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2025 年高考数学解密之集合
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•西宁二模） 已知全集U = R ，集合 A = {x | 一2 .x.3} ， B = {x | 0 < x < 4} ，则图中阴影部分表示的 集合为 ( )

A ． [3 ， 4) B ． (3, 4) C ． (0, 4) D ． (0 ， 3]
2 ．（2024•广汉市校级模拟）设集合 A = {0 ，1 ，2 ， 3} ， B = {一1 0 ，1 ，2 ， 3} ，则 A∩ B = ( )
A ． {一1 ，0 ，1 ，2 ， 3} B ． {1 ， 2} C ． {0 ，1 ，2 ， 3} D ．{1 ，2 ，3}
3 ．（2024•贵池区校级一模）设全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7} ，集合 A = {1 ，2 ，4 ，5} ，B = {2 ，3 ，6} ， 则韦恩图中阴影部分表示的集合为 ( )

A ． {2 ， 5} B ． {2 ， 6} C ． {3 ， 6} D ． {2 ，3 ， 6}
4 ．（2024•湖北模拟）已知集合 则下列表述正确的是 ( )
A ． M ∩ N = ⑦ B ． MUN = R C ． M 二 N D ． N 二 M
5 ．（2024•开封模拟）设U = R ， 已知集合 A = {x | x开1} ， B = {x | x > a} ，且 (δUA)UB = R ，则实数 a 的取 值范围是 ( )
A ． (一∞, 1) B ． (一∞ , 1] C ． (1, +∞) D ． [1 ， +∞)
6 ．（2024•威海二模）在研究集合时，用 card （A）来表示有限集合 A 中元素的个数．集合M = {1 ，2 ，3， 4} ， N = {x | x > m} ，若 card (M∩ N) = 2 ，则实数 m 的取值范围为 ( )
A ． [2 ， 3) B ． [2 ， 3] C ． (2, 3) D ． (2, +∞)
7 ．（2024•长沙模拟）集合 A = {x | 一1 .x.2} ， B = {x | x < 1} ，则 A (δRB) = ( )
A ． {x | x > 1} B ． {x | x开一1} C ． {x |1 < x.2} D ． {x | 1 .x.2}
8 ．（2024•曲靖模拟）已知集合 A = {(x, y) | y开x ，x ，y ∈ N* } ，B = {(x, y) | x + y = 8} ，则 A∩ B 中元素的个

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数为 ( )
A ．2 B ．3 C ．4 D ．6
9 ．（2024•连云港模拟）已知全集U = R ，集合 A ，B 满足 A 二 (A∩ B) ，则下列关系一定正确的是 ( )
A ． A = B B ． B 二 A C ． A∩ (δUB) = ⑦ D ． (δUA)∩ B = ⑦
10 ．（2024•湖北模拟） 已知集合 A = {1 ， 2} ， B = {0 ， 2} ，若定义集合运算： A * B = {z | z = xy ， x ∈ A ， y ∈ B} ，则集合 A * B 的所有元素之和为 ( )
A ．6 B ．3 C ．2 D ．0
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•石家庄模拟）某校“五一田径运动会 ”上，共有 12 名同学参加 100 米、400 米、1500 米三个 项目，其中有 8 人参加“ 100 米比赛 ”，有 7 人参加“400 米比赛 ”，有 5 人参加“ 1500 米比赛 ”，“100 米 和 400 米 ”都参加的有 4 人，“100 米和 1500 米 ”都参加的有 3 人，“400 米和 1500 米 ”都参加的有 3 人， 则下列说法正确的是 ( )
A ．三项比赛都参加的有 2 人 B ．只参加 100 米比赛的有 3 人
C ．只参加 400 米比赛的有 3 人 D ．只参加 1500 米比赛的有 1 人
12 ．（2024•南通模拟）设U 为全集，集合 A 、 B 、 C 满足条件 AU B = AU C ，那么下列各式中不一定成 立的是 ( )
A ． B 二 A B ． C 二 A
C ． A∩ (痧UB) = A∩ ( UC) D ． (痧UA)∩ B = ( UA)∩ C
13 ．（2024•庄浪县校级一模）函数 f(x) = 22x — 2x+1 + 2 的定义域为M ，值域为[1 ， 2] ，下列结论中一定成 立的结论的序号是 ( )
A ． M 二 (—∞ , 1] B ． M 彐 [—2 ， 1] C ． 1 ∈ M D ． 0 ∈ M
14 ．（2024•开封一模）设集合 A = {x | x2 — 4 = 0} ， B = {y | y = x2 — 4} ，则 ( )
A ． A∩ B = ⑦ B ． A∩ B = A C ． AU B = B D ． AU B = {—2 ， 2}
15 ．（2024•广东模拟）设 P 是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意 a ， b ∈ P ，都有 a +b ， a —b ， ab ∈ P ，且若b ≠ 0 ，则 ，则称 P 是一个数域．例如，有理数集 Q 是数域．下列命题正确的是 ( )
A ．数域必含有 0 ，1 两个数
B ．整数集是数域
C ．若有理数集 Q 二 M ，则数集M 一定是数域

