南京市高三第一次质量检测.doc

南京市高三第一次质量检测
数 学
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分,共60分．
（1)与向量平行的单位向量为( )
A． B．
C．或 D．
（2）函数的定义域为（ ）
A。． B．
C． D．
（3）已知样本：
那么频率为0。3的范围是( ）
A． B． C． D．
(4）已知直线m、n和平面则m∥n的一个必要条件是( ）
A．m∥，n∥ Ｂ．m⊥,n⊥
C．m∥,n D．m、n与成等角
(5）若正数满足，则的取值范围是（ ）
A．　　 Ｂ．　　 C．　　　 D．
(6)设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率为（ )
A． B． C． D．
（7）若函数y=f(x) （xÎR)满足f（x+2）=f（x），且xÎ(－1，1］时，f（x)=|x|．则函数y=f(x)的图象与函数y=log4|x｜的图象的交点的个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
（8）已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标是，则的最小值是( ）
A． B．4 C． D．5
（9）已知函数的图象与函数的图象关于
直线对称,则的值为 （ ）
A．1 B． C．2 D．
（10）能够使得圆上恰有两个点到直线距离等于1的的一个值为（ ）
A．2 Ｂ． C．3 D．
（11）关于x的不等式ax—b〉0的解集是(1，+∞)，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．(-∞,—1)∪（2,+∞） B．（—1，2） C．（1,2） D．(—∞，1）∪（2,+∞)
（12）由0，1,2，…,9这十个数字组成的、无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（ ）
A。180 B.196 C.210 D.224

得分
评卷人

二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
（13)如图，已知点是棱长为2的正方体的棱的中点，则点到平面的距离等于_____________．
（14）若，则数列的前项和_____________．
(15）已知则 ．
(16）有两个向量，,今有动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动,速度为；另一动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动,速度为．设、在时刻秒时分别在、处,则当时， 秒．
三、解答题：本大题6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
(17)（本小题满分12分）
某厂生产的A产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每盒10件A产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格;否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒A产品中有2件次品．
（Ⅰ)求该盒产品被检验合格的概率;
（Ⅱ）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率．
(18)(本小题满分12分）
已知偶函数f（x）=cosqsinx－sin（x－q)+（tanq－2）sinx－sinq的最小值是0，求f(x)的最大值及此时x的集合．
（19) （本小题满分12分)
如图，直三棱柱中，，，为棱的中点．
B1

C1
（Ⅰ)求异面直线与所成的角；
A1
（Ⅱ）求证：平面平面．
D

B

C

A

(20) （本小题满分12分）
已知二次函数f（x）满足：①在x=1时有极值； ②图象过点(0,—3)，且在该点处的切线与直线2x+y=0平行．
（I）求f（x）的解析式；
（II）求函数g（x)=f（x2）的单调递增区间．
(21） (本小题满分12分）
等差数列中，,公差是自然数,等比数列中，．
(Ⅰ）试找出一个的值，使的所有项都是中的项；再找出一个的值，使的项不都是中的项(不必证明）;
（Ⅱ）判断时，是否所有的项都是中的项， 并证明你的结论;
（Ⅲ）探索当且仅当取怎样的自然数时，的所有项都是中的项，并说明理由．

