圆锥曲线基础知识专项练习.docx

圆锥曲线练习
一、选择题库大题共13小题，共65. 0分）
1. 假设曲线二 + 三=1表示椭圆，则k的取值围是〔〕
I —任 ［十k
A. k > 1k 0〕和〔1, 0〕，点P C2, 0〕在椭圆上，则椭圆的标准方程为〔 〕
99
北丁十护=".彳十¥ = [ C耳+D耳十§ = 1
443443
5. 平面有两定点A、B及动点P,设命题甲是：“IPAI + IPBI是定值，命题乙是:
“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则（）
A.甲是乙成立的充分不必要条件B.甲是乙成立的必要不充分条件
C.甲是乙成立的充要条件酣是乙成立的非充分非必要条件
6. ua > 0 , b > 0 是“方程a*2+by2=l表示椭圆 的〔〕
A.充要条件充掰非必要条件
C.必要非充分条件跋不充分也不必要条件
7. 方程J成+何+部+ J成+他一3尸=10，化简的结果是〔〕
_22__22_22__22
A旷［厂,n旷Tt~.八旷Tt~.n.
A+ 土 =1B._ + rL=lC.一 + rL=lD.一 + _=1
2592516162516却
_2
8. 设椭圆§+/= 1的左焦点为F,P为椭圆上一点，其横坐标为挤1，则|PF|=〔〕
A. ；B. : C. ：D.；
9. 假设点P到点F C4, 0〕的距离比它到直线*+5=0的距离小1,则P点的轨迹方程
是〔〕
A. y2=-16 *By2=-32 *Cy2=16 * D.y2=32 *
10. 抛物线y=a*2 Ca < 0 ］的准线方程是〔〕
A. y=- — B.y=-— C.y= — D. y=—% 4u 2fi Au
11. 设抛物线Y2=4 *上一点P到直线*=-3的距离为5 ,则点P到该抛物线焦点的距离是〔 〕
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
12. 点P是抛物线*= i y2 ±的一个动点，则点P到点A CO, 2〕的距离与点P到y轴
4
的距离之和的最小值为〔〕
A. 2B..", -1D,. +1
13. 假设直线y=k*-2与抛物线y2=8 *交于A, B两个不同的点，且AB的中点的横坐标
为2,则k=〔〕
A. 2 B. -1诚24 D. 1 土而
二、填空题库大题共2小题，共10.0分）
14. 在平面直角坐标系*Oy中，AABC顶点A〔-4, 0〕和C〔4, 0〕，顶点B在椭圆
h艺1/- I 函心4-如C
寸+」=I上，则—p;——=•
22
15. 椭圆—+ u = 1，焦点在y轴上，假设焦距等于4,则实数
10一左十史一2
k=
三、解答题库大题共6小题，共72. 0分）
16, 三点P〔?，-品〕、A〔-2, 0〕、B〔2, 0〕.求以A、B为焦点且过点P的椭圆的标准方程.
17. 椭圆%+与=1 Ca>b> 0〕的离心率为三，短轴长为4.椭圆与直线y=*+2相a2Jf~2
交于A、B两点.
〔1〕求椭圆的方程；
〔2〕求弦长|AB|
18. 设焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为y=±N*,且焦距为4,点A Cl, *〕；32
〔1〕求双曲线的标准方程；
〔2〕点A〔1,,、，过点A的直线L交双曲线于M , N两点，点A为线段MN的中点，求直线L方程.
19. 抛物线的标准方程是y2=6 *,
〔1〕求它的焦点坐标和准线方程，
〔2〕直线L过抛物线的焦点且倾斜角为45°，且与抛物线的交点为A、B，求AB的长度.
高中数学试卷第2页，共9页
20. 椭圆£ 十 % =询〉"）的离心率巴=@，直线y=b*+2与圆*2+y2=2相切.
〔1〕求椭圆的方程；
〔2〕定点E〔1, 0〕，假设直线y=k*+2〔k尹0〕与椭圆相交于C, D两点，试判断是否存在实数k,使得以CD为直径的圆过定点E.假设存在，求出k的值；假设不存在，请说明理由.
21. 椭圆 C: 4 *2 + y2=l 及直线 L： y=*+m .
〔1〕当直线L和椭圆C有公共点时，数m的取值围；
〔2〕当直线L被椭圆C截得的弦最长时，求直线L所在的直线方程.