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D ．数域中有无限多个元素
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•三明模拟）记 Nm(*) = {1, 2, 3, … , m}(m∈ N* ), Ak 表示 k 个元素的有限集，S （E）表示非空数集 E 中 所有元素的和，若集合Mm ,k = {S (Ak ) |Ak 二 Nm(*)} ，则M4,3 = ，若 S(Mm,2 )开817 ，则 m 的最小值为 ．

17 ．（2024•邹城市校级三模） 已知集合 A = {m + 2 ，1 ， 4} ， B = {m2 ， 1} ，若 B 二 A ，则实数 m = ．

18 ．（2024•上海）设全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ， 5} ，集合 A = {2 ， 4} ，则 A = ．
19 ．（2024•贵州模拟） 已知集合 A = {m ， | m |} ，若 2 ∈ A ，则 m = ．
20 ．（2024•斗门区校级模拟）已知集合 A = {1 ，2 ，4} ，B = {(x, y) | x ∈ A ，y ∈ A ，x - y ∈ A} ，则集合B 的 元素个数为 ．
四．解答题（共 5 小题）
21 ．（2024•顺义区一模）给定正整数 n开3 ，设集合 A = {a1 ， a2 … , an } ．若对任意i ， j ∈ {1 ，2 ， … , n} ， ai + aj ， ai - aj 两数中至少有一个属于 A ，则称集合 A 具有性质P ．
( Ⅰ ) 分别判断集合{1 ，2 ， 3}与{-1 ，0 ，1 ， 2} 是否具有性质P ；
( Ⅱ ) 若集合 A = {1 ， a ， b} 具有性质 P ，求 a +b 的值；
(Ⅲ) 若具有性质 P 的集合 B 中包含 6 个元素，且1 ∈ B ，求集合 B ．
22 ．（2024•景德镇模拟）设X ，Y 是非空集合，定义二元有序对集合 X× Y = {(x, y) | x ∈ X ，y ∈Y}为 X 和 Y 的笛卡尔积．若 R 二 X× Y ，则称 R 是 X 到 Y 的一个关系．当 (x, y)∈ R 时，则称 x 与 y 是 R 相关的，记 作 xRy ．已知非空集合 X上的关系 R 是 X× X 的一个子集，若满足 x ∈ X ，有 xRx ，则称 R 是自反的： 若 x ， y ∈ X ，有xRy ，则yRx ，则称 R 是对称的；若 x ，y ， z ∈ X ，有 xRy ， yRz ，则 xRz ，则称 R 是传递的．且同时满足以上三种关系时，则称 R 是集合 X 中的一个等价关系，记作 ~ ．
（1）设X = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6} ，R = {(1, 2) ，(1, 3) ，(1, 4) ，(1, 6) ，(2, 2) ，(2, 5) ，(3, 2) ，(4, 2) ，(4, 4) ， (5, 5)} ， A = {1 ，2 ， 3} ， B = {4 ，5 ， 6} ，求集合 P = {y | x ∈ A ， xRy} 与 Q = {x | y ∈ B ， xRy} ；
（2）设R 是非空有限集合X 中的一个等价关系，记 X 中的子集[x]R = {y ∈ X | x ∈ X ， xRy} 为 x 的R 等价 类，求证：存在有限个元素 xi ∈ X ，使得 ，且对任意 i ≠ j ，[xi ]R ∩ [xj ]R = φ(i ，j ∈ {1，2 ，… , n}) ；
（3）已知数列是公差为 1 的等差数列，其中 数列 满足 其中 a1 ≠ 0 ，

