数学模型经典实例(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章 数学模型,1,一.,模 型,为了一定的,目的,，人们对,原型,的一个,抽象,2,二.数 学 模 型,通过抽象和化简，使用数学语言，对,实际问题,的一个,近似描述,，以便于人们,更深刻,地认识所研究的对象。,3,。,例1：牛顿定律,假设：,1.物体为质点，忽略物体的大小和形状。,2.没有阻力、摩擦力及其他外力。,令,x(t),表示在,t,时刻物体的位置,则,4,例2：哥尼斯堡七桥问题,1736 Konigsberg Pregel Euler,5,数学模型,数学模型是架于数学与实际问题之间的桥梁,在数学发展的进程中无时无刻不留下数学模型的印记。,6,三.数 学 模 型 的特征,1.,实践性,：有实际背景，有针对性。接受实践的检验。,2.,应用性,：注意实际问题的要求。强调模型的实用价值。,3.,综合性,：数学知识的综合。模型的综合。,7,四.模 型 举 例,例 1.管道包扎,问题：用带子包扎管道，使带子全部包住管道，且用料最省。,假设：,1.直圆管，粗细一致。,2.带子等宽，无弹性。,3.带宽小于圆管截面周长。,4.为省工,包扎时不减断带子.,8,问题：用带子缠绕包扎管道，使带子全部包住管道，且互不重叠。,参量、变量：,W：,带宽，,C：,截面周长，,：倾斜角,模型（倾斜角模型）,讨论：,1.实用么？,2.深刻么？,9,模型（截口模型）,讨论,1.实用性,2.深入分析,10,例题,已知:管长,L,管粗,C,带宽,W,求带长,M？,若,L=30m,C=50cm,W=30cm,则有,M=(300.5/0.3)+0.4=50.4(m),11,问题,:,若有带长,M,1,=51m，,缠绕包扎上面的管道。,多余的 60,cm,带子不打算裁掉。缠绕时允许带子互相重叠一部分。,应该如何包扎这个管道？(计算结果精确到0.001),12,例,2,.地面上的方桌,在起伏不平的地面上能不能让桌子的四个脚同时着地？,假设：,1.方桌的四条腿等长，四脚连线呈平面正方形,ABCD。,2.地面的起伏是连续变化的。,模型：,1.如何用描述,“桌子的四个脚同时着地,”,？,x,A,:A,与地面的距离，,x,B,、x,C,、x,D,。,13,2.如何用数学的语言描述,让,桌子的四脚着地？,定位：中心,O,位于坐标原点,移动：桌子围绕中心转动。,：AC,与,X,轴的夹角。,0,0,+90,0,=,1,.,x,A,(,),表示在位置,时，桌脚,A,与地面的距离。,同样,x,B,(,),x,C,(,),x,D,(,).,14,令,f()=x,A,(,)+x,C,(,),g(,)=x,B,(,)+x,D,(,),则有,f(,),g(,),连续且,f(,),g(,)0.,桌子在位置,*,四脚落地,则有,f(,*,)=0,g(,*,)=0.,若,f(,0,)=0,g(,0,)0,则有,f(,1,)0,g(,1,)=0,令,h(,)=f()-g(),则有,h(,),连续且,h(,0,)0.,15,问题：,1.,将例2,的假设,1,改为,“,方桌的四条腿等长，四脚连线呈平面长方形,”,，,试构造数学模型证实结论同样成立。,16,2,.小王早上,8：00,从,A,城出发于下午,5：00,到达,B,城。,次日早上,8：00,他又从,B城出发沿原路返回并于下午,5：00,准时到达,A,城。,试用数学模型说明,A、B,城之间定有一个位置，,小王在往返,A、B,二城的途中于相同的时间到达该位置。,17,例,3,：交通路口红绿灯,十字路口绿灯亮15秒，最多可以通过多少辆汽车？,18,假设,1.车辆相同，从静止开始做匀加速动。,2.车距相同，启动延迟时间相等。,3.直行，不拐弯，单侧，单车道。,4.秩序良好，不堵车。