二次函数知识点总结及典型例题.docx

二次函数知识点总结及典型例题一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 。)，则y叫做*的二次函数。y ax2bx c(a,b,c是常数，a 0)叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于x&对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：有开方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法-五点法：二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：1一般式：yax2 bxc （a,b,c是常数，a 0）2顶点式：ya （x h）2k（a,h,k 是常数，a 0）3当抛物线yax2 bxc与*轴有交点时，即对应二次好方程ax2 bx c 0有实根x和x存在时，根据二次三项式的分解因式ax2 bx c a (x x ) x x ),二次1212函数y ax2 bxC可转化为两根式y a(x xx x。如果没有交点，则不能这样表示。三、抛物线y ax2 bx c中，a,b,c的作用1a决定开方向及开大小，这与y ax2中的a完全一样.2b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线x ?，故：b 0时，对称轴为y轴所在直线； 0即a、b同号时，2aa对称轴在y轴左侧； 0即a、b异号时，对称轴在y轴右侧.a3c的大小决定抛物线y ax2 bx c与y轴交点的位置.当x 0时，y c,抛物线y ax2 bx c与y轴有且只有一个交点0, c：c 0,抛物线经过原点；c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则b0.a四、二次函数的性质1、二次函数的性质函数二次函数y ax2 bx c （a,b,c是常数，a 0）a01抛物线开向上，并向上无限延伸;2对称轴是*=；，顶点坐标是2ab 4ac b22 a4 a1抛物线开向下，并向下无限延伸;2对称轴是*= 厂，顶点坐标是2ab 4ac b22?，41；性质b 云一时，y随*的2ab增大而减小;在对称轴的右侧，即当* 了 时2a）随*的增大而增大，简记左减右增；4抛物线有最低点，当*=； 时，2a4ac b23在对称轴的左侧，即当*3在对称轴的左侧，即当* 2a时，y随*的增大而减小，简记左增右减；y有最小值y最小值4a4抛物线有最高点，当*= 2a时4ac b2y有最大值,y最大值4a五、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与*轴的交点坐标。因此一元二次方程中的 b2 4ac，在二次函数中表示图像与*轴是否有交点。当0时，图像与*轴有两个交点;当=0时，图像与*轴有一个交点;当0时，图像与*轴没有交点。补充：函数平移规律：左加右减、上加下减六、二次函数的最值如果自变量的取值*围是全体实数则函数在顶点处取得最大值或最小值，即当b4ac b22a时，y最值 4a一时，时，如果自变量的取值*围是x1bX %，则，首先要看雷是否在自变量取值*围x x2，假设在此*围内，则当*=b嘉时,4ac b2y最值 4a 一；假设不在此*围内，则需要考虑函数在气x如果在此*围内，）随*的增大而增大，则当xyax2 bx c ；如果在此*围内，）随*的增大而减小，则当xy最小ax22bx2x2*围内的增减性，x2时最大气时最大ax22ax21bx2bx1典型例题1.函数yx 3则使y=k成立的*值恰好有三个则k的值为x3A. 0B. 1C.D. 32.如图为抛物线yax2 bx c的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则以下关系中正确的选项是A. a+b=-1B. a-b=-1C. b2aD.ac0a3. 二次函数尸ax2bx c的图象如下图，则反比例函数y ?与一次函数y bx c在同一坐标系中的大致图象是.4. 如图，二次函数y x2 bx c的图象经过点-1, 0，1,-2，当y随x的增大而增5. 在平面直角坐标系中，将抛物线y x2 2x 3绕着它与y轴的交点旋转180，所得抛物线的解析式是 .a. y(x1)2 2B. y(x 1)2 4c. y(x1)2 2D. y(x 1)2 46.二次函数yax2 bxc的图像如图，其对称轴x 1，给出以下结果b2 4acabc 02a b 0a b c 0a b c 0，则正确的结论是A B C D 7. 抛物线y ax2 bx c上局部点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：*-2-1012y.,04664.,从上表可知，以下说法中正确的选项是.填写序号抛物线与x轴的一个交点为3,0；函数y ax2 bx c的最大值为6;抛物线的对称轴是x j；在对称轴左侧，y随x增大而增大.8. 如图，在平面直角坐标系中，。是坐标原点，点A的坐标是-2, 4，过点A作ABly轴，垂足为B，连结OA.(1)求 OAB的面积；(2)假设抛物线yx2 2x c经过点A. 求C的值； 将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在OAB的内部不包括OAB的边界，求m的取值*围直接写出答案即可.9. 二次函数y=4*2+；*的图像如图.1求它的对称轴与*轴交点D的坐标；/2将该抛物*它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与*轴、y轴的交点分别为A、B、C三点，假设ZACB=90，求此时抛物线的解析式；3设2中平移后的抛物线的顶点为M,以AB为直径，D为圆心作OD，试判断直线CM与。D的位置关系，并说明理由.10. 如图，在平面直角坐标系*Oy中，AB在*轴上，AB = 10，以AB为直径的。0，与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC.CD是。0的切线，AD1CD于点D，tanZCAD = 1，抛物线2y ax2 bx c 过 A，B，C 三点.1求证：ZCAD = ZCAB；2求抛物线的解析式；判定抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；3在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形.假设存在，直接写出点P的坐标不写求解过程；假设不存在，请说明理由.11. 如下图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC II AD，ZBAD= 90，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A-1，0，B( -1 2)，D( 3 0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON，假设抛物线y=a*2+b*+c经过点D、M、N.1求抛物线的解析式2抛物线上是否存在点P.使得PA= PC假设存在，求出点P的坐标；假设不存在.请说明理由。3设抛物线与*轴的另一个交点为E.点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QEQC |最大.并求出最大值。12, 如图，抛物线y=l*2+b* - 2与*轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A一 1, 0.2求抛物线的解析式及顶点D的坐标；判断aABC的形状，证明你的结论；点Mm，0）是*轴上的一个动点，当CM +DM的值最小时，求m的值.13. 在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在*轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=a*2+b*+c（a0）过矩形顶点B、C.1当n=1时，如果a=-1，试求b的值；2当n=2时，如图2,在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；3将矩形OABC绕点。顺时针旋转，使得点B落到*轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O， 试求出当n=3时a的值； 直接写出a关于n的关系式.