空间中两直线的位置关系(课堂PPT).ppt

第,*,页,第一章 本章回顾,返回首页,名师一号,高中同步学习方略,新课标,A,版,数学,必修,4,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,数学必修,2,空间中两直线的位置关系,赵 金 才,复习引入,1,、平面的表示方法,2,、平面的画法,3,、点线面之间的位置关系及图形文 字符号语言的转化,4,、平面性质中的三个公理及其 符号语言,问题,1,：,在平面几何中，两直线的位置,关系如何？,讲授新课,a,b,c,d,问题,2,：,没有公共点的直线一定平行吗？,问题,3,：,没有公共点的两直线一定在同,一平面内吗？,生,活,数,学,地铁线条与柱子线条,水流线条与桥面线条,在正方体的面,ABCD,中，,AB,与,AD,相交，,AB,与,CD,平行,.AB,和,CC,的位置关系是平行还是相交还是两者都不是？,两者都不是,定义：,不同在任何一个平面内的两条直线,叫做,异面直线,.,空间两条直线的位置关系：,共面直线,异面直线,相交直线,平行直线,不同在任何一个平面内，没有公共点。,同一平面内，有且只有一个公共点,同一平面内，没有公共点；,异面直线的画法：,为了体现不共面的特点采用平面衬托法,两条异面直线指：,A.,空间中不相交的两条直线；,B.,某平面内的一条直线和这平面外的直线；,C.,分别在不同平面内的两条直线；,D.,不在同一平面内的两条直线；,E.,不同在任一平面内的两条直线；,F.,分别在两个不同平面内的两条直线；,H.,空间没有公共点的两条直线；,I.,既不相交，又不平行的两条直线,.,(E,I ),练习,1,A,1,B,1,C,1,D,1,C,B,D,A,练习,2,如图所示：正方体的棱所在的直线,中，与直线,A,1,B,异面的有哪些？,练习,3,下图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么,AB,，,CD,，,EF,，,GH,这四条线段所在直线是异面直线的有几对？,H,G,F,E,D,C,B,A,三对,AB,与,CD,AB,与,GH,EF,与,GH,a,与,b,是,相交,直线,a,与,b,是,平行,直线,a与,b,是,异面,直线,a,b,M,答：,不一定,：,它们可能异面，可能相交，,也可能平行。,分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？,a,b,a,b,深化认识,异面直线的判定定理,连结平面内一点和平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线,知识延伸,证明：,点,点,直线,直线 异面,如何判断两条直线是异面直线？,2.,空间两平行直线,提出问题：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？,平行吗,?,中,观察,：,如图长方体,与,那么,DD,AA,BB AA,公理,4,：,平行于同一条直线的两条直线互相平行。,公理,4,实质上是说,平行具有传递性,，在平面、空间这个性质都适用。,公理,4,作用：,判断空间两条直线平行的依据。,ab,c,b,a,c,符号表示：,设空间中的三条直线分别为,a,b,c,若,想一想,:,空间中,如果两条直线都与第三条直线垂直,是否也有类似的规律,?,练习,4,：,如图，点,P,、,Q,、,R,、,S,分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线,PQ,与,RS,是异面直线的一个是,.,例题示范,例,1,：在空间四边形,ABCD,中，,E,，,F,，,G,，,H,分别是,AB,，,BC,，,CD,，,DA,的中点。,求证：四边形,EFGH,是平行四边形。,分析：,欲证,EFGH,是一个平行四边形,只需证,EHFG,且,EH,FG,E,，,F,，,G,，,H,分别是各边中点,连结,BD,只,需证：,EH BD,且,EH,BD,FG BD,且,FG,BD,A,B,D,E,F,G,H,C,例题示范,例,1,：在空间四边形,ABCD,中，,E,，,F,，,G,，,H,分别是,AB,，,BC,，,CD,，,DA,的中点。,求证：四边形,EFGH,是平行四边形。,A,B,D,E,F,G,H,C,EH,是,ABD,的中位线,EH BD,且,EH=BD,同理，,FG BD,且,FG=BD,EH FG,且,EH=FG,EFGH,是一个平行四边形,证明：,连结,BD,变式一：,在例,2,中，如果再加上条件,AC=BD,，那么四边形,EFGH,是什么图形,?,E,H,F,G,A,B,C,D,分析：,在例题,2,的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。,菱形,3.,等角定理,提出问题,:,在平面上,我们容易证明,“,如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补,”,。在空间中,结论是否仍然成立呢,?,观察思考：如图,ADC,与,ADC,、,ADC,与,ABC,的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？,3.,等角定理,定理：,空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。,3.,等角定理,定理：,空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。,定理的推论,:,如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角,(,或直角,),相等,.,夹角,在,平面内两直线相交成四个角，,不大于,90,的角成为夹角,。