方波信号f(t)展开为傅里叶级数(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,图4.2 方波信号的傅里叶级数,例41 试将图4.2所示的方波信号f(t)展开为傅里叶级数。,方波信号f(t)展开为傅里叶级数,1,解 我们将信号按式(46)分解成傅里叶级数,并按式(4 7)、(48)、(49)分别计算a,n,b,n,及c。,2,3,4,例 3.3-1,试画出,f,(,t,)的振幅谱和相位谱。,解,f,(,t,)为周期信号，题中所给的,f,(,t,)表达式可视为,f,(,t,)的傅里叶级数展开式。据,可知，其基波频率,=,(rad/s)，基本周期,T,=2 s，,=2、3、6 分别为二、三六次谐波频率。且有,振幅谱和相位谱例题,5,其余,6,图 3.3-1 例 3.3-1 信号的频谱,振幅谱；,(,b),相位谱,7,图 3.3-2 例 3.3-1 信号的双边频谱,(,a,)振幅谱；(,b,)相位谱,8,例 3.4-2,求指数函数,f,(,t,)的频谱函数。,图 3.4-2 单边指数函数e,-t,及其频谱,(,a,)单边指数函数e,-t,;(,b,)e,-t,的幅度谱,单边指数函数,f,(,t,)的频谱函数,9,其振幅频谱及相位频谱分别为,解,10,(441),(440),单边指数信号的频谱,例44 求单边指数信号的频谱。,解 单边指数信号是指,11,图4.7 单边指数信号及其频谱,12,例 3.4-3,求图 3.4-3(,a,)所示双边指数函数的频谱函数。,偶对称双边指数函数的频谱函数,13,图 3.4-3 双边指数函数及其频谱,(,a,)双边指数函数；(,b,)频谱,14,(442),从频谱函数的定义式出发,(443),例45 求双边指数信号的频谱。,解 双边指数信号是指,偶对称双边指数信号的频谱,15,图4.8 双边指数信号及其频谱,16,例 3.4-4,求图 3.4-4(,a,)所示信号,f,(,t,)的频谱函数。,图 3.4-4 例 3.4-4 图,(,a,)信号,f,(,t,);(,b,)频谱,奇对称双边指数函数的频谱函数,17,(a,0),解,图示信号f,(,t,)可表示为,18,例 3.4-1,图 3.4-1(,a,)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度为,，高度为1，通常用符号,g,(,t,)来表示。试求其频谱函数。,解,门函数,g,(,t,)可表示为,门函数的频谱函数,19,图 3.4-1 门函数及其频谱,(,a,)门函数；(b)门函数的频谱；(c)幅度谱；(d)相位谱,20,图4.6 矩形脉冲信号及其频谱,矩形脉冲信号g(t)的频谱,例43 求矩形脉冲信号g(t)的频谱。,21,(436),g,(t)的傅里叶变换为,(437),(438),(439),解 矩形脉冲信号g(t)是一个如图4.6（a）所示的门函数。其定义为,22,例 34-5,求单位冲激函数,(,t,)的频谱函数。,图 3.4-5 信号,(,t,)及其频谱,(,a,)单位冲激信号,(,t,);(,b,),(,t,)的频谱,(,t,)的频谱函数,23,解,可见，冲激函数,(,t,)的频谱是常数1。也就是说，,(,t,)中包含了所有的频率分量，而各频率分量的频谱密度都相等。显然，信号,(,t,)实际上是无法实现的。,24,根据分配函数关于,(,t,)的定义，有,25,(434),(435),冲激信号(t)的频谱,例42求冲激信号(t)的频谱。,解 由频谱函数的定义式有,26,图4.5 冲激信号及其频谱,27,(475),移位冲激函数(t-t,0,)的频谱函数,例412求移位冲激函数(t-t,0,)的频谱函数。,解 由于已知冲激函数(t)的频谱函数为1,求移位冲激函数(t-t,0,)的频谱函数，此时可利用傅里叶变换的时移特性式(474)。,28,例 3.4-6,求直流信号1的频谱函数。,图 3.4-6,直流信号,f,(,t,)及其频谱,(,a,)直流信号,f,(,t,);(,b,)频谱,直流信号1的频谱函数,29,解,直流信号1可表示为,30,(445),(446),例46 求单位直流信号的频谱。,解 幅度为1的单位直流信号可表示为,f(t)=1,-t0),(4-51),符号函数sgn(t)也可看作是下述函数在取极限趋近0时的一个特例:,39,例 34-8,求阶跃函数,(,t,)的频谱函数。,由阶跃函数,(,t,)的波形容易得到,解,从而就可更为方便地求出,(,t,)的频谱函数，即,阶跃函数,(,t,)的频谱函数,40,图 3.4-8 阶跃函数及其频谱,(,a,),(,t,)的波形；(,b,)频谱,41,例 3.5-1,求图 3.5-1(,a,)所示信号的频谱函数。,图 3.5-1 例 3.5-1 的图,(,a,),f,(,t,)的波形；(,b,)相位谱,门(平移后)信号的频谱函数,42,解,43,例411 已知,求,g(2t),的频谱函数,解 根据傅里叶变换的尺度变换性质,g(2t),的频谱函数为,尺度变换求频谱,44,图4.13 尺度变换,45,图4.11 单边指数信号及其频谱,例49利用奇偶虚实性求图4.11单边指数信号f(t)=2e,-t,u(t)的频谱。