高数-全微分-图文PPT幻灯片课件.ppt

1,全微分的定义,可微的条件,小结 思考题 作业,total differentiation,第三节 全 微 分,第八章 多元函数微分法及其应用,2,函数的变化情况,.,偏导数讨论的只是某一自变量变化时,函数的变化率,.,现在来讨论当各个自变量同时变化时,全 微 分,3,先来介绍,全增量,的概念,为了引进全微分的定义,全增量,.,域内有定义,函数取得的增量,全增量,.,全 微 分,一、全微分的定义,4,全微分的定义,处的,全微分,.,全 微 分,可表示为,可微分,在点,则称函数,称为函数,记作,即,函数若在某平面区域,D,内处处可微时,则称,可微函数,.,这函数在,D,内的,而不依赖于,5,可微与偏导数存在有何关系呢？,?,微分系数,注,全微分,有类似一元函数微分的,A,=?,B,=?,两个性质,:,全 微 分,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,.,的,线性函数,;,高阶无穷小,.,6,1.,可微分的必要条件,由下面的定理来回答：,(,可微必可导,).,定理,1,(,可微必要条件,),如果函数,可微分,且函数,的全微分为,全 微 分,二、可微的条件,7,证,总成立,同理可得,上式仍成立,此时,的某个邻域,如果函数,可微分,全 微 分,可微分,8,都不能保证,函数在该点连续,.,多元函数,在某点,可微,是否保证,事实上,显然,答,:,由全微分的定义有,可得,多元函数可微必连续,连续的定义,?,不连续,的函数,上一节指出,多元函数,在某点各个,偏导数,即使都,存在,函数在该点连续,如果函数,可微分,则函数在该点连续,.,一定是,不可微,的,.,全 微 分,9,多元函数的各偏导数存在 全微分存在,如，,下面举例说明,二元函数可微一定存在两个偏导数,.,一元函数在某点的导数存在 微分存在,?,回忆,:,一元函数的可导与可微的关系,?,但两个偏导数都存在函数也不一定可微,.,(,由偏导数定义可求得,),由定理,1,知,全 微 分,10,则,说明它不能随着,而趋于,0,因此,如果考虑点,沿直线,趋近于,全 微 分,11,说明,各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件,.,这也是,一元函数,推广到,多元函数,出现的又,函数是,可微分,的,.,多元函数的各偏导数存在并不能保证,全微分存在,.,一个原则,区别,.,现再假定函数的,则可证明,全 微 分,各个偏导数连续,12,2.,可微分的充分条件,证,在该点的某一邻域内必存在,的意思,.,定理,2,(,今后常这样理解,).,用拉氏定理,(,微分充分条件,),假定偏导数在点,P,(,x,y,),连续,就含有,偏导数,全 微 分,偏导数,13,全 微 分,14,同理,全 微 分,15,在原点,(0,0),可微,.,并非必要条件,.,如,事实上,注,定理,2,的条件,(,即两个偏导数,在点,连续,),可微的充分全 微 分,仅是函数,在点,条件,同样,16,全 微 分,在原点,(0,0),可微,.,于是,17,即函数,f,(,x,y,),在原点,(0,0),可微,.,但是,事实上,偏导数在原点,(0,0),不连续,.,全 微 分,所以,特别是,不存在,.,即,f,x,(,x,y,),在原点,(0,0),不连续,.,极限,f,y,(,x,y,),在原点,(0,0),也不连续,.,同理可证,函数在一点可微,此题说明,:,在这点偏导数不一定连续,.,18,记全微分为,通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和,叠加原理也适用于二元以上函数的情况,.,一元函数的许多微分性质,(,一阶,),全微分形式的不变性,.,同样有,:,习惯上,称为二元函数的微分符合,叠加原理,这里仍适用,.,全 微 分,如三元函数,则,19,解,全 微 分,计算函数,在点,的全微分,.,所以,例,20,解,全 微 分,例,21,答案,练习,全 微 分,22,全 微 分,解,例,试比较,的值,.,23,全 微 分,解,例,计算,的近似值,.,利用函数,在点,处的可微性,可得,24,全 微 分,2002,年考研数学一,3,分,考虑二元函数,f,(,x,y,),的下面,4,条性质,:,f,(,x,y,),在点,(,x,0,y,0,),处连续,f,(,x,y,),在点,(,x,0,y,0,),处的两个偏导数连续,f,(,x,y,),在点,(,x,0,y,0,),处可微,f,(,x,y,),在点,(,x,0,y,0,),处的两个偏导数存在,.,若用“”,表示可由性质,P,推出性质,Q,则有,(A),.,(B),.,(C),.,(D),.,单项 选择题,25,上海交大考题,(95,级,),连续,.,D,全 微 分,结论,不正确,的是,().,都存在,26,上海交大考题,(98,级,),D,全 微 分,27,上海交大考题,(93,级,),上海交大考题,(96,级,),全 微 分,填空题,28,上海交大考题,(97,级,),(,非,),事实上,全 微 分,是非题,29,全微分的定义,全微分的计算,多元函数极限、连续、偏导、可微的关系,(,注意：与一元函数有很大的区别,),全 微 分,可微分的必要条件、,可微分的充分条件,三、小结,30,对,一元函数,的极限、连续、可导、可微间的关系：,可微 可导 连续 有极限,对,多元函数,的极限、连续、可导、可微的关系：,偏导连续 可微 连续 有极限,有偏导,全 微 分,31,全 微 分,问,全微分公式,恒成立吗,?,答,不一定,.,考虑函数,思考题,1,32,全 微 分,某城市的大气污染指数,P,取决于两个因素,即空气中固体废物的数量,x,和空气中有害气体的数量,y.,它们之间的关系可表示成,(1),计算,和,并说明它们的实际,意义,.,(2),该城市空气污染的情况怎样,?,(3),城市空气污染的,状况是否有所改善,.,思考题,2,33,作业,习题,8-3(24,页,),1.(3)(4)2.3.,34,(,A,),偏导数不存在,;,(,B,),不可微,;,(,C,),偏导数存在且连续,;,(,D,),可微,.,全 微 分,(,选择正确答案,),补充题,35,屏蔽泵厂家,仉睿聪奌,