得分
评卷人
(22）(本小题满分14分)
如图，已知过点的直线与椭圆交于不同的两点、，点是弦的中点．
（Ⅰ）若,求点的轨迹方程；
（Ⅱ)求的取值范围．
2004年南京市高三数学第一次质量检测
参考解答及评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．
一、选择题：每小题5分,满分60分．
（1)C （2）D （3) B （4)D （5) B (6） B (7）C (8)C （9）D (10)C (11)A (12)C
二、填空题:每小题4分,满分16分．
(13); (14)； （15）； （16)2．
三、解答题
(17）(本小题满分12分）
解： （1)从该盒10件产品中任抽4件,有等可能的结果数为种，……………………1＇
其中次品数不超过1件有种，…………………………………………………2＇
被检验认为是合格的概率为……………4＇（本步正确，对上两步不作要求）
．……………………………………………………6＇
(2）两次检验是相互独立的,可视为独立重复试验，…………………………………………7＇
因两次检验得出该盒产品合格的概率均为，
故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为
…………………………………10＇
．…………………………………………11＇
答：该盒产品被检验认为是合格的概率为;两次检验得出的结果不一致的概率为．
…………………………………………………………………………………………………12＇
说明：两小题中没有简要的分析过程，各扣1分．
（18）(本小题满分12分)
解：f(x）=cosqsinx－（sinxcosq－cosxsinq）+（tanq－2)sinx－sinq
=sinqcosx+(tanq－2)sinx－sinq．……………………………………………………1¢
因为f（x）是偶函数，
所以对任意xÎR，都有f(－x)=f(x），……………………………………………………2¢
即sinqcos（－x)+(tanq－2)sin（－x）－sinq=sinqcosx+(tanq－2)sinx－sinq,
即（tanq－2)sinx=0，
所以tanq=2．……………………………………………………………………………5¢
由…………………………………………………………………6¢
解得
或……………………………………………………………………8¢
此时,f（x)=sinq（cosx－1)。
当sinq=时，f（x)=(cosx－1）最大值为0，不合题意最小值为0,舍去;。……9¢
当sinq=时，f（x）=(cosx－1）最小值为0，
当cosx=－1时，f（x）有最大值为，…………………………………………11¢
自变量x的集合为{x｜x=2kp+p，kÎZ｝．。…………………………………………………12¢
A
（19）(本小题满分12分)
解法一：
(Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系。
设，
则，
于是．

，
异面直线与所成的角为．
（Ⅱ）,
.
则．
平面． 又平面,
平面平面．
解法二：
(Ⅰ）连结交于点，取中点，连结，则∥．
C1
A1
B
C
A
…………12¢
…………11¢
…………10¢
…………7¢
…………6¢
……4¢
…2¢
z
x
y
D
B1
C1
A1
B
C
B1
D
F
E
…………2¢
∴直线与所成的角就是异面直线与所成的角．
设，
则 ，
．
．
中,，，
直三棱柱中，，则．
…………4¢
．
…………6¢
,
…………7¢
异面直线与所成的角为．
(Ⅱ）直三棱柱中，,平面．
…………8¢
则．
又，，,
…………10¢
则， 于是．

平面． 又平面，

平面平面．
(20）(本小题满分12分)
解：（I)设f(x）=ax2+bx+c,则f ¢（x)=2ax+b．………………………………………………1¢
由题设可得：即…………………………………………4¢
解得…………………………………………………………………………5¢
所以f(x)=x2-2x—3．……………………………………………………………………6¢
（II）g（x）=f(x2)=x4－2x2－3，g ¢（x）=4x3－4x=4x（x－1)(x+1)．………………………8¢
列表：
x
(-∞,—1）
—1
（—1，0）
0
（0，1)
1
（1,+∞)
f¢（x)
－
0
+
0
－
0
+
f（x）
↘

↗

↘

↗
………………………………………………………………………………………11¢
由表可得：函数g(x）的单调递增区间为（-1,0)，(1，+∞）．………………………12¢
（21）(本小题满分12分)
解:（Ⅰ）时,的项都是中的项；…………………2＇（任一非负偶数均可）
时，的项不都是中的项．……………………3＇（任一正奇数均可）
（Ⅱ）时,…………………………………………………4＇
……………………………………………………………5＇
的项一定都是中的项．……………………………………………………………………………7＇
(Ⅲ）当且仅当取（即非负偶数)时,的项都是中的项．理由是：……………………………………………………………………………………………9＇
①当时，
时，，
其中是的非负整数倍，设为(），
只要取即（为正整数)即可得，即的项都是中的项；……11＇
②当时，不是整数，也不可能是的项．…………12＇
（22）(本小题满分14分）
解：（Ⅰ)①若直线∥轴,则点为；………………………………………………1＇
②设直线，并设点的坐标分别是，
由消去，得 , ①……………………2＇
由直线与椭圆有两个不同的交点，可得，即，所以．……………………………………………………………4＇
由及方程①，得，
,
即…………………………………………………………………………6＇
由于（否则，直线与椭圆无公共点），将上方程组两式相除得，，代入到方程，得，整理,得（．
综上所述，点的轨迹方程为（．……………………8＇
(Ⅱ）①当∥轴时，分别是椭圆长轴的两个端点，则点在原点处，所以,,所以，；……………………………………………9＇
②由方程①，得
所以，，
，
所以．…………………………………………………12＇
因为，所以，所以，所以．
综上所述，．…………………………………………………………14＇
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