答案和解析
【答案】
l.D 2.B 3. A
13. A
14. -15.816,解：〔1〕
4
所以a=而,又c=2,
程为：W+如.
Ui 6
4.B 5.B 6.C 7.C 8. D 9. C 10. B 11. A 12.
2a=PA+PB=2 依,

所以b2=a2^2=6则以A、B为焦点且过点P的椭圆的标准方

c V?
=
fi 2
公=4 '
L *-=折十「-
解得 a=4 , b=2 ,
y~
解得｛
-'
L(S

17 .解：〔1〕•.•椭圆乌+兰=1〔a>b>0〕的离心率为V兰，短轴长为4,
fi- J?-2
椭圆方程为二十查=1 .
〔2〕联立
场十 3 -，得 5 *2+16 *=0 ,
I AB | =
〕,

b>0〕，则
18.M： Cl〕设双曲线的标准方程为W—E = l〔a>0,
a1 h-
..•双曲线渐近线方程为y=±m*,且焦距为4,
3
c=2•/ c2=a2+b2
h3
.・.a=l , b=y^
双曲线的标准方程为『=1；
〔2〕设M〔* , y〕，N〔* , y〕，代入双曲线方程可得并―当=[,括—罢=[
1122y 133，
两式相减，结合点A Cl,；〕为线段MN的中点，可得航―也—2（叱一叼）=0
—O
.m—：3/2 _ 2
. •町一定3
1 ）
>_
直线L方程为〃一,：=章住一 I），即4*-6y-l=0.
19 .解：〔1〕抛物线的标准方程是y2=6 *,焦点在*轴上，开向右，2p=6,
.，•焦点为F〔§, 0〕，准线方程：*=-| ,
〔2〕•.•直线L过抛物线的焦点且倾斜角为45° ,直线L的方程为y=*-：,
代入抛物线Y2=6 *化简得*2-9*+ " =0 ,
4
设 A〔* , y〕，B〔* , y〕，则* + * =9 ,112212
所以 |AB|= * +* +p=9+3=12 .
故所求的弦长为12 .
20 .解：〔1〕因为直线1： y=b*+2与圆*2+y2=2相切,
b=1 ,
...椭圆的离心率『戏,
3
.疽―1疽，」
.•屈2 = 3 ,
所求椭圆的方程是多+『=1.
〔2〕直线 y=k*+2 代入椭圆方程，消去 y 可得：〔1+3 k2〕*2+12 k*+9=0/. A=36 k2-36
<)
I . I
> 0, 「.k > 1 或 k <-l,
设 C〔 * , y〕，D〔 * , y〕，则有⑶ + 珏=
1122
高中数学试卷第4页，共9页
假设以CD为直径的圆过点E,则EC1ED,
•] — 1 由1))2 — L 驼))...〔* -1〕〔* -1〕+y y =0...〔l+k2〕* * +〔2k-1〕〔* +*〕
121 21 212
解得出=-1 ,
(?
所以存在实数& = 一】使得以CD为直径的圆过定点E. 21.解：〔1〕由方程组(5
骚芝+/= I,消去y,
| 叫=工十丁"
整理得 5 *2+2 m* +m 2-1=0 .〔 2 分〕
A=4m 2-20 Cm 2-1〕=20-16 m 2〔4 分〕
因为直线和椭圆有公共点的条件是△ >0,即20-16 m 2>0,
解之得-还ax或.〔5分〕2 ——2
〔2〕设直线L和椭圆C相交于两点A〔* , y〕，B〔* , y〕,1122
2 m.
E] + X9 =—
由韦达定理得｛* 「：，〔8分〕
rrr — L
弦长I AB | =、j\[ +濯)|\旬+旺i:—耳史1旺'
/如#—L). - .Tri r 再
当m =0时，|AB|取得最大值，此时直线L方程为y=*.〔10分〕
I I -
【解析】1.解：..•曲线二 十二 =1表示椭圆，.•" 1 +fc>0，解得-lo
曲线 一 4-=1表示椭圆，可得｛ 1十,解出即可得出.
1 一氏 5t L — W 山
此题考察了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考察了推理能力与计算能力，属于根底题.
?2( 4 +
2. 解：方程+= I表示椭圆的充要分条件是，2 -，即me
〔-4, -1〕U〔-1, 2〕.
由题意可得，所求的m的围包含集合〔-4, T〕U〔-1, 2〕，
应选：B.
