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微积分试题及答案
第一章函数极限与连续
一、填空题
已知 f (sii^) 1 cosx ,则 f (cosx)
(4 3x)2
xlmxQ x2) °
x 0 时，tanx sinx是乂的
1 limxk sin-
x 0x
1、
2、
3、
4、
0成立的k为
5、
lim ex arctax
x
6、
7、
8、
9、
阶无穷小。
x 0,
「在x 0处连续，则b x 0
f(x)ex：
x b,
ln3x 1) lim
x 0 6x
设f (x)的定义域是［0,1］，则f (lnx)的定义域是
函数y 1 lnx
10、
设a是非零常数
11、
12、
13、
14、
15、
1、
2、
3、
4、
2)的反函数为。
则 lim(^)x 。
x x a
1
1 ax2)3 1与cosx 1是等价无穷小，则常数a
. 3x ,
已知当x 0时
函数f(x)
arcsi 一的定义域是。
1 x
lim Q'x2 2 A)
(C)
f (x)
1 x
是比
函数f (x)
g(x)； (B) f(x) h (x)；
(x) 1 \/x
高阶的无穷小;
是同阶无穷小;
\.L 1
V^
k
则当x
(B)
(D)
0(x
中所给的函数必为奇函数。
(C) f (x) g (x) h(x) ］； (D) f (x)g (x)h (x)。
1时有
是比低阶的无穷小;
—
D在x 0处连续，则k
(A) 2；
Li
数列极限limn［ln(
n
(A) 1；
(B)
2
3
1)
Inn］
(B)
1；
；
(C)1；
(D) 0。
(C)
(D)不存在但非。

5、 f (x)
sinx
x
x
0
_1 xcos—
x
(A)连续点；(B)
，则x 0是f(x)的
可去间断点；(C)跳跃间断点;
6、以下各项中f (x)和g(x)相同的是()
(x) 2 lgx；
(D)
振荡间断点。
(A) f (x)lgx2，g
(C) f (x)Vx4
sinx
7、 lim=
x 0 lx|
(A)1；
x3
g (x)
x^x 1 ；
-1；
(C)
(B)
(D)
0；
f(x)
f(x)
1,
(D)
X1 x) x
8、lim1 x 0
(A) 1；
9、f (x)在x0的某一去心邻域内有界是lim f (x)存在的( (A)充分必要条件；(B)
10、limxQ'x2 1 x)(
x
-1；
(C) e；
(D)
g (x) V'x2 ；
g (x) sec2 x tan2 x
不存在。
x x
充分条件；(C)必要条件；(D)既不充分也不必要条件.
)
(C) 了； Li
11、设{a},{b},{c }均为非负数列，且limann
(A)1；
(B)2；
(D)0。
n n n
(A) an气对任意n成立;
(C)极限lima c不存在；
n
12、当x 1时
(A)等于2； 三、计算解答 1、计算下列极限
(1)
(3)
(5)
(7)
0, limb
n n
1, limc
n
n
，则必有(
(B) bn气对任意n成立; (D)极限limb c不存在。
函数一
x 1
(B)等于0；
x lim2n si —；
nn
x 1的极限
(2)
；(D)
不存在但不为
1
limx (ex 1)；
x
8cos2 x 2cosx 1
lim厂；
2cos2 x cosx x _ 3
].11
lim
n 12 2 3
1 j n (n1)
(4)
(6)
(8)
lim 竺二；
x 0 x
1.2x13x
lim；
x2x1；
…如 1 xsinx t'cosx
lim；
x 0x tanx
x2 1
3、试确定a,b之值，使lim——-
x x 1
4、利用极限存在准则求极限
1111
1 ---——
(1) lim—2—3—1——。
n 1 --
2 3
ax
ln1 也 x) lim。
x 2 arctan'4 x
1
2。

(2)设x a 0,且x ;aF (n 1,2,)，证明l imx存在，并求此极限值。 1n 14 nn
n
nx n x
5、 讨论函数f(x)lim的连续性，若有间断点，指出其类型。
n nx n x
6、设f (x)在［a,b］上连续，且a f (x) b，证明在(a,b)内至少有一点，使f ()
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、
9、
、填空题
2siir x
f(x)
10、
11、
12、
13、
14、
高阶。
第一单元函数极限与连续习题解答
f (sin^) 1 1 2 sin2 —) 2 2 sin2 -
22-
f (cosx) 2 2 cos2 x 2 sin2 x
9x2 24 x 16 八
lim 0 „
x
sinx
2x2
(4 3x)2 lim ?
x x1 x2)
lim工
x 0 x
x3 x
1. tanx 1 cosx) lim
x 0
tanx sinx是x的高阶无穷小。
k 0。
si『为有界函数，所以要使limxk x
sin! 0,
x
y ex 12
e2a
lim1 cosx) 0, x 0
只要limxk
x 0
0,即 k 0。
lim ex arctax 0
x
lim f (x)lim (x
f(0)0 b, i・ ln3x 1) lim
0
6x
根据题意
1
x ey
原式=lim1
及lim
x 0
可得
11-x -
42
3x
1
x
ln2
ax2)3
〃、1
1 2x2)3
cosx 1
3
2。
(lim ex
x
b) b,
0
2。
lim3^
x 0 6x
要求0
ln 2),
1
2。 lnx
(y
1,
1)
0,arctax
lim f (x)
x 0
所以1
lnx
2),
(亍*)。
lim (ex 1)2
x 0
e。
2ey
1,
2, y 1
7 Q x_a x 2a2a
—)2a x a
a
1
-ax2
3
1
—ax2 lim — x 0 — x2
2
ln(k
e2a
2)的反函数为y
(利用教材P58 (1 x)a
由反三角函数的定义域要求可得
解不等式组可得
lim(x2 24x2 2
x
lim x2 2
x
(x22)
一 )x lim(1
x x a x xx
ex i
1〜ax
cosx 1
1
—x2
2
1
2 , f (x)的定义域为
1
1
2。
lim
x
v'x22
一 )x,令 t= a，所以 x= 3at a x a3a