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前 n 项和为 Sn (n ∈ N+ ) ． 若给 出 N 上 的两个 关系 和 请求出关系 R = R1 ∩ R2 ， 上的等 价关系．如果不是，请说明你的理由；如果是，请证明你的结论并请写出 N 中所有等价类作为元素构成
/ ~ ．
23．（2024•马鞍山模拟）已知 S 是全体复数集 C 的一个非空子集，如果 丫x ，y ∈ S ，总有 x + y ，x - y ，x . y ∈ S ， 则称 S 是数环．设 F 是数环，如果① F 内含有一个非零复数；② 丫x ，y ∈ F 且 y ≠ 0 ，有 则称 F 是 数域．由定义知有理数集 Q 是数域．
（1）求元素个数最小的数环S( ˆ) ；

证明：记 证明： 是数域；
（3）若 F1 ， F2 是数域，判断 F1 UF2 是否是数域，请说明理由．
24 ．（2024•重庆模拟）设集合 S 、T 为正整数集 N* 的两个子集，S 、T 至少各有两个元素．对于给定的集 合 S ，若存在满足如下条件的集合 T :
①对于任意 a ， b ∈ S ，若 a ≠ b ，都有 ab ∈ T ；②对于任意 a ， b ∈ T ，若 a < b ，则 则称集合 T 为 集合 S 的“ K 集 ”．
（1）若集合 S1 = {1 ，3 ， 9} ，求 S1 的“ K 集 ” T1 ；

（2）若三元集 S2 存在“ K 集 ” T2 ，且 T2 中恰含有 4 个元素，求证： 1 ∈ S2 ；

（3）若 S3 = {x1 ， x2 ， … , xn } 存在“ K 集 ”，且 x1 < x2 < … < xn ，求 n 的最大值．
25 ．（2023•东城区模拟）对非空数集 A ， B ，定义 A - B = {x -y | x ∈ A ， y ∈ B} ，记有限集T 的元素个数 为 | T | ．
（1）若 A = {1 ，3 ， 5} ， B = {1 ，2 ， 4} ，求 | A - A | ， | B - B | ， | A - B | ；
（2）若 | A |= 4 ， A 二 N* ， B = {1 ，2 ，3 ， 4} ，当 | A - B | 最大时，求 A 中最大元素的最小值；
（3）若 | A |=| B |= 5 ， | A - A |=| B - B |= 21 ，求 | A - B | 的最小值．

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2025 年高考数学解密之集合
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•西宁二模） 已知全集U = R ，集合 A = {x | -2 .x.3} ， B = {x | 0 < x < 4} ，则图中阴影部分表示的 集合为 ( )

A ． [3 ， 4) B ． (3, 4) C ． (0, 4) D ． (0 ， 3]
【答案】 B
【考点】 Venn 图表示交并补混合运算
【专题】数学运算；集合；数形结合法；转化思想
【分析】阴影部分表示的集合为 B∩ δUA ，根据集合关系即可得到结论． 【解答】解： 由Venn 图可知阴影部分对应的集合为 B∩ (δUA) ，
:集合 A = {x | -2 .x.3} ， B = {x | 0 < x < 4} ，
: δUA = {x | x > 3 或 x < -2} ， 即 B∩ (δUA) = {x |3 < x < 4} ． 故选： B ．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，属于基础题．
2 ．（2024•广汉市校级模拟）设集合 A = {0 ，1 ，2 ， 3} ， B = {-1 ，0 ，1 ，2 ， 3} ，则 A∩ B = ( )
A ． {-1 ，0 ，1 ，2 ， 3} B ． {1 ， 2} C ． {0 ，1 ，2 ， 3} D ．{1 ，2 ，3} 【答案】 C
【考点】求集合的交集
【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解 【分析】根据集合交集运算求解即可．
【解答】解： A = {0 ，1 ，2 ， 3} ， B = {-1 ，0 ，1 ，2 ， 3} ， 则 A∩ B = {0 ，1 ，2 ， 3} ．
故选： C ．
【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．