2:
由条件根据椭圆的标准方程，求得方程^― —.表示椭圆的充要条件所对应
4 十 m2 — m
的m的围，则由题意可得所求的m的围包含所求得的m围，结合所给的选项，得出结论.
此题主要考察椭圆的标准方程，充分条件、必要条件，要条件的定义，属于根底题.
3. 解：①椭圆 ± + L=l ,中 a2=2 , b2=k,
则c=扣少一左,
• • 2 c=2— )\' =2)
解得k=l.
②椭圆 ¥ + § =1 ,中 a2=k, b2=2 ,
则 c= x/Jb-2，
2 c=2 寸j =2 ,
解得k=3.
综上所述，k的值是1或3.
应选：A.
利用椭圆的简单性质直接求解.
此题考察椭圆的简单性质，考察对椭圆的标准方程中各字母的几何意义，属于简单题.
4. 解：设椭圆方程为4 +〔a>b>0〕,
n-序
由题意可得c=l, a=2 , b= ,
即有椭圆方程为吃+ *=1.
43
应选：B.
22
设椭圆方程为与+ %=1〔a>b>0〕，由题意可得c=l, a=2,再由a, b, c的关系,a- b-
可得b,进而得到椭圆方程.
此题考察椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考察椭圆的焦点的运用，属于根底
题.
5. 解：命题甲是：TPAI + IPBI是定值,
命题乙是：“点P的轨迹是以A. B为焦点的椭圆
..•当一个动点到两个顶点距离之和等于定值时，
再加上这个和大于两个定点之间的距离，
可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，
而点P的轨迹是以A. B为焦点的椭圆，一定能够推出IPAI + IPBI是定值，
甲是乙成立的必要不充分条件
应选B.
6, 解：a > 0 , b > 0 ,方程a*2+by2=l不一定表示椭圆，如a=b=l ；
反之，假设方程a*2+by2=l表示椭圆，则a>0, b>0.
“a > 0, b > 0是“方程a*2+by2=l表示椭圆 的必要分充分条件.
应选：C.
直接利用必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法结合椭圆标准方程得答案.
此题考察必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考察了椭圆的标准方程，是根底题.
.解：由.；+、「解 I.-.；：-=10，可得点〔*, y〕到 M〔0, -3〕、N〔0,
3〕的距离之和正好等于10，
再结合椭圆的定义可得点〔*，y〕的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，且2a=10、c=3,a=5，b=4，
高中数学试卷第6页，共9页故要求的椭圆的方程为- + ^=1,
16 25
应选：C.
有条件利用椭圆的定义、标准方程，以及简单性质，求得椭圆的标准方程.
此题主要考察椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题.
8. 解：椭圆手+1的左焦点为F〔-片，0〕，右焦点为〔佰，0〕，
•.•P为椭圆上一点，其横坐标为挤1，
•••P到右焦点的距离为；
•.•椭圆的长轴长为4/.P到左焦点的距离|PF|=4- ； = ?
应选D .
确定椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义，即可求得P到左焦点的距离.
此题考察椭圆的标准方程与几何性质，考察椭圆的定义，属于中档题.
9. 解：•.•点P到点〔4, 0〕的距离比它到直线*+5=0的距离少1,
将直线*+5=0右移1个单位，得直线*+4=0 ,即*=-4,
可得点P到直线*=-4的距离等于它到点〔4,0〕的距离.
根据抛物线的定义，可得点P的轨迹是以点〔4, 0〕为焦点，以直线*=-4为准线的抛物线.
设抛物线方程为y2=2 P*,可得言=4,得2p=16 ,
抛物线的标准方程为y2=i6 *,即为p点的轨迹方程.
应选：C
根据题意，点P到直线*=-4的距离等于它到点〔4, 0〕的距离.由抛物线的定义与标准方程，不难得到P点的轨迹方程.
此题给出动点P到定直线的距离比到定点的距离大1,求点P的轨迹方程，着重考察了抛物线的定义与标准方程和动点轨迹求法等知识，属于根底题.
10 ,解：抛物线y=a*2〔a<0〕可化为- y,准线方程为胡=一二.(L如
应选B.
抛物线y=a*2 Ca <0〕化为标准方程，即可求出抛物线的准线方程.
此题考察抛物线的性质，考察学生的计算能力，抛物线方程化为标准方程是关键.
11. 解：抛物线y2=4 *的准线为*1,
•••点P到直线*=-3的距离为5,
点P到准线*=-1的距离是5-2=3 ,
根据抛物线的定义可知，点P到该抛物线焦点的距离是3,
应选A.
