电磁场与微波技术(场论)课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,章 场论,1.1,矢量的基本运算公式,1.2,场的基本概念,1.3,标量场的梯度,1.4,矢量场的散度和旋度,1.5,亥姆霍兹定理,1.6,常用正交曲线坐标系,1,1.1,矢量的基本运算公式,1.1.1,标量和矢量,1.1.2,基本运算公式,1.1.3,常用矢量,2,标量,-,用大小能够完整描述的物理量,矢量,-,需用大小和方向描述的物理量,若三个相互垂直的坐标轴上的分量已知,一个矢量就确定了。例如在直角坐标系中,矢量,A,的三个分量模值分别是,A,x,A,y,A,z,则,A,可表示为,该矢量的模为,11,矢量的基本运算公式,1.1.1,标量和矢量,A,的单位矢量为,矢量的表示方法,3,例如,在直角坐标下,标量场,如温度场,电位场,高度场等,;,矢量场,如流速场,电场,涡流场等。,1.1,矢量的基本运算公式,1.1.1,标量和矢量,4,设,1.1,矢量的基本运算公式,1.1.2,矢量的基本公式,(2),矢量的加法和减法,(1),矢量的数乘,5,(3),标量积和矢量积,标量积,A,B,并有,因而得,矢量的相乘有两种定义,-,标量积,(,点乘,),和矢量积,(,叉乘,),。,1.1,矢量的基本运算公式,1.1.2,矢量的基本公式,6,矢量积,A,B,(3),标量积和矢量积,并有,故,1.1,矢量的基本运算公式,1.1.2,矢量的基本公式,7,标量三重积为,矢量三重积为,（,4,）三重积,矢量的三连乘也有两种,-,标量、矢量三重积。,1.1,矢量的基本运算公式,1.1.2,矢量的基本公式,8,(5),求导,例,求矢量场 的矢量线方程。,解,矢量线应满足的微分方程为,从而有,解得矢量方程,c,1,和,c,2,是积分常数。,1.1,矢量的基本运算公式,1.1.2,矢量的基本公式,9,1.1,矢量的基本运算公式,1.1.2,矢量的基本公式,(6),曲线积分,例 设,，求任意两点,a,、,b,间的矢量,E,的线积分。,解,10,(7),曲面积分,例,已知矢量场 ，求由内向外穿过圆锥面,x,2y,2,=,z,2,与平面,z,=,H,所围封闭曲面的通量。,解,1.1,矢量的基本运算公式,1.1.2,矢量的基本公式,11,1.1,矢量的基本运算公式,1.1.3,常用矢量,单位矢量 一个特定方向上的单位矢量等于该方向上的任一矢量除以其幅值,分矢量 一个矢量在特定方向上的投影为其在该方向上的分量,切向矢量（分量）,法向矢量（分量）,12,1.2,场的基本概念,1.2.1,定义,1.2.2,分类,1.2.3,场图,13,1.2,场的基本概念,1.2.1,场的定义,场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量值。,1.2.2,场的分类,（,1,）标量场,例如,在直角坐标系,标量场的场线,-,等值线,(,面,),。,等值线,14,标量场,(,x,y,z,),的等值面方程为,1.2,场的基本概念,1.2.1,场的定义,场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量值。,1.2.2,场的分类,（,1,）标量场,例 求数量场,=(,x+y,),2,-,z,通过点,M,(1,0,1),的等值面方程。,解 点,M,的坐标是,x,0,=1,y,0,=0,z,0,=1,，则该点的数量场值为,=(,x,0,+,y,0,),2,-,z,0,=0,。其等值面方程为,或,15,1.2,场的基本概念,1.2.1,场的定义,场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量值。,1.2.2,场的分类,（,2,）矢量场,例如,在直角坐标系,矢量场的场线,-,矢量线。,其方程为,三维场,在直角坐标下,二维场,16,1.2,场的基本概念,1.2.1,场的定义,场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量值。,1.2.2,场的分类,（,2,）矢量场,例,求矢量场 的矢量线方程。,解,矢量线应满足的微分方程为,从而有,解得矢量方程,c,1,和,c,2,是积分常数。,17,形象描绘场分布的工具,-,场线,矢量场,-,矢量线,标量场,-,等值线,(,面,),。,其方程为,其方程为,在直角坐标下,:,矢量线,在某一温度上沿什么方向温度变化最快？,1.2.3,场图,18,1.3,标量场的梯度,1.3.1,方向导数,1.3.2,梯度,1.3.3,梯度的物理意义,19,标量场,(,x,y,z),在某点沿,l,方向的变化率称为,沿该方向的方向导数 。它的值与所选取的方向 有关,设,1.3,标量场的梯度,1.3.1,方向导数,20,1.3,标量场的梯度,标量函数的最大变化率,1.3.1,方向导数,在直角坐标系下,性质,垂直于等值面；,指向变化最快的方向；,最大的变化率；,定义,1.3.2,梯度,定义,21,引入,则,定义标量场,(x,y,z),在点,P,(x,y,z),处的梯度,(gradient),为22,标量函数,的,等值面的法线方向单位矢量可用梯度表示为,即梯度的方向与过该点的等值面相垂直,并由梯度定义知,它指向,增大的方向。,一座山的等高线图,23,梯度运算有如下规则,:,24,例,求数量场 在点,M,(1,1,2),处沿 方向的方向导数。,解,l,方向的方向余弦为,而,在,l,方向的方向导数为,在点,M,处沿,l,方向的方向导数,25,例,求,r,在,M,(1,，,0,，,1),处沿 方向的方向导数。,解,r,的梯度为,点,M,处的坐标为,x,=1,y,=0,z,=1,所以,r,在,M,点处的梯度为,r,在,M,点沿,l,方向的方向导数为,而,所以,26,标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数,;,梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向。,梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数,;,1.3.3,梯度的物理意义,三维高度场的梯度,例 高度场的梯度,与过该点的等高线垂直；,数值等于该点位移的最大变化率；,指向地势升高的方向。,27,例,电位场的梯度,与过该点的等位线垂直；,指向电位增加的方向。,数值等于该点的最大方向导数；,电位场的梯度,28,1.4,矢量场的散度和旋度,1.4.1,通量,1.4.2,散度,1.4.3,环量,1.4.4,旋度,29,1.4,矢量场的散度和旋度,1.4.1,通量,元通量,通量,30,矢量,E,沿闭合曲面,S,的面积分,0(,有正源,),0(,有负源,),=0(,无源,),矢量场的通量,可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质,:,通量的物理意义,31,定义矢量,A,在某点的散度,(divergence),记为,div,A,:,1.4,矢量场的散度和旋度,1.4.2,散度,哈密顿,(W.R.Hamilton),引入微分算子,则散度可以表示为,32,1.4,矢量场的散度和旋度,1.4.2,散度,33,得高斯公式,(,散度定理,),该公式表明了区域,V,中场,A,与边界,S,上的场,A,之间的关系。,矢量函数的面积分与体积分的互换。,1.4,矢量场的散度和旋度,1.4.2,散度,意义,34,例 球面,S,上任意点的位置矢量为,试利用散度定理计算,解,35,矢量,A,沿某封闭曲线的线积分,定义为,A,沿该曲线的环量,(,或旋涡量,),记为,1.4,矢量场的散度和旋度,1.4.3,环量,环量密度,取不同的路径，其环量密度不同。,36,旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。,旋度,(,curl,或,rotation,),与环量密度的关系为,在直角坐标系下,1.4,矢量场的散度和旋度,1.4.4,旋度,37,1.4,矢量场的散度和旋度,1.4.4,旋度,旋度的物理意义,矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。,点,P,的旋度的大小是该点环量密度的最大值。,在矢量场中，若,A=J0,称之为,旋度场,(,或涡旋场,),，,J,称为,旋度源,(,或涡旋源,),；,点,P,的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。,若矢量场处处,A=0,，,称之为无,旋场,(,或保守场,),。,38,矢量,A,的旋度可表示为算子与,A,的矢量积,即,计算,A,时,先按矢量积规则展开,然后再作微分运算,得,1.4,矢量场的散度和旋度,1.4.4,旋度,39,旋度运算符合如下规则,:,在直角坐标系中有,40,斯托克斯,(Stockes),定理,A,是,环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。因此，其面积分后，环量为,即,Stocke,s,定理,在电磁场理论中，,Gauss,公式和,Stockes,公式是两个非常重要的公式。,矢量函数的线积分与面积分的互换。,该公式表明了区域,S,中场,A,与边界,L,上的场,A,之间的关系,41,例,自由空间中的点电荷,q,所产生的电场强度为,求任意点处,(,r,0),电场强度的旋度,E,。,解,42,可见,向分量为零,;,同样,向和 向分量也都为零。故,这说明点电荷产生的电场是无旋场。,因,43,1.5,亥姆霍兹定理,1.5.1,散度和旋度的比较,1.5.2,亥姆霍兹定理,44,1.5.1,散度和旋度的比较,矢量场的散度是一个标量函数,而矢量场的旋度是一个矢量函数。,散度表示场中某点的通量密度,它是场中任一点通量源强度的量度,;,旋度表示场中某点的最大环量强度,它是场中任一点处旋涡源强度的量度。,1.5,亥姆霍兹定理,散度由各场分量沿各自方向上的变化率来决定,;,而旋度由各场分量在与之正交方向上的变化率来决定。,45,在有限区域内，矢量场由它的,散度、旋度,及,边界条件,唯一地确定。,已知,矢量,A,的通量源密度,矢量,A,的环量源密度,场域边界条件,在电磁场中,电荷密度,电流密度,J,场域边界条件,（矢量,A,唯一地确定）,1.5.2,亥姆霍兹定理,46,例：,判断矢量场的性质,=0,=0,=0,0,0,=0,47,1.6,常用坐标系,1.6.1,直角坐标系,1.6.2,圆柱坐标系,1.6.3球坐标系,48,坐标变量,微元,1.6,常用正交曲线坐标系,1.6.1,直角坐标系,49,柱坐标系,1.6,常用正交曲线坐标系,1.6.2,圆柱坐标系,坐标变量,三者总保持正交关系,并遵循右手螺旋法则,50,微元,51,1.6,常用正交曲线坐标系,1.6.3,球坐标系,坐标变量,三者总保持正交关系,并遵循右手螺旋法则,52,微元,，,53,三种特殊形式的场,1.,平行平面场,：,如果在经过某一轴线,(,设为,Z,轴,),的一族平行平面上，场,F,的分布都相同，即,F=f(x,y),，则称这个场为平行平面场。,54,三种特殊形式的场,2.,轴对称场,：,如果在经过某一轴线,(,设为,Z,轴,),的一族子午面上，场,F,的分布都相同，即,F=f(r,),，则称这个场为轴对称场。,55,三种特殊形式的场,3,球面对称场,：,如果在一族同心球面上,(,设球心在原点,),，场,F,的分布都相同，即,F=f(r),，则称这个场为球面对称场。,56,练习,1,设,证明 。,练习,2,设,求 。,57,直角坐标系,58,圆柱坐标系,59,球坐标系,60,