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3 ．（2024•贵池区校级一模）设全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7} ，集合 A = {1 ，2 ，4 ，5} ，B = {2 ，3 ，6} ， 则韦恩图中阴影部分表示的集合为 ( )

A ． {2 ， 5} B ． {2 ， 6} C ． {3 ， 6} D ． {2 ，3 ， 6}
【答案】 C
【考点】 Venn 图表示交并补混合运算
【专题】综合法；数学运算；集合；整体思想
【分析】根据Venn 图中集合之间的关系即可得到结论．
【解答】解： 由题意得 δUA = {3 ，6 ， 7} ， B = {2 ，3 ， 6} ， 所以阴影部分表示的集合为 (δUA)∩ B = {3 ， 6} ．
故选： C ．
【点评】本题主要考查Venn 图表达集合的关系和运算，属于基础题．
4 ．（2024•湖北模拟）已知集合 则下列表述正确的是 ( )
A ． M ∩ N = ⑦ B ． MUN = R C ． M 二 N D ． N 二 M 【答案】 C
【考点】判断两个集合的包含关系
【专题】集合思想；逻辑推理；函数的性质及应用；综合法 【分析】 由集合间的关系判断即可得解．
【解答】解： n ∈ Z} ， 、 n ∈ Z} ， 、
2n + 1 为奇数、 n + 2 为任意整数、
:M N ．
故选： C ．
【点评】本题考查集合的关系的判断，集合的关系等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基 础题．

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5 ．（2024•开封模拟）设U = R ， 已知集合 A = {x | x开1} ， B = {x | x > a} ，且 (δUA)UB = R ，则实数 a 的取 值范围是 ( )
A ． (一∞, 1) B ． (一∞ , 1] C ． (1, +∞) D ． [1 ， +∞)
【考点】 1H ：交、并、补集的混合运算
【专题】38：对应思想； 4O ：定义法； 5J ：集合
【分析】根据集合的定义与运算性质，进行化简、运算即可．
【解答】解： U = R ，集合 A = {x | x开1} = [1 ， +∞) ， B = {x | x > a} = (a, +∞) ，
: δUA = (一∞, 1) ，
又 (δUA)UB = R ，
: 实数 a 的取值范围是 (一∞, 1) ． 故选： A ．
【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目．
6 ．（2024•威海二模）在研究集合时，用 card （A）来表示有限集合 A 中元素的个数．集合M = {1 ，2 ，3， 4} ， N = {x | x > m} ，若 card (M∩ N) = 2 ，则实数 m 的取值范围为 ( )
A ． [2 ， 3) B ． [2 ， 3] C ． (2, 3) D ． (2, +∞) 【答案】 A
【考点】交集及其运算
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解
【分析】根据题意，确定M∩ N = {3 ， 4} ，从而求出m 的值． 【解答】解： 由题： M ∩ N = {3 ， 4}
所以 2 .m < 3 ， 故选： A ．
【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
7 ．（2024•长沙模拟）集合 A = {x | 一1 .x.2} ， B = {x | x < 1} ，则 A (δRB) = ( )
A ． {x | x > 1} B ． {x | x开一1} C ． {x |1 < x.2} D ． {x | 1 .x.2}
【考点】 1H ：交、并、补集的混合运算
【专题】65：数学运算；37：集合思想； 4O ：定义法； 5J ：集合 【分析】根据集合的定义计算即可．