,车长,L，,车距,D，,加速度,a，,启动延迟,T,时间,t，,车位,S,n,（t）,19,模型,1.,停车位模型,：,S,n,(0)=,(n-1)(L+D),2.,启动时间,:,t,n,=nT,3.,行驶模型,:,S,n,(t)=S,n,(0)+1/2 a(t-t,n,),2,tt,n,4.,限速行驶,:,t,n*,=a/v,*,+t,n,S,n,(t)=S,n,(0)+1/2 a(t,n,t,n*,),2,+v,*,(t-t,n*,),tt,n*,=S,n,(0)+1/2 a(t-t,n,),2,t,n*,tt,n,=S,n,(0)t,n,t,20,参 数 估 计,L=5m,，,D=2m,，,T=1s,，,v,*,=40km/h=1.1m/s,a=2.6m/s,2,2m/s,2,.,21,结 论,S,8,(15)=9m,S,9,(15)=-9.1m,该路口最多通过八辆汽车,22,问题,1.调查一个路口有关红绿灯的数据验证模型是否正确。,1,0,.位置,走向,车道数,时间。,绿灯时间,通过的车数(至少三次)。,数据不同的原因。,2,0,.模型的假设与实际是否一致。,模型的参数与实际是否一致。,3,0,.模型的计算结果与观测结果是否一致？不一致时，为什么？如何修改模型。,23,2.分析汽车开始以最高限速穿过路口的时间。,3.给出穿过路口汽车的数量随时间变化的数学模型。,24,例,4,：人员疏散,建模分析意外事件发生时建筑物内的人员疏散所用的时间。,25,假 设,1.单排教室，直走道，一个出口。,2.人员撤离时,单行、有序、间隔均匀、匀速地撤出。,3.忽略列队的时间和第一个人到达教室门口的时间。26,参 数,人数,n,k,教室距离,L,k,门宽,D,.,速度,v，,间隔,d,，,疏散时间,T,k,27,模 型,T,1,=(n,1,d+L,1,)/v,T,2,=(n,2,d+L,1,+L,2,+D,)/v,T,12,=(n,2,d+L,1,+L,2,+D,)/v,(L,2,+D),(n,1,+1)d,(n,1,+n,2,+1)d+L,1,/v,(L,2,+D),(n,1,+1)d,28,讨 论,1.,模型分析：,T=(nd+L)/v,v,则,T;d,则,T,.,2.,多行行进,3.,d,则,T,.,令,d=0,则有,T=L/v,。,疏散时间与人数无关,!,假设中忽略了人体的厚度,!,29,修 改 假 设,1.,单排教室，直走道，一个出口。,2.,人员撤离时,单行、有序、间隔均匀、匀速地撤出。,3.,忽略列队的时间和第一个人到达教室门口的时间。,4.,人体厚度相同,w,30,继 续 讨 论,1.T=(nd+L)/v,v,则,T;d,则,T,.,2.多行行进,3.,令,d=0,则有,T=L/v,疏散时间与人数无关,!,假设中忽略了人体的厚度,!,4.,考虑厚度的影响,T=(n(d+w)+L)/v,若,v,v,*,d=0,则,T,*,=,(nw+L)/v,*,最短,合理吗？,31,继续修改假设,1.单排教室，直走道，一个出口。,2.人员撤离时,单行、有序、间隔均匀、匀速地撤出。3.忽略列队的时间和第一个人到达教室门口的时间。,4.,人体厚度相同,5.,速度与密度有关,v=v,（,d,）,32,模 型,T=,（,nd+L)/v(d),其中,v=v(d),应满足,d,则,v;,若,d,则,v=v,*,.,若,d=0,则,v=0.,这时存在唯一的间隔,d*,和相应的速度,v*,使得疏散的时间最短,.,33,34,V=ad/(b+d),=7.83d/(75.60+d),35,问题,在上面的讨论中，证明如果疏散队伍的速度是队列间隔的增函数，,则存在有唯一的间隔,d*,和速度,v*，,使得疏散的时间最短。,如果有,n=400，L=30m，w=0.2m,求最优疏散方案。,36,例,5.,赛程安排,五支球队在同一场地上进行单循环比赛。共进行十场比赛。如何安排赛程对各队来说都是,公平的,。