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二次函数知识点总结及典型例题
一、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地，如果y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 。)，则y叫做*的二次函数。
y ax2bx c(a,b,c是常数，a 0)叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于x&对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：
①有开方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法---五点法：
二、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：

〔1〕一般式：y
ax2 bx
c （a,b,c是常数，a 0）
〔2〕顶点式：y
a （x h）2
ka,h,k 是常数，a 0）
〔3〕当抛物线y
ax2 bx
c与*轴有交点时，即对应二次好方程ax2 bx c 0有

实根x和x存在时，根据二次三项式的分解因式ax2 bx c a (x x ) x x ),二次1212
函数y ax2 bxC可转化为两根式y a(x x「x x「。如果没有交点，则不能这样
表示。
三、抛物线y ax2 bx c中，a,b,c的作用
〔1〕a决定开方向及开大小，这与y ax2中的a完全一样.
〔2〕b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线
x ?，故：①b 0时，对称轴为y轴所在直线；②^ 0〔即a、b同号〕时，2aa
对称轴在y轴左侧；③^ 0〔即a、b异号〕时，对称轴在y轴右侧.
a
〔3〕c的大小决定抛物线y ax2 bx c与y轴交点的位置.

当x 0时，y c,.・.抛物线y ax2 bx c与y轴有且只有一个交点〔0, c〕：
①c 0,抛物线经过原点；②c 0,与y轴交于正半轴；③c 0,与y轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则b0.
a
四、二次函数的性质1、二次函数的性质
函数
二次函数
y ax2 bx c （a,b,c是常数，a 0）
a<0
a>0

〔1〕抛物线开向上，并向上无限延伸;
〔2〕对称轴是*=；，顶点坐标是
2a
b 4ac b2
2 a 4 a
〔1〕抛物线开向下，并向下无限延伸;
〔2〕对称轴是*= 厂，顶点坐标是
2a
b 4ac b2
〔2?，41 〕；

性质
b
云一时，y随*的
2a
b
增大而减小;在对称轴的右侧，即当*> 了 时
2a
）随*的增大而增大，简记左减右增；
〔4〕抛物线有最低点，当*=； 时，
2a
4ac b2
〔3〕在对称轴的左侧，即当*<
〔3〕在对称轴的左侧，即当*< ——时，y
2a
随*的增大
b
而增大；在对称轴的右侧，即当*> —
2a
时，y随*
的增大而减小，简记左增右减；
y有最小值’y最小值
4a

〔4〕抛物线有最高点，当*= 2a时

4ac b2
y有最大值,
y
最大值4a
五、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与*轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的 b2 4ac，在二次函数中表示图像与*轴是否有交点。
当＞0时，图像与*轴有两个交点;
当=0时，图像与*轴有一个交点;
当＜0时，图像与*轴没有交点。
补充：函数平移规律：左加右减、上加下减
六、
二次函数的最值
如果自变量的取值*围是全体实数
则函数在顶点处取得最大值〔或最小值〕即当

b4ac b2
2a时，y最值 —4a一~
时，
时，
如果自变量的取值*围是x
1
b
X %，则，首先要看雷是否在自变量取值*围
x x2，假设在此*围内，则当*=
b
嘉时,
4ac b2
y最值 —4a 一；
假设不在此*围内，则需要考虑函数在气x
如果在此*围内，）随*的增大而增大，则当x
y ax2 bx c ；
如果在此*围内，）随*的增大而减小，则当x
y
最小
ax2
2
bx
2
x2*围内的增减性，
x2时''最大
气时’'最大
ax2
2
ax2
1
bx
2
bx
1

典型例题
1.函数y
x< 3
则使y=k成立的*值恰好有三个
则k的值为

x〉3
A. 0
B. 1
C.
D. 3

2.如图为抛物线y
ax2 bx c的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，
则以下关系中正确的选项是〔

A. a+b=-1B. a-b=-1C. b<2aD.ac<0
a
3. 二次函数尸ax2bx c的图象如下图，则反比例函数y ?与一次函数y bx c在同一坐标系中的大致图象是〔〕.
4. 如图，二次函数y x2 bx c的图象经过点〔-1, 0〕，〔1,-2〕，当y随x的增大而增

5 在平面直角坐标系中，将抛物线y x2 2x 3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是〔 〕.
a. y
(x
1)2 2
B. y
(x 1)2 4
c. y
(x
1)2 2
D. y
(x 1)2 4
6.二次函数
y
ax2 bx
c的图像如图，
其对称轴x 1，给出以下结果

①b2 4ac②abc 0③2a b 0④a b c 0⑤a b c 0，则正确的结论是
〔〕
A ①②③④ B ②④⑤ C ②③④ D ①④⑤
7. 抛物线y ax2 bx c上局部点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
*
•…
-2
-1
0
1
2
•…
y
.・,
0
4
6
6
4
.・,
从上表可知，以下说法中正确的选项是.〔填写序号〕

①抛物线与x轴的一个交点为〔3,0〕；②函数y ax2 bx c的最大值为6;
③抛物线的对称轴是x j；④在对称轴左侧，y随x增大而增大.
8. 如图，在平面直角坐标系中，。是坐标原点，点A的坐标是〔-2, 4〕，过点A作ABly轴，垂足为B，连结OA.
(1)求 △ OAB的面积；
(2)假设抛物线yx2 2x c经过点A.

① 求C的值；
② 将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在^OAB的内部〔不包括^OAB的边界〕，求m的取值*围〔直接写出答案即可〕.
9. 二次函数y='4*2+；*的图像如图.
〔1〕求它的对称轴与*轴交点D的坐标；
/〔2〕将该抛物*它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与*轴、y轴的交点分别为A、B、C三点，假设ZACB=90°，求此时抛物线的解析式；
〔3〕设〔2〕中平移后的抛物线的顶点为M,以AB为直径，D为圆心作OD，试判断直线CM与。D的位置关系，并说明理由.
10. 如图，在平面直角坐标系*Oy中，AB在*轴上，AB = 10，以AB为直径的。0，与y轴正
半轴交于点C，连接BC，AC.CD是。0'的切线，AD1CD于点D，tanZCAD = 1，抛物线2
y ax2 bx c 过 A，B，C 三点.
〔1〕求证：ZCAD = ZCAB；
〔2〕①求抛物线的解析式；
②判定抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；
〔3〕在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形.假设存在，直接写出点P的坐标〔不写求解过程〕；假设不存在，请说明理由.
11. 如下图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC II AD，ZBAD= 90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A〔-1，0〕，B( -1 2)，D( 3 0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON，假设抛物线y=a*2+b*+c经过点D、M、N.
〔1〕求抛物线的解析式
〔2〕抛物线上是否存在点P.使得PA= PC.假设存在，求出点P的坐标；假设不存在.请
说明理由。

〔3〕设抛物线与*轴的另一个交点为E.点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q
在什么位置时有|QEQC |最大.并求出最大值。

12, 如图，抛物线y=l*2+b* - 2与*轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A〔一 1, 0〕.
2
⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
⑵判断aABC的形状，证明你的结论；
⑶点Mm，0）是*轴上的一个动点，当CM +DM的值最小时，求m的值.
13. 在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边
OA和OC分别落在*轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=a*2+b*+c（a<0）过矩形顶点B、C.
〔1〕当n=1时，如果a=-1，试求b的值；
〔2〕当n=2时，如图2,在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB
上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；
〔3〕将矩形OABC绕点。顺时针旋转，使得点B落到*轴的正半轴上，如果该抛物线同时经
过原点O，
① 试求出当n=3时a的值；
② 直接写出a关于n的关系式.