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【解答】解： 由 A = {x | -1 .x.2} ， B = {x | x < 1} ， 所以 δRB = {x | x开1} ，
所以 AU(δRB) = {x |x开-1} ．
故选： B ．
【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．
8 ．（2024•曲靖模拟）已知集合 A = {(x, y) | y开x ，x ，y ∈ N* } ，B = {(x, y) | x + y 8} ，则 A∩ B 中元素的个 数为 ( )
A ．2 B ．3 C ．4 D ．6
【答案】 C
【考点】交集及其运算
【专题】定义法；集合；数学运算；集合思想
【分析】利用交集定义求出 A∩ B = {(7, 1) ， (6, 2) ， (3, 5) ， (4, 4)} ，则答案可求． 【解答】解： :集合 A = {(x, y) | x ， y ∈ N * ， y开x} ， B = {(x, y) | x + y = 8} ，

: A∩ B 中元素的个数为 4． 故选： C ．
【点评】本题考查交集及其运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9 ．（2024•连云港模拟）已知全集U = R ，集合 A ，B 满足 A 二 (A∩ B) ，则下列关系一定正确的是 ( )
A ． A = B B ． B 二 A C ． A∩ (δUB) = ⑦ D ． (δUA)∩ B = ⑦ 【答案】 C
【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用 【专题】集合；定义法；对应思想；数学运算
【分析】根据已知条件，求得 A 二 B ，再进行选择即可．
【解答】解：因为集合 A ， B 满足 A 二 (A∩ B) ，故可得 A 二 B ，
对 A ：当 A 为 B 的真子集时，不成立；
对 B ：当 A 为 B 的真子集时，也不成立；
对 C : A∩ (δUB) = ⑦ , 恒成立；

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对D ：当 A 为B 的真子集时，不成立；
故选： C ．
【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．
10 ．（2024•湖北模拟） 已知集合 A = {1 ， 2} ， B = {0 ， 2} 若定义集合运算： A * B = {z | z = xy ， x ∈ A ， y ∈ B} ，则集合 A * B 的所有元素之和为 ( )
A ．6 B ．3 C ．2 D ．0
【答案】 A
【考点】元素与集合关系的判断
【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算
【分析】根据 A * B 的定义即可求出 A * B 的元素，从而得解．
【解答】解：因为 A * B = {0 ，2 ， 4} ，所以集合 A * B 的所有元素之和为 6． 故选： A ．
【点评】本题考查了元素与集合的关系， A * B 的定义，是基础题．
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•石家庄模拟）某校“五一田径运动会 ”上，共有 12 名同学参加 100 米、400 米、1500 米三个 项目，其中有 8 人参加“ 100 米比赛 ”，有 7 人参加“400 米比赛 ”，有 5 人参加“ 1500 米比赛 ”，“100 米 和 400 米 ”都参加的有 4 人，“100 米和 1500 米 ”都参加的有 3 人，“400 米和 1500 米 ”都参加的有 3 人， 则下列说法正确的是 ( )
A ．三项比赛都参加的有 2 人 B ．只参加 100 米比赛的有 3 人
C ．只参加 400 米比赛的有 3 人 D ．只参加 1500 米比赛的有 1 人 【答案】 ABD
【考点】 Venn 图表示交并补混合运算
【专题】集合；转化思想；数学运算；计算题；综合法 【分析】作出韦恩图，数形结合求解．
【解答】解：设参加 100 米、400 米、1500 米三个项目的集合分别为 A 、 B 、 C ，

则 card （A） = 8 ， card （B） = 7 ， card （C） = 5 ， card (A∩ B) = 4 ， card (A∩ C) = 3 ， card (B∩ C) = 3 ，