,B 1,C 9 2,D 3 5 7,E 6 8 10 4,A B C D,37,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,AB BC AD DE BD AE CD BE AC CE,间隔场次数,A B C D E,1 0 4 0 1,2 2 1 0 1,2 2 0 1 1,38,问题：赛程如何做到公平安排？,如何安排比赛的赛程，使相邻比赛各队最小的间隔场次达到可能的最大？,39,例,6.,一个农民有一头重量大约是,200,磅的猪，,在上一周猪每天增重约,5,磅。,五天前猪价为,70,美分,/,磅，但现在猪价下降为,65,美分,/,磅，,饲养每天需花费,45,美分。,求出售猪的最佳时间。,假设：,1.,出售前，猪每天以定常的日增重量生长。,2.,猪出售的价格以每天相同的数量减少。,3.,猪饲养的花费每天不变。,4.,猪在饲养和出售期间不再有其他的花费。,40,变量和参量：,猪的重量,w,（磅），,猪的饲养时间,t,（天），,t,天内饲养猪的花费,C,（美元），,猪的市场价格,p,（美元,/,磅），,售猪所获得的总收益,R,（美元），,最终获得的净收益,P,（美元）。,猪的初始重量,w,0,（磅），,猪的日增重量,g,（磅），,出售价格（单价）的日减少量,r,（美元），,每天饲养猪的花费,k,（美元）。,41,模型：,重量,w=w,0,+g t,单价,p=p,0,r t,总花费,C=k t,总收益,R=p w,净收益的模型,P=R C=(p,0,-rt)(w,0,+gt)-kt,42,参数估计,w,0,=200,g=5,p,0,=0.65,r=0.01,k=0.445,P=R C=(0.65-0.01 t)(200+5 t)-0.45 t,P(t)=130+0.8t 0.05 t,2,.,43,问题：求出售时间使净收益最高,令,P,(t)=0,则有,0.8 t-20.05 t=0,得,t=8,P(8)=130+0.88,0.058,2,=133.2,结论：,饲养,8,天后出售，收益最高为,133.2,美元,44,分析：,1.,结果对参数的敏感程度。,结论所依赖的参数,猪的初始重量,w,0,，,猪的初始价格,p,0,，,猪的饲养花费,k,，,猪重的增加速率,g,，,价格降低的速率,r,。,45,价格变化率,r,对售猪时间,t,的影响,.,价格,p(t)=0.65,r t,净收益,P(t)=(0.65-rt)(200+5t)-0.45t,最大值点,t=(7-500r)/(25r),r 0.008 0.009,0.01,0.011 0.012,t 15 11.1,8.0,5.5 3.3,46,增重率,g,对售猪时间,t,的影响,.,重量,w(t)=200+g t,净收益,P(t)=(0.65-0.01t)(200+gt)-0.45t,最大值点,t=5(13g,49)/(2g),g 4 4.5,5,5.5 6,t 1.875 5.28,8,10.23 12.08,47,将敏感性数据表示成相对改变量，要比绝对,改变量的形式更自然也更实用。,模型的参数灵敏度,如果,r,改变了,r,，则的相对改变量为,r/r,。,如果,r,改变了,r,，导致,t,有,t,的改变量，,则相对改变量的比值为,t/t,比上,r/r,令,r0,，按照导数的定义，我们有,称这个极限值为,t,对,r,的灵敏度，记为,S(t,r),。,48,对于我们的问题，有,时间与价格的关系,t=7-500r)/(25r),在,r=0.01,附近，,t,关于,r,的灵敏度为,S(t,r)=(dt/dr)(r/t)=(-2800)(0.01/8)=-3.5,价格变化率降低,1%,将导致时间延长,3.5%,时间与增重量的关系,t=5(13g,49)/(2g),在,g=5,附近，,t,关于,g,的灵敏度为,S(t,g)=(dt/dg)(g/t)=(4.9)(5/8)=3.06,增重率增加,1%,将导致出售时间延长,3%,49,2.,模型的稳健性,一个数学模型称为是稳健的，是指即使这个模型不完全精确，但其结果仍是可信的。