线性代数-矩阵的特征值与特征向量课件.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,1 特征值与特征向量、相似矩阵,特征值与特征向量、相似矩阵,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,1 特征值与特征向量、相似矩阵,1 特征值与特征向量、相似矩阵,第五章 矩阵的特征值与特征向量,2 矩阵可对角化的条件、实对称,矩阵的对角化,1 特征值与特征向量、相似矩阵,1,一、特征值与特征向量,二、相似矩阵,1 特征值与特征向量、相似矩阵,1 特征值与特征向量、相似矩阵,2,一、特征值与特征向量,定义1：,列向量，使得,则称数 为方阵,A,的一个特征值，非零向量 称为,设,A是n阶方阵，若对于数,，存在n维非零,A,的属于特征值 的一个特征向量.,注：,存在非零向量 使,1 特征值与特征向量、相似矩阵,3,设 是一个未知量，矩阵称为,A,的,定义2:,特征矩阵,，它的行列式,特征方程，其根称为,A,的特征根，即,A,的特征值.,称为,A,的,特征多项式,.方程 称为,A,的,注.,n阶方阵,A,在复数范围内有n个特征值,.,1 特征值与特征向量、相似矩阵,4,（1,）,若 是,A的属于特征值的特征向量，则,也是,A,的属于的特征向量.,（3）,特征向量不是被特征值所唯一确定的.,（4）,特征值是被特征向量所唯一确定的.,（一个,特征值可以有多个特征向量）,（一个特征向量只能属于一个特征值）,（2）,也是,A,的属于的特征向量.,若 是,A的属于特征值的特征向量，,则 不全为零,1 特征值与特征向量、相似矩阵,5,求矩阵的特征值与特征向量的一般步骤,ii),把所求得的特征值逐个代入方程组,的全部线性无关的特征向量.,并求出它的一组基础解系,，它们就是属于这个特征值,全部特征值.,i),求,A,的特征多项式 的全部根，它们就是,A的,1 特征值与特征向量、相似矩阵,6,例,1,.,求矩阵,的特征值与特征向量.,例,2,.,求矩阵,的特征值与特征向量.,例,3,.,求矩阵,的特征值与特征向量.,例题（,P160-163,）,1 特征值与特征向量、相似矩阵,7,性质1：,n阶矩阵,A与它的转置矩阵 的特征值相同.,性质3,：,已知为n阶矩阵A的一个特征值，则,（,1,）必有一个特征值为,;,（,2,）必有一个特征值为,;,主要性质,A,的全体特征值的和,A,的,全体特征值的积,性质2：,设n阶矩阵,，则,1 特征值与特征向量、相似矩阵,8,（,3,）必有一个特征值为,;,（,4,）,A,可逆时，必有一个特征值为,;,（,5,）,A,可逆时，必有一个特征值为,；,（,6,）多项式 必有一个特征值为,.,1 特征值与特征向量、相似矩阵,9,例4,.设3阶矩阵A满足 ，则A的特征值,只能是1或2.,证明：由 得,即，,从而，或,即A的特征值只能是1或2.,1 特征值与特征向量、相似矩阵,10,例6,.,已知3阶矩阵A的特征值为：1，2，3，求,行列式 .,例5,：,已知3阶矩阵A的特征值为：1，1，2，,则矩阵的特征值为：,，,行列式,.,1 特征值与特征向量、相似矩阵,11,特征值 的特征向量，则,定理1.,设 是 阶矩阵,A,的属于互不相同的,线性无关.,（,属于矩阵,A,的不同特征值的特征向量线性无关.）,1 特征值与特征向量、相似矩阵,12,值，是,A,的属于特征值,定理2.,设 是 阶矩阵,A,的互不相同的特征,的线性无关特征向量，则向量组,线性无关.,（对一个矩阵，属于每个特征值的线性无关特征向量，,合在一起仍为线性无关）.,1 特征值与特征向量、相似矩阵,13,二、相似矩阵,1,定义,设,A，B,为两个,n,阶矩阵，若存在可逆矩阵,P，,使得,则称矩阵,A,相似于,B,，,P,称为相似变换矩阵.,2,基本性质,（1）,相似矩阵的转置矩阵也相似.,（2）,相似矩阵的幂矩阵也相似.,1 特征值与特征向量、相似矩阵,14,（3）,相似矩阵的多项式也相似.,（4）,相似矩阵的秩相等.,（5）,相似矩阵的行列式相等.,（6）,相似矩阵的可逆性相同，当它们可逆时，其,逆矩阵也,相似.,定理3.,相似矩阵的特征多项式相同，从而特征值相同.,1 特征值与特征向量、相似矩阵,15,推论.,设,n,阶矩阵A与对角矩阵相似，则 就是,A,的,n,个特征值.,注.,若矩阵A与对角矩阵相似，则可方便求出,A,的幂,及,A,的,多项式,.,1 特征值与特征向量、相似矩阵,16,2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化,一、矩阵可对角化的条件,二、实对称矩阵的对角化,1 特征值与特征向量、相似矩阵,17,称,矩阵,A,可对角化,.,定义,1,：矩阵,A,是一个 阶方阵，若存在可逆矩阵,，使 为对角矩阵，,即A与对角矩阵相似，则,一、矩阵可对角化的条件,定理,1,：设矩阵,A,是一个 阶方阵，则,A,可对角化,有 个线性无关的特征向量.,推论,若n阶矩阵,A,有n个不同特征值，则,A,可对角化.,1 特征值与特征向量、相似矩阵,18,定理,2,：设矩阵,A,是一个 阶方阵，则,A,可对角化,属于,A,的每个特征值的线性无关特征向量的个数,等于该特征值的重数.,对角化的判断,步骤:,1,求出矩阵,A,的全部互不相等的特征值,2,对每一个特征值，求出齐次线性方程组,1 特征值与特征向量、相似矩阵,19,的一个基础解系（此即,A,的属于 的全部线性无关,的特征向量）.,3,若全部基础解系所含向量个数之和等于,n,，则,矩阵A,可对角化；否则,A,不可对角化.,4,以这些解向量为列，作一个,n,阶方阵,P,，则,P,可逆，,就是对角矩阵，对角矩阵对角线上元素是,A,的,互不相等的特征值.,1 特征值与特征向量相似矩阵,20,例,1,.,问,A,是否可对角化？若可，求可逆矩阵,P,，使,为对角矩阵.这里,得,A,的特征值是,2，2，,-,7,.,解:,A,的特征多项式为,1 特征值与特征向量、相似矩阵,21,对于特征值,2,，求出齐次线性方程组,对于特征值,7,，求出齐次方程组,的一个基础解系:,的一个基础解系:,1 特征值与特征向量、相似矩阵,22,令,则,所以,A,可对角化.,1 特征值与特征向量、相似矩阵,23,例2,设,则求一可逆矩阵P，使 成对角形；,解:,A,的特征多项式为,求得A的特征值为：,1 特征值与特征向量、相似矩阵,24,得基础解系,当 时，解方程 由,1 特征值与特征向量、相似矩阵,25,当 时，解方程 由,得基础解系,1 特征值与特征向量、相似矩阵,26,令,则有,1 特征值与特征向量、相似矩阵,27,