,人，治愈,9,人，问甲乙两药疗效有无差别？,已知：,=0.7,，,1-,=0.3,，假设两药疗效无差别，则治愈与非治愈的概率应符合二项分布，即：,如果甲乙两药疗效无差别，按甲药的治愈率,(70%),用乙药治疗,10,人应治愈,7,人，实际治愈,9,人，相差,2,人。,双侧检验，计算相差,2,人及,2,人以上的总概率，即,x9,和,x5,的概率之和：,P,=0.000006+0.000138+0.001447+0.009002+0.036757+0.102919+0.121061+0.028248=0.299577,或：,P,=1-(0.200121+0.266828+0.233474)=0.299577,P,=0.2995770.05,，差异无统计学意义，尚不能认为乙药疗效优于甲药。,本例如采用单侧检验，即要求判断,乙药疗效优于甲药？此时只需计算,相差,2,人及以上的总概率：,P,=,P,(9)+,P,(10)=0.121061+0.028248=0.149309,P,0.05,差异无统计学意义，尚不能认为乙药疗效优于甲药。,3.,研究疾病的家族聚集性,例 某单位发生乙肝暴发流行，经调查,4,口之家共,288,户，其中无病例的,167,户，发生,1,例的,51,户，,2,例的,50,户，,3,例的,17,户，全家发病的,3,户，问乙肝的发病是否具有家族集聚性？,=214/1152=0.1858,，,1-,=0.8142,计算发病数,x,=0,，,1,，,2,，,3,，,4,时的理论概率和理论户数。列表，比较实际户数与理论户数差别有无显著性意义。,二项分布展开计算表,发病人数,展开式,概率,理论户数,实际户数,x,C,x,n,x,(1-,),n-x,P,T=P,288,A,0,C,0,4,(,0.1858,),0,(,0.8142,),4,0.4395,126.57,167,1,C,1,4,(,0.1858,),1,(,0.8142,),3,0.4011,115.52,51,2,C,2,4,(,0.1858,),2,(,0.8142,),2,0.1373,39.54,50,3,C,3,4,(,0.1858,),3,(,0.8142,),1,0.0209,6.02,17,4,C,4,4,(,0.1858,),4,(,0.8142,),0,0.0012,0.35,3,二项分布拟合优度的,2,检验,发病人数,实际户数,理论户数,(,A,-,T,),2,(,A,-,T,),2,x,A,T,T,0,167,126.57,1634.58,12.91,1,51,115.52,4162.83,36.04,2,50,39.54,109.41,2.77,3,17,6.02,120.56,20.03,4,3,0.35,7.02,20.06,2,=91.81,，按,=,组数,-2=5-2=3,查,2,界值表得：,2,0.01(3),=11.345,，故,P,50,时,(,有人认为当,20),，泊松分布就近似于正态分布。,Poisson,分布总体均数不同时的抽样分布,（三）,Poisson,分布的性质,当,n,很大，,p,很小，,np=,为一常数时，二项分布近似于泊松分布。,p,愈小，近似程度愈好。,例：据以往经验，新生儿染色体异常率为,1%,，试分别用二项分布和泊松分布原理，求,100,名新生儿中发生,x,例（,x,=1,2,3.,）染色体异常的概率。,二项分布与泊松分布的比较,由上表可见，二者计算结果非常接近，当,n,愈大其接近程度愈好，但泊松分布的,P,(,X,),计算较为简便。,X,P,(,X,),二项分布,泊松分布,0,1,2,3,4,5,6,7,8,0.3360,0.3697,0.1849,0.0610,0.0149,0.0029,0.0005,0.0001,0.0000,0.3679,0.3679,0.1839,0.0613,0.0153,0.0031,0.0005,0.0001,0.0000,合计,1.0000,1.0000,5.,Poisson,分布的可加性,如果相互独立的,k,个随机变量都服从泊松分布，则它们之和仍服从泊松分布，且其均数为,k,个随机变量的均数之和。此称为泊松分布的可加性。,例：已知某放射性物质每,10,分钟放射脉冲数呈泊松分布，,5,次测量的结果分别为,35,、,34,、,36,、,38,、,34,次，那么，,50,分钟总计的脉冲数,177,次，亦呈泊松分布。因此，泊松分布资料可利用可加性原理使,20,，这样就可以用正态近似法处理。,Poisson,分布的应用,置信区间的估计,对于小样本资料的泊松分布置信区间估计，可以查附表,7,。,p448,例 由一份混合好的自来水中取,1ml,水样，培养得细菌,5,个，请估计原水中每,ml,细菌数,95%,的置信区间。,查附表,7,：样本计数,X,=5,，,95%CI,：,1.6,11.7,。,Poisson分布的应用,置信区间的估计,对于大样本资料（,X,50,）的置信区间估计，可以近似地运用正态分布法进行，即：,95%,置信区间为：,99%,置信区间为：,例 同一份样品分别用,10,个平皿进行培养，共数得菌落数,1460,个，试估计该样品菌落数,95%,置信区间。