15、2
即：
lim(
x
W^)xlim[(1
x at

1ln23
3a
ln8
a — ln8 ——

33

ln2
1)t]3a・(1 l)a = e3a 8 tt
lim (侦n.. ~ ) (in 2 选(C)
lim-
x 1 1
选(A)
选(B)
选(C)
lim—(x)
x 1(x)
1 x
x) 1 1x)
3
lim f (x)
x 0
limn[lnn(
n
f(0
6、选(C)在(A)中
7、
8、
9、
lim—1 x _
x 1 1 x) 1 vx)
3
— (利用教材P58
lim 匚 1
x 0
lim
x 1 1 x) 1 %1 1 x)]
(1
x)a 1 〜ax )
1
—x lim^
0 !x
3
1) lnn]
f (0 )
lim
n
0
3
-(利用教材P58 (1 x)a

ln(1 i) n 1
n
f (0) 0
1 〜ax )
f (x) lnx2的定义域为x 0,而g (x)2 lnx的定义域为x 0, f (x)
故不正确
在(B) f (x) x的值域为(，)，g(x) Jx2的值域为x 0,故错
在(D)中 f (x) 1的定义域为R, g (x) sec2 x tanx的定义域为
{x R, x
选(D)
1. sinx lim
x 0 lx I
选(D)
选(C)
1. sinx lim —
x 01 x 1
不存在
lim1
x 0
x1 x) x
g (x)
f (x) g (x),
1. sinx 」
lim 1
0 x
故错
sinx lim x 01 x 1
sinx1
lim1
x 0 x
lim[l( x) ] x(1) e 1
x 0
由函数极限的局部有界性定理知，limf(x)存在，则必有x0的某一去心邻域使f (x)有界，例如limsin1，函数1x 0 x
xx0
而f (x)在x°的某一去心邻域有界不一定有lim f (x)存在，
但在x 0点极限不存在
10、选(C)
sin1 1有界，x
(・.・ 1 imx ((x21 x)
x
limx
x
(Jx2 1 x)(，'x2 1 x)
lim-
x
x
x2 1 x

1
—1
!
1
2
：1
—
1
V
x2

(B
lim
x
)显然不对，因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当n充分大时”的情 “对任意n成立”的性质。
11、选(D)(A)、
况，不可能得出
(C)也明显不对，因为“无穷小•无穷大”
是未定型，极限可能存在也可能不存在。
12、选(D)
x21工
limex 1
lim (x 1)ex 1

x 1 lim
_ (2cosx 1) (cox 1)

3
1
x 1
x2
1 —
一、工
lim —
——ex 1lim (x
1)ex 1
x 1 x
1x 1

当x
1时函数没有极限，
也不是。

2 0 0
三、计算解答
1、计算下列极限：

(1)解：
x lim2n si ——
x lim2n —
2x。
n
2n 1
n2n 1

1
cosx
(2)解:
cscx lim
cotxsinx
lim —
sinx

x 0
x
x 0x

(3)解:
1 limx (ex
1)
1 limx — 1
。

x

xx

1 cosx lim
x 0 xsinx
(4)解:
x
l嶂
liml
x
X2
lim?
x o x2
l)3x 1
2x 1
lim[1 -!y)x2 t]3o xx —
2

[lim(1 —^y)x2]3 [lim(1 —£^)：]3 e
x
x
—x
x —

2
2

5)解:

8cos2 x 2cosx 1 lim
_ 2cos2 x cosx 1
x
3

(2 cosx 1) 4 cosx 1)

(6)解:
<1 xsinx 3
2 44。
:lim
［上

-]
x
1 2
2 3
n(n
1)

1
11
1
1
lim[1
1)
(-1 b
(-
—
x
2
2 3
n
n
lim1
-1
-)1。

x
n
1。

:lim.
•
ln1
史x)
3；2 lim^=
1
x
x 2
arctan'4 x2
x 2寸4
x2

(7)解
limG^— x 2 2 x
-)] 1
)3

,x21、
3、解： lim C——ax b)x x 1
1. 1 a)x2 (a b)x lim -
x
1
(a
4、 (1)1
而lim
x
a
b)
0
1
2
2
x2 1 ax2 (a b)x b lim.
x
1 b)
1
3
2
11
n n 1
1
lim
x
1
3
1 1
2
11
n c 1
（2）先证有界（数学归纳法）
n 1 时，x :ax
21
设n k时，xk a
数列｛x ｝有下界，
n
再证｛x ｝单调减，
va a
..ax
k
va2
x
n
x
n
则有
：ax
n
x v x
nn
x即｛x ｝单调减
nn
JaAA 0
limx存在 n n
（舍）或A
5、解:
n2x
先求极限得f (x) lim一
n n2x
lim f (x)1 lim f (x)
n°、x,o 一、 八
f (x)的连续区间为(，0) (0,
设 limx
n
n
limx
n
x
n
1
0
1
f(0)
A,
0
0
0
0
x 0为跳跃间断点.。
6、解：令 F (x) f (x) x,则 F (x)在［a,b］上连续 而 F (a) f (a) a 0 F (b) f(b) b 0
由零点定理， (a,b)使F() 0
即f ( )0 ，亦即f ()。