,虽然数学模型力求完美，但这是不可能达到的。,一个更确切的说法是数学模型力求接近完美。,一个好的数学模型有较好的稳健性，,是指虽然它给出的答案并不是完全精确的，,但是足够近似的从而可以在实际问题中应用。,因此，在数学模型问题中关于稳健性的讨论是很有必要的。,50,1.,参数,r,g,的变化对净收益,P,的影响,固定,r,，令,g=4.5,和,5.5,，可得出售时间,t,为,5.28,和,10.23,。,分别代入模型,P(t)=(0.65-0.01t)(200+gt)-0.45t,可得最优净收益为,131.2,，,135.8,只相差,2,美元,固定,g,，令,r=.009,和,.011,，可得出售时间,t,为,11.1,和,5.5,。,分别代入模型,P(t)=(0.65-rt)(200+5t)-0.45t,可得最优净收益为,135.6,，,131.6,只相差,2,美元,净收益值,P,对参数,r,g,的变化视稳健的,51,2.,假设对模型的影响,关于猪的重量增加和价格降低是线性函数的假设不总是成立的。,以这些数据（,w,0,=200,，,w,=5,，,p,0,=0.65,，,p,=0.01,）为依据确定何时售出时，,要注意到在未来的几周内,w,和,p,可能不会保持常数，因此也不会是时间的线性函数。,这时，经收益的增长率,P,=w,p+wp,-0.45,其中,w,p+wp,代表猪价的增长率。,第一项代表由于猪增重而增加的。第二项代表因价格下降而损失的价值价值模型告诉我们，,只要猪价比饲养的费用增长快，就应暂不卖出，继续饲养。,52,另一方面，只要时间不长，在这段时期内,w,和,p,的变化就不会太大。,由于假设它们是线性的而导致的误差就不会太大。,这时，按照前面的数据所得到的,8,天出售的结果对净收益值,P,来说也是稳健的。,不难算出，在,3,天到,13,天之间出售的净收益的数值都在,132,美元之上，,与最优的收益只损失了不到,2,美元。,53,54,在今后的几天内，如果猪的增重量降低,10%,或者出售价格增加了,10%,（出售时间将会提前），,在第,8,天出售时净收益的损失量也是稳健的，不会超过,1,美元,55,g=5,r=.01,g=4.5,r=.01,g=5,r=.011,56,结论,我们现在能说的只是至少要等,8,天再出售。,对较小的,p,（接近,0,），模型建议我们等较长的时间再出售。,但我们的模型对较长的时间不再有效。,因此，解决这个问题的最好的方法是,将猪再饲养一周的时间，,然后重新估计,w,0,w,p,0,和,p,，再用模型重新计算。,57,问题,1.,在售猪问题中，对每天的饲养花费做灵敏度分析。,分别考虑对最佳售猪时间和相应收益的影响。,如果有新的饲养方式，每天的饲养花费为,60,美分，会使猪按,7,磅,/,天增重。,那么是否值得改变饲养方式？,求出使饲养方式值得改变的最小的增重率。,58,问题,2.,假设,p(t)=0.65-0.01t+0.00004t,2,.,表示,t,天后猪的价格（美元,/,磅）。,1.,画图表示,p(t),及我们原来的价格函数。解释为什么原来的价格函数可以作为,p(t),在接近零时的近似。,2.,求最佳的售猪时间。,3.,参数,0.00004,表示价格的平稳率。对这个参数求其灵敏度。分别考虑最佳的售猪时间和相应的收益。,4.,对,2,中的结果和例题中所得的最优解进行比较。讨论我们关于价格的假设的稳健性。,59,五.模型与数学,问题的叙述,：原始、粗糙、不规范。,问题的假设,：问题的研究手段。,问题的分析,：正确的推理，对实际的理解。,问题的标准,：接受实践的检验、与实际差异不大或为解决实际问题给出可信的解答。,问题的答案,：不确定、不封闭。,60,六.建模过程流程,61,