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设 card (A∩ B∩ C) = x ，
可得 8 + 7 + 5 - 4 - 3 - 3 + x = 12 ，解得x = 2 ，
所以三项比赛都参加的有 2 人，只参加 100 米比赛的有 3 人，只参加400 米比赛的有 2 人，只参加 1500 米比赛的有 1 人，
故选： ABD ．
【点评】本题考查韦恩图、交集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12 ．（2024•南通模拟）设U 为全集，集合 A 、 B 、 C 满足条件 AU B = AU C ，那么下列各式中不一定成 立的是 ( )
A ． B 二 A B ． C 二 A
C ． A∩ (痧UB) = A∩ ( UC) D ． (痧UA)∩ B = ( UA)∩ C 【答案】 ABC
【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算 【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算
【分析】分① B = C ，② B 二 A ， C 二 A ，③ C 二 B ， (ðBC) 二 A 三种情况讨论判断即可．
【解答】解：①当B = C 时，满足 AU B = AU C ，但是 B 二 A 不一定成立， C 二 A 也不一定成立， (痧UA)∩ B = ( UA)∩ C 成立，
②当B 二 A ， C 二 A 时，此时 AU B = AU C = A ，但是 A∩ (痧UB) = A∩ ( UC) 不一定成立， (痧UA)∩ B = ( UA)∩ C = ⑦ 成立，
③若 C 二 B ， (ðBC) 二 A 时，此时 (痧UA)∩ B = ( UA)∩ C = ⑦ , 所以不一定成立的是 ABC ．
故选： ABC ．
【点评】本题主要考查了集合间的基本关系，考查了集合的基本运算，属于基础题．
13 ．（2024•庄浪县校级一模）函数 f(x) = 22x - 2x+1 + 2 的定义域为M ，值域为[1 ， 2] ，下列结论中一定成 立的结论的序号是 ( )
A ． M 二 (-∞ , 1] B ． M 彐 [-2 ， 1] C ． 1 ∈ M D ． 0 ∈ M 【答案】 ACD
【考点】集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法 【专题】综合法；数学运算；集合；整体思想

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【分析】先研究值域为[1 ，2] 时函数的定义域，再研究使得值域为[1 ，2] 得函数的最小值的自变量的取值 集合，研究函数值取 1 ，2 时对应的自变量的取值，由此可判断各个选项．
【解答】解：由于 f(x) = 22x — 2x+1 + 2 = (2x —1)2 +1∈[1 ，2] ，:(2x —1)2 ∈ [0 ，1] ，:2x —1∈[—1，1] ，:2x ∈ [0 ， 2] ， : x ∈ (—∞ , 1] ，
即函数 f(x) = 22x — 2x+1 + 2 的定义域为 (—∞ , 1] ，
当函数的最小值为 1 时，仅有 x =0 满足，所以 0 ∈ M ，故D 正确；
当函数的最大值为 2 时，仅有 x =1满足，所以1 ∈ M ，故 C 正确；
即当M = [0 ，1]时，函数的值域为[1 ，2] ，故M 二 (—∞ , 1] ，故M 彐 [—2 ，1]不一定正确，故 A 正确，B 错误；
故选： ACD ．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，解题的关键是通过函数的值域求出函数的定义域，再利用元素 与集合关系的判断，集合的包含关系判断，考查了学生的逻辑推理与转化能力，属于基础题．
14 ．（2024•开封一模）设集合 A = {x | x2 — 4 = 0} ， B = {y | y = x2 — 4} ，则 ( )
A ． A∩ B = ⑦ B ． A∩ B = A C ． AU B = B D ． AU B = {—2 ， 2}
【答案】 BC
【考点】集合的包含关系判断及应用；集合的表示法；集合的相等 【专题】综合法；数学运算；计算题；集合；集合思想
【分析】 由 A = {2 ， —2} ， B = {y | y开— 4} ，可得 A∩ B = A ．
【解答】解：集合 A = {x | x2 — 4 = 0} = {2 ，—2} ，B = {y | y = x2 — 4} = {y | y开— 4} ，则 A∩ B = A ，AU B = B ． 故选： BC ．
【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．
15 ．（2024•广东模拟）设 P 是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意 a ， b ∈ P ，都有 a +b ， a —b ， ab ∈ P ，且若b ≠ 0 ，则 ，则称 P 是一个数域．例如，有理数集 Q 是数域．下列命题正确的是 ( )
A ．数域必含有 0 ，1 两个数
B ．整数集是数域
C ．若有理数集 Q 二 M ，则数集M 一定是数域
D ．数域中有无限多个元素 【答案】 AD
【考点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用

