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第四节空间曲线及其方程
一空间曲线的一般方程
曲面F x, y, z 。和G x, y, z 0的交线C可表示为
F x, y, z0,
G x, y, z0.
它称为空间曲线C的一般方程.

X2 V2 1,
例1方程组表示何曲线?
2x 3z 6

解 X2 y2 1表示母线平行于z轴的圆柱面，其准线是xy面上的圆
X2 y2 1。 2x 3z 6表示一个母线平行于y的柱面，其准线是xz面上的
Y2 y 21
直线2x 3z 6 ,因而2x 3z 6在空间表示一个平面。'是上
2x 3z 6
述圆柱面和平面的交线.

z山2

X2 y2,
例2
方程组.2
A 2表示何曲线?
(X

X —
y2 —

2
2
解

二空间曲线的参数方程

x x t ,
『
y y t ,
z z t
叫做空间曲线的参数方程，t称为参数.

例3若空间一点M在圆柱面x2y2a2上以角速度 绕z轴旋转，同时又以线速度v沿着平行于z轴的正方向上升（和v均为常数），则点M的轨迹叫做螺旋线。试建立其参数方程。
设t为时间.当t 0时，
设M位于x轴上的A a, 0,处.经过时间

x, y, 0,则
t, M由A运动到M x, y, z .记M在xy面上的投影为M
x IOM cos AOM a cos t,
•5.,
y |OM |sin AOM a sin t,z M Mvt.
于是，螺旋线的参数方程为
x a cos t,
y a sin t,z vt
注若设t ,则该方程变为
x a cos ,y a sin ,z b .
v
这里，b 一为常数，而 是参数.这说明曲线的参数方程不唯一，参数的选择也不唯一。
曲面的参数方程（删）
三 空间曲线在坐标面上的投影
以空间曲线C为准线且母线垂直于平面 的柱面S称为曲线C关于平面的投影柱面。S和 的交线C称为C在 上的投影曲线或投影.

设有空间曲线。

F x, y, z0,
C :
G x, y, z0.
由此消去z,得C关于xy面的投影柱面
S: P x, y 0
于是，C在xy面上的投影曲线为
P x, y 0,z 0.

F x y z Q
同理，若由c： '' '消去x,则得c关于yz面的投影柱面
G x, y, z 0
T : Q y, z 0
和C在yz面上的投影
Q y, z
x 0.
0,

F x y z 0
若由c： '' '消去y,则得c关于xz面的投影柱面
G x, y, z 0
U : R x, z 0
和C在xz面上的投影
R x, z 0,C :
y o.

例4求曲线C ：
X2 y2 Z2 1,
在xy面上的投影曲线。
X2 y 1 2 z 1 2 1
解用第一式减去第二式，得
于是，z 1 y。代入X2 y2 Z2 1,得

x2 2y2 2y 0

从而所求的投影方程为
X2
X2
z
X2 y2 Z2 1,
注1 C: …
X2 y 1 2 z
y I 2 z 1 2 1的交线，
2y2 2y 0,
0.
是球面X2 y2 Z2 1和
12 1
因而C是一个圆。

注2 y Z 1是曲线C向yz面的投影柱面 平面），它是C所在的平面.

1 2
—「X2y2
注3 x2 2y2 2y 。是C向xy面的投影柱面，即了 1
24
（椭圆柱面）
1 2
X2 y 2
于是，投影曲线为T ―1一
2 4
z 0
1,
（椭圆）。

1
2
x2
2
y
1 2 1
所围

例5设一个立体由上半球面z \/4 x2y2和锥面z ：3 x2

成,
求它在xy面上的投影.

J z ^4x2yT,解 z J4 X2 y2和z J3 X2 y2的交线为C:
Yz 3 X2 y2 .
消去z,得X2 y2 1,它是从C向xy面所作的投影柱面（圆柱面）.

„„ X2y21,,…，
C在Xy面上的投影曲线为C :（ xy面上的单位圆）。所求
z 0.
立体在Xy面上的投影即该圆的内部.
作业 P. 324 1 (1 ,(2) , 2,3,4,7,8
提示
2 (2)作图后易理解。
3由已知的方程组分别消去x和y即可.
4由已知方程消去z。
7参照例2。 0 z孕2 x2 y2表上半球面z顼a2 x2 y2和平面
z 0所围的半球体的内部，X2 y2ax表圆柱体X2 y ax 0的内部。