函数的凹凸性-极值(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,Mathematical college Sichuan University,高等数学教程,1,函数曲线的凹凸性,问题,:,如何研究曲线的弯曲方向,?,图形上任意弧段位,于所张弦的上方,图形上任意弧段位,于所张弦的下方,凸,凹,2,定义,3,有什么想法？,4,能不能根据函数的二阶导数的符号来判别函数所对应的曲线的凸凹性呢？,5,四、曲线凹凸的判定,定理,2,6,判别可微函数的凸凹性主要是对,进行比较,.,有什么公式能把以上的函数值与函数的,二阶导数,联系在一起呢,?,泰勒,公式,分析,7,(1),在,I内,则 在,I,内图形是凹的,;,(2),在,I,内,则 在,I,内图形是凸的,.,证,:,两式相加,说明,(1),成立,;,(2),设函数,在区间,I,上有二阶导数,利用函数在 一阶泰勒公式可得,定理,2.(,凹凸判定法,),8,例,2,解,9,例,3,证,10,拐点,11,五、曲线的拐点及其求法,1.,定义,2.,拐点的求法,证,12,方法,1:,拐点的求法,13,例,4,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,14,方法,2:,想一想为什么？,15,例,5,解,16,例,6,解,注意,:,17,18,例,7,解,19,练习,凹区间：,凸区间：,拐点：,20,第三章 微分中值定理与导数的应用,第五节 函数的极值与最大,最,小值,21,定义,函数的极大值与极小值统称为,极值,使函数取得极值的点称为,极值点,.,一、函数极值的定义,22,23,是函数,可能,取得极值的点。,一阶导数为零的点,通过观察以上的图形,:,一阶导数不存在的点,函数不连续的点,24,二、函数极值的求法,定理,1,(,必要条件,),定义,注意,:,例如,25,极值可疑点,26,首先考察下列函数的图形,:,27,通过观察以上的图形可以看出,:,判别函数的极值点,主要是,判别极值可疑点左、右,对于可导函数将归结于,判别函数的导数的符号,.,两侧函数的单调性,.,28,定理,2,(,第一充分条件,),(,是极值点情形,)29,求极值的步骤,:,(,不是极值点情形,),30,例1,解,列表讨论,极大值,极小值,31,泰勒公式,32,看这一部分,33,当 充分接近 时,上式左端正负号由右端第一项确定,34,定理,3,(,第二充分条件,),证,取得极大值,取得极小值,35,例2,解,36,定理,3,失效,例3,解,37,说明：,为什么？,38,就是说：,39,定理,3,(,第二充分条件,),的推广,40,例3,解,注意,:,函数的不可导点,也可能是函数的极值点,.,41,小结,极值是函数的局部性概念,:,极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值,.,驻点和不可导点统称为,临界点,.,函数的极值必在,临界点,取得,.,判别法,第一充分条件,;,第二充分条件,;,(,注意使用条件,),42,试问,为何值时,在,时取得极值,还是极小,.,解答,:,由题意应有,又,取得极大值为,练习,求出该极值,并指出它是极大,