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【专题】转化思想；集合；综合法；数学运算 【分析】根据数域的定义逐项进行分析即可．
【解答】解：因为 P 是一个数集，且至少含有两个数，可知 P 中必有一个非零实数，
对于选项 A ：当 a = b ≠ 0 时 故 A 正确；
对于选项 B ：例如 a = 1 ， b = 2 ，但 ，不满足条件，故 B 错误；
对于选项 C ：例如 取 但 ， 所以数集M不是一个数域，故 C 错误；
对于选项 D ：由选项 A 可知：数域必含有 0 ，1 两个数，
根据数域的性质可知：数域必含有 0 ，1 ，2 ，3 ， . . . ，必为无限集，故可知D 正确．
故选： AD ．
【点评】本题考查了数域的定义，元素与集合的关系，是基础题．
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•三明模拟）记 Nm(*) = {1, 2, 3, … , m}(m∈ N* ), Ak 表示 k 个元素的有限集，S （E）表示非空数集 E 中
所有元素的和，若集合Mm ,k = {S (Ak ) |Ak 二 Nm(*)} ，则M4,3 = {6 ，7 ，8 ，9} ，若 S(Mm,2 )开817 ，则 m 的
最小值为 ．
【答案】 {6 ，7 ，8 ， 9} ；21．
【考点】元素与集合关系的判断
【专题】数学运算；定义法；集合；集合思想
【分析】第一空，根据集合新定义可写出 A3 的所有可能情况，即可求得答案；第二空，由题意求出Mm,2 = {3 ，
4 ，5 ， … , 2m -1} ，利用等差数列的求和公式列不等式，结合解一元二次不等式求出 m 的范围，即可求
得答案．
【解答】解：当 m = 4 ， k = 3 时， N4(*) = {1, 2, 3, 4}, A3 表示 3 个元素的有限集，

由 Ak 二 Nm(*) 可知 A3 = {1 ，2 ， 3} 或 A3 = {1 ，2 ， 4} 或 A3 = {1 ，3 ， 4} 或 A3 = {2 ，3 ， 4} ， 故M4,3 = {6 ，7 ，8 ， 9} ；
由题意知Mm,2 = {3 ，4 ，5 ， … , 2m -1} ，
故由 解得 m开或

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结合 m ∈ N* ，故 m 的最小值为 21， 故答案为： {6 ，7 ，8 ， 9} ；21．
【点评】本题考查了集合新定义，属于中档题．
17 ．（2024•邹城市校级三模）已知集合 A = {m + 2 ，1 ，4} ，B = {m2 ，1} ，若B 二 A ，则实数 m = —2 ． 【答案】 —2 ．
【考点】集合的包含关系判断及应用
【专题】整体思想；数学运算；综合法；集合
【分析】据子集关系求出可能解，再利用集合中元素的互异性求出不能取的值即可得出 m 的值．
【解答】解：因为 B 二 A ，所以 m2 = m + 2 或 m2 = 4 ， → m = —1 或 m = ±2 ，
又由集合中元素的互异性可知m + 2 ≠ 1 且m + 2 ≠ 4 且 m2 ≠ 1 ， → m ≠ ±1 且 m ≠ 2 ， 综上 m = —2 ．
故答案为： —2 ．
【点评】本题主要考查了集合包含关系的应用，属于基础题．

18 ．（2024•上海）设全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ， 5} ，集合 A = {2 ， 4} ，则 A = {1 ，3 ， 5} ．
【答案】 {1 ，3 ， 5} ．
【考点】补集及其运算
【专题】数学运算；转化思想；转化法；集合 【分析】结合补集的定义，即可求解．
【解答】解：全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ， 5} ，集合 A = {2 ， 4} ，

则 A = {1 ，3 ， 5} ．
故答案为： {1 ，3 ， 5} ．
【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题．
19 ．（2024•贵州模拟） 已知集合 A = {m ， | m |} ，若 2 ∈ A ，则 m = —2 ． 【答案】 —2 ．
【考点】元素与集合关系的判断
【专题】数学运算；定义法；集合