,利用奇偶虚实性求频谱,46,解 从波形图（a）上可见,单边指数信号f(t)是非偶非奇函数,但可分解为如图（b）,（c）所示的偶函数和奇函数两部分,见下式。,f(t)=2e,-t,u(t)=f,e,(t)+f,o,(t),其中,47,48,例 3.5-2,求高频脉冲信号,f,(,t,)(图 3.5-2(,a,)的频谱。,图 3.5-2 高频脉冲信号及其频谱,(,a,),f,(,t,)的波形；(,b,)频谱,高频脉冲信号,f,(,t,)的频谱,49,解,图3.5-2(a,)所示高频脉冲信号,f,(,t,)可以表述为门函数,g,(,t,)与cos,0,t,相乘，即,50,例413 求高频脉冲信号 p(t)=g,(t)cos0t 的频谱函数,解 由于,高频脉冲信号的频谱函数,51,故有,根据频移特性有,52,图4.14 频移特性,53,例 3.5-4,求图 3.5-5(,a,)所示梯形信号,f,(,t,)的频谱函数。,解,若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如,t,e,-jt,的繁复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。,将,f,(,t,)求导，得到图 3.5-5(,b,)所示的波形,f,1,(,t,)，将,f,1,(,t,)再求导，得到图 3.5-5(,c,)所示的,f,2,(,t,)，显然有,梯形信号,f,(,t,)的频谱函数,54,图 3.5-5 梯形信号及其求导的波形,55,据时移性质有,56,57,图 3.5-6 另一种梯形信号,58,图4.15 梯形脉冲的傅里叶变换,梯形脉冲的傅里叶变换,例414 求图4.15所示梯形脉冲的傅里叶变换。,59,解 梯形脉冲可看作是两个不同宽度的矩形脉冲,f,1,(t)与f,2,(t)的卷积，如图4.15所示。,f(t)=f,1,(t)*f,2,(t),而矩形脉冲的傅里叶变换已在例43中求出,具体来说,60,图4.16 半波正弦脉冲,61,图4.17 三角形脉冲及其一、二街导的波形,62,例 3.6-1,求图 3.6-1(,a,)所示周期矩形脉冲,f,(,t,)的频谱函数,F,(,j,)。,图 3.6-1,周期矩形脉冲信号及其频谱,(,a,)f(t)的波形；(,b,)复振幅,F,n,;(,c,)频谱函数,F,(j),周期矩形脉冲,f,(,t,)的频谱函数,63,解,周期矩形脉冲,f,(,t,)的复振幅,F,n,为,64,例 3.6-2,图3.6-2(,a,)为周期冲激函数序列,T,(,t,)，其周期为,T,，,T,(,t,)可表示为,m,为整数,图 3.6-2 周期冲激序列及其频谱,周期冲激函数序列,T,(,t,)的频谱,65,解,先求,T,(,t,)的复振幅,F,n,：,66,设一周期信号,f,T,(,t,)，其周期为,T,，,f,T,(,t,)中位于第一个周期的信号若为,f,a,(,t,)，则不难得到,67,已经知道,68,例 3.8-1,已知激励信号,f,(,t,)=(3e,-2,t,-2)(,t,)，试求图 3.8-1 所示电路中电容电压的零状态响应,u,Cf,(,t,)。,图 3.8-1 例 3.8-1 的图,用频域分析法求响应,69,70,注意到,(,)的取样性质，并为了较方便地求得,U,Cf,(j)的逆变换，将,U,Cf,(j)按如下形式整理:,71,图 4.19,例420如图4.19所示,试分析单位阶跃信号u(t)通过RC高通网络传输后的波形。,用频域法求响应,72,则按H()的定义有,对于单位阶跃信号u(t)而言,此时,解 显然,当输入信号u,S,(t)为复指数信号e,jt,时,如图有,73,最后一步考虑了冲激函数的取样性质。因此,74,例 3.8-2 如图 3.8-2(,a,)所示系统，已知乘法器的输入,s,(,t,)的波形如图 3.8-2(,b,)所示，系统函数,用频域分析法求响应,75,图 3.8-2 例 3.8-2 图,(,a,)系统组成；(,b,)s(t)的波形,76,先求,f,(,t,)的傅里叶变换,F,(j)，由于,77,再求,s,(,t,)的傅里叶变换,S,(j)。由于,s,(,t,)为周期信号，,T,=1ms，则,因而有,78,图 3.8-3,y,(,t,)的求解,79,80,例 3.8-3,已知系统函数,H,(j)如图3.8-4(a)所示，试求在,f,(,t,)(图3.8-4(,b,)作用下系统的输出,y,(,t,)。,解,周期信号,f,(,t,)可以表示为傅里叶级数：,由,T,=4s可知，。考虑到,H,(j)的低通特性，当|n|时H(,jn,)=0，即|,n,|2 时,H,(,jn,)=0，则,用频域分析法求响应,81,82,图 3.8-4 例 3.8-3 图,83,