,本例：,X,=1460/10=146,（个）,95%CI,：，即,122.32,169.68,。,Poisson,分布的应用,泊松分布的配合,例：将培养皿中的细菌稀释液置于血球计上，数出小方格中的细菌数，共计,128,个方格，计数结果见下表。问此分布是否符合泊松分布？,表,细菌在计数小方格中的分布,每小格细菌数（,X,）,观察的方格数（,f,）,0,1,2,3,4,26,40,38,17,7,Poisson,分布的应用,计算过程：,求出样本均数,以 代替,，按照泊松分布的概率公式求出,X,=0,，,1,，,2,，,3,，,4,时的概率,P,(,X,),。,本例,=1.5234,，代入公式得：,P,(0)=e,-,x,/,x,!=,e,-,1.5234,(1.5234),0,/0!=0.2180,P,(1)=e,-,1.5234,(1.5234),1,/1!=0.3321,P,(2)=e,-,1.5234,(1.5234),2,/2!=0.2529,P,(3)=e,-,1.5234,(1.5234),3,/3!=,0.1284,P,(3)=e,-,1.5234,(1.5234),4,/4!=,0.0489,也可按下面的递推公式计算：,验算：,P,(0)+,P,(1)+,P,(2)+,P,(,n,)=1,本例：,0.2180+0.3321+0.2529+0.1284+0.0489=0.9803,以各组的概率,P,(,X,),乘以,n,即为,X,=0,1,2,3,4,按泊松分布的理论频数。,将理论频数与实际频数比较,(,2,-test),，判断此分布是否符合泊松分布。,Poisson,分布拟合优度检验计算表,2,=,(,A,-,T,),2,/,T,=1.3606,因拟合泊松分布时用了,n,和,，故,=,组数,-25-2=3,。查,2,界值表得,2,0.05,(3),=7.81,，故,P,0.05,结论：实际分布与理论分布差别无统计学意义，可认为符合泊松分布。,x,A,T,A,-,T,(,A,-,T,),2,(,A,-,T,),2,T,0,1,2,3,4,26,40,38,17,7,27.90,42.50,32.37,16.44,6.26,-1.90,-2.50,5.63,0.56,0.74,3.6104,6.2651,31.6458,0.3138,0.5460,0.1294,0.1474,0.9775,0.0191,0.1872,Poisson,分布资料的差异显著性检验,例：某种生物制剂的异常反应发生率一般在1/万左右，今试用该生物制剂新制品，在受试者100人中发现1人有异常反应，问该生物制剂的异常反应率是否高于一般？,假设新制品反应率与一般反应率相同，则100人中反应的平均数为：H,0:,=,0,=,1001/10000=0.01,本例,=0.0001，很小，,n,=100，很大，可用泊松分布作近似计算，100人中1例异常反应也不出现的概率为：,Poisson,分布资料的差异显著性检验,100,人中,1,例异常反应也不出现的概率为：,出现,1,例及,1,例以上的概率：,P,(,x,1)=1-,P,(0)=1-0.990050=0.009950,P,50,，可用正态近似法进行泊松分布的检验。,H,0,：两种培养基的菌落数相同，,H,1,：两种培养基的菌落数不同。,=0.05,。,Poisson,分布资料的差异显著性检验,在对泊松分布资料进行显著性检验时，如两样本观察单位数相同，则采用下式：,x,1,、,x,2,分别为两样本各观察单位的计数之和。,如两样本观察单位数不等，则检验时用下式：,Poisson,分布资料的差异显著性检验,本例是在相同条件下培养计数菌落数，因此可认为观察单位数相等。,X,1,=100,、,X,2,=150,，则：,u,0.01,=2.58,，故,P,20,的条件。为此，可利用泊松分布的可加性，把若干个观察单位合并。,应用,Poisson,分布应注意的问题两均数比较时，要注意观察单位（时间、面积、容积、人口基数等）是否相同，若不相同，须化为相同的观察单位后再作比较。而且，只能将大单位化为小单位，不能将小单位化为大单位。例如，将人口基数不足,10,万查得的结果，按比例把基数扩大为,10,万的结果是不合适的。再者以,10,万人口为观察单位时，两样本均数的差别有显著性，不等于以,1,万人口为观察单位时，两样本均数的差别亦有显著性。所以，确定泊松分布的观察单位是很重要的。,二项分布用于描述二项分类变量两种观察结果的出现频率，泊松分布是二项分布的特例，常用于分析小概率事件的发生规律。,作业,1.,根据已往经验，用一般疗法治疗某疾病的治愈率为,60%,。今用某种新药治疗该病病人,11,例，其中,9,例治愈。问该种新药的疗效是否优于一般疗法？,作业,2.,用某种新药治疗某寄生虫病，,50,例病人在服药后有,1,人出现某种精神症状，该精神症状在此病患者中也曾有发生，过去普查结果发生率约为千分之一。问该药病人出现精神症状是否与服药有关,?,