线性代数基础知识幻灯片.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数知识回顾,1,矩阵的概念,矩阵的定义,矩阵是数,(,或是函数,),的矩形阵表,是数学上常用的概念,.,定义,:,由,m,n,个数排成的,m,行,n,列的表,称为,m,行,n,列,矩阵,（,matrix,）,简称矩阵,.,这,m,n,个数叫做矩阵的,元素,.,当元素都是实数时称为,实矩阵,（,real matrix,）,当元素,为复数时称为,复矩阵,（,complex matrix,）,.,2,3.,向量,n,维行向量,:1,n,矩阵,a,1,a,2,a,n,n,维列向量,:,n,1,矩阵,a,1,a,2,a,n,第,i,分量,:,a,i,(,i,=1,n,),n,阶方阵,:,n,n,矩阵,2.,方阵,3,几种常用的特殊矩阵,1.,对角矩阵,（,diagonal matrix,）,记作,2.,标量矩阵,（,scalar matrix,）,3.,n,阶,单位矩阵,（,unit matrix,）,4,矩阵的乘法,定义,设两个矩阵,则矩阵,A,与矩阵,B,的乘积记为,规定,其中,应注意,:,只有当矩阵,A,的列数与,B,的行数相同时，,A,与,B,才能,作乘积，,并且乘积矩阵的行数与,A,的行数相等，乘积矩阵的列,数与,B,的列数相等,.,5,矩阵的乘法满足下列运算律（假设运算都是成立的）：,1),结合律,:,(2),分配律：,(3),设,k,是数,:,6,例,设,求乘积矩阵,.,解：,7,矩阵的转置,定义,设,则矩阵,称为,A,的,转置矩阵,(transposed matrix),记作,转置矩阵就是把,A,的行换成同序号的列得到的一个新矩阵。,例如，矩阵,的转置矩阵为,8,性质：,1,。,A,2,=A,A,2,。,(AB),=B,A,3,。,(kA),=kA,4,。,(A+B),=A,+B,9,逆矩阵,逆矩阵的概念,定义：,设,A,为阶,n,方阵，若存在,n,阶方阵,B,，使,AB=BA=I,则称,A,是,可逆矩阵,（,invertible matrix,）。,并称,B,为,A的,逆矩阵,(inverse matrix),，,记为,即,如果矩阵,A,是可逆的,则,A,的逆矩阵是唯一的,.,事实上，设,A,，,B,都是可逆矩阵，则有,于是,10,定义,设,A,为,n,阶方阵，若,则称,A,是,非奇异矩阵,(nonsingular matrix),或非退化矩阵,否则称,A,是,奇异矩阵,(,singular,matrix),或退化矩阵。,定义,设,令,为,|,A|,中元素,的代数余子式，则称方阵,为,A,的,伴随矩阵,(adjoint matrix),或记为,adj A,。,11,矩阵可逆的充要条件,定理：,方阵,A,可逆的充分必要条件是,A,为非奇异矩阵，,即,|,A,|0,，并且,12,矩阵的秩,矩阵秩的概念,定义：,设,A,是一个,m,n,矩阵，在,A,中任取,k,行、,k,列，位于,这些,k,行和,k,列交叉处的元素按原来的次序组成一个,k,阶行列式,称为矩阵,A,的一个,k,阶,子式,（,minor,）。,例如：,矩阵,由,1,、,2,、,3,行与,1,、,2,、,3,列构成的三阶子式,在矩阵,A,中有一个三阶子式不为零，而所有的四阶子式全为零,这时我们可以称,A,的秩是,3,。,13,定义,：,矩阵,A,中的非零子式的最高阶数称为,矩阵的秩,(,rank-,of a matrix,），,记作,r,(,A,),。,零矩阵的所有子式全为零,所以规定零矩阵的秩为零,.,设,A,是,n,阶方阵,若,A,的秩等于,n,则称,A,为,满秩矩阵,(nonsingular,matrix,），,否则称为,降秩矩阵,(singular matrix),。,矩阵秩的性质,14,4 0 8 2 9,0 3 0 1 2,0 0 0 4 7,0 0 0 0 0,例,.,的秩为,.,3,注,:,从例可以看出行阶梯形矩阵的秩就等于,它的阶梯数,(,即,:,非零行的数目,).,而任何一个矩阵都可以经过有限次初等,行,变换化为,行,阶梯形,.,15,线性方程组,一,.,线性方程组的概念,含有,n,个未知量,m,个方程的线性方程组的,一般形式如下,a,11,x,1,+,a,12,x,2,+,a,1,n,x,n,=,b,1,a,21,x,1,+,a,22,x,2,+,a,2,n,x,n,=,b,2,a,m,1,x,1,+,a,m,2,x,2,+,a,mn,x,n,=,b,m,(3.1),(,非,),齐次线性方程组,解,相容,16,设,A,=,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,m,1,a,m,2,a,mn,b,=,b,1,b,2,b,m,a,11,x,1,+,a,12,x,2,+,a,1,n,x,n,=b,1,a,21,x,1,+,a,22,x,2,+,a,2,n,x,n,=,b,2,a,m,1,x,1,+,a,m,2,x,2,+,a,mn,x,n,=,b,m,则线性方程组,可以写成,Ax,=,b,.,x,=,x,1,x,2,x,n,解向量,解集,通解,同解,17,称,A,=,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,m,1,a,m,2,a,mn,为,(3.1),的,系数矩阵,A,b,=,a,11,a,12,a,1,n,b,1,a,21,a,22,a,2,n,b,2,a,m,1,a,m,2,a,mn,b,m,为,(3.1),的,增广矩阵,.,18,