,a,b,夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜程度，异面直线通过,异面直线所称的角,来刻画。,O,O,异面直线所成的角,已知两条异面直线,a,b,经过空间任一点,O,作直线,a/a,b/b，,我们把,a与b,所成的锐角（或直角）叫做,异面直线,a,与,b,所成的角（或夹角）,。,为简便，,O,点常取,在某一直线上,想一想,:a,与,b,所成角的大小,与点,O,的位置有关吗,?,如果两条异面直线所成的角是直角，那么就说这,两条直线相互垂直,记作：,思想方法,：,异面直线,相交直线,平移,异面直线所成的角,空间图形,问题,平面图形,问题,（1）在长方体,ABCD-ABCD,中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？,有，如,AB,和,CC,，,AB,和,DD,。,垂直,（,2,）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？,垂直分为两种：,相交直线的垂直,异面直线的垂直,（,3,）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？,如图，若,c,，则,c,垂直于,内所有直线，而,内任意两条直线的关系可能是平行，也可能是相交。,不一定,例题示范,例,2,、如图，已知正方体,ABCD,ABCD,中。,（,1,）哪些棱所在直线与直线,BA,是异面直线？,（,2,）直线,BA,和,CC,的夹角是多少？,（,3,）哪些棱所在的直线与直线,AA,垂直？,解：（,1,）由异面直线的判定方法可知，与直线,成异面直线的有直线,，,例题示范,例,2,、如图，已知正方体,ABCD,ABCD,中。,（,1,）哪些棱所在直线与直线,BA,是异面直线？,（,2,）直线,BA,和,CC,的夹角是多少？,（,3,）哪些棱所在的直线与直线,AA,垂直？,解：（,2,）由 可知，,等于异面直线 与,的夹角,所以异面直线 与 的夹角为,45,0,。,(3),直线,与直线 都垂直,.,练习反馈：1.,判断,:,（,1,）平行于同一直线的两条直线平行,.,（）,（,2,）垂直于同一直线的两条直线平行,.,（,）,（,3,）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行,.,（）,（,4,）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条,.,（）,（,5,）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（）,（,6,）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等,.,（,）,专题 异面直线所成角的求法,异面直线所成的角的求法,:,典例剖析,例,1,：如图正方体,AC,1,，,求异面直线,AB,1,和,CC,1,所成角的大小,求异面直线,AB,1,和A,1,D,所成角的大小,D,1,D,1,C,B,1,A,1,A,D,D,1,B,C,1,分析,1,、做异面直线的平行线,2,、说明哪个角就是所求角,3,、把角放到平面图形中求解,解,:,CC,1,/BB,1,AB,1,和,BB,1,所成的锐角是异面直线,AB,1,和,CC,1,所成的角,在,ABB,1,中，,AB,1,和,BB,1,所成的角是,45,0,异面直线,AB,1,和,CC,1,所成的角是,45,0,。,异面直线所成的角的求法,:,典例剖析,例,1,：如图正方体,AC,1,，,求异面直线,AB,1,和,CC,1,所成角的大小,求异面直线,AB,1,和,A,1,D,所成角的大小,D,1,D,1,C,B,1,A,1,A,D,D,1,B,C,1,分析,1,、做异面直线的平行线,2,、说明哪个角就是所求角,3,、把角放到平面图形中求解,在四边形,A,1,B,1,CD,中，,A,1,B,1,CD,A,1,D/B,1,C,AB,1,和,B,1,C,所成的锐角是异面直线,AB,1,和,A,1,D,所成的角,在,AB,1,C,中，,AB,1,和,CC,1,所成的角是,60,0,异面直线,AB,1,和,A,1,D,所成的角是,60,0,。,D,B,1,A,1,D,1,C,1,A,C,B,D,B,1,A,1,D,1,C,1,A,C,B,D,B,1,A,1,D,1,C,1,A,C,B,正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,P,为,BB,1,的中点,如图画出下面各题中指定的异面直线,P,异面直线所成的角是锐角或直角，当三角形内角是钝角时，,表示异面直线,所成的角是它的补角,.,D,B,1,A,1,D,1,C,1,A,C,B,以第三幅图为例，设正方体的棱长为,1,，,求异面直线的夹角,F,E,1,E,F,1,如图，补一个与原正方体全等的并与原正方体有公共面的正方体,补形法,把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。,练习,如图在正方体中，,E,，,F,分别为 的中点，求,AE,，,BF,所成角的余弦值。,E,F,例,4.,如图,三棱锥,A,BCD,中,，,AB=CD,且,AB,与,CD,所成角为,30,，,E,、,F,分别为,BC,、,AD,的中点，求,EF,与,AB,所成角的大小。,B,D,C,A,E,F,M,求异面直线所成角的步骤：,作：,证：,求：,例,5,、如图所示，在正三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,D,是,AC,的中点，,AA,1,AB,，求异面直线,AB,1,与,BD,所成角的余弦值,M,A,F,E,D,C,B,如图，在四面体,ABCD,中，,E,，,F,分,别是棱,AD,，,BC,上的点,且,已知,AB=CD=3,，,求异面直线,AB,和,CD,所成的角,.,M,