先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P到直线*=-3的距离求得点到准线的距离，进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，从而求得答案.
此题主要考察了抛物线的定义.充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相等这一特性.
12, 解：抛物线*=-y2，可得：y2=4 *，抛物线的焦点坐标〔1，0〕.
4
依题点P到点A〔0, 2〕的距离与点P到y轴的距离之和的最小值，就是P到〔0, 2〕与P到该抛物线准线的距离的和减去1.
由抛物线的定义，可得则点P到点A〔0, 2〕的距离与P到该抛物线焦点坐标的距离
之和减1,
可得： 很II二I耳任_叶 T=而一I-
应选：C.
先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义转化求解即可.
本小题主要考察抛物线的定义解题，考察了抛物线的应用，考察了学生转化和化归，数形结合等数学思想.
13, 解：联立直线y=k*-2与抛物线y2=8 *,
消去 y,可得 kz*2-〔4k+8〕*+4=0 ,〔k 尹 0〕，
判别式〔4 k+8〕2~16 k：2 > 0 ,解得 k > -1.
设 A〔*, y〕，B〔*, y〕，
1122

则…2=亨’
由AB中点的横坐标为2,
即有兰挨=4 ,
解得k=2或T〔舍去〕，
应选：A.
联立直线y=k*-2与抛物线y2=8 *,消去y,可得*的方程，由判别式大于0,运用韦达定理和中点坐标公式，计算即可求得k=2.
此题考察抛物线的方程的运用，联立直线和抛物线方程，消去未知数，运用韦达定理和中点坐标公式，注意判别式大于0,属于中档题.
14 ,解：利用椭圆定义得a + c=2 x 5=10 b=2 x 4=8由正弦定理得
输心 + f-LD 5
==—=—
故答案为:
4
先利用椭圆的定义求得a+c,进而由正弦定理把原式转换成边的问题，进而求得答案.
此题主要考察了椭圆的定义和正弦定理的应用.考察了学生对椭圆的定义的灵活运用.
22
15 .解：将椭圆的方程转化为标准形式为.^—5 + , /工小=1,
显然 k-2>10-k,即 k>6,
（而项―面二!尸=%解得k=8故答案为：8.
16 .
利用椭圆定义，求出2a,得出a,可求得椭圆的标准方程.
此题考察了椭圆方程的求法，是根底题，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用.
17 .
〔1〕由椭圆的离心率为四，短轴长为4,列出方程组，能求出椭圆方程.
2
f99
El 生
〔2〕联立、崂十』一，得5 *2+16 *=0 ,由此能求出弦长I AB| .
此题考察椭圆方程的求法，考察弦长的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用.
18 .
〔1〕设出双曲线的标准方程，利用双曲线渐近线方程为y=±典*,且焦距为4,求出
3
高中数学试卷第8页，共9页
几何量，即可求双曲线的标准方程；
〔2〕利用点差法，求出直线的斜率，即可求直线L方程.
此题考察双曲线的标准方程，考察直线与双曲线的位置关系，考察学生的计算能力，属于中档题.
19 .
〔1〕抛物线的标准方程是Y2=6 *,焦点在*轴上，开向右，2p=6，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程，
〔2〕先根据题意给出直线1的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可.
此题考察了直线与抛物线的位置关系中的弦长问题，因为是过焦点的弦长问题，所以利用了焦半径公式.属于根底题.
20 .
〔1〕利用直线1： y=b*+2与圆*2+72=2相切，求出b,利用椭圆的离心率求出a,得到椭圆方程.
〔2〕直线y=k*+2代入椭圆方程，消去y可得：〔1+3 k2〕*2+12 k*+9=0 ,设C〔二，y〕，D〔*, y〕，则利用韦达定理结合EC1ED,求解 k,说明存在实数代=—J使
122G
得以CD为直径的圆过定点E.此题考察椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考察存在性问题的处理方法，设而不求的应用，考察计算能力.
21 .
〔1〕由方程组｛也+矿=1,得5*2+2m*+m 2-1=0 ,由此利用根的判别式能求出实
数m的取值围.
〔2〕设直线L和椭圆C相交于两点A〔* , y〕，B〔* , y〕，由韦达定理求出弦长1122
|AB|= ' I .,由此能求出当m =0时，|AB|取得最大值，此时直线L方程为
5
y=*.
此题考察实数的取值围的求法，考察直线方程的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用.