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2025 年高考数学解密之数列
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•通州区模拟）已知等差数列{an } 的前 n 项和为 Sn ，则“ S2 — 2a2 < 0 ”是“ nSn+1 > (n + 1)Sn ”的 ( )
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
2 ．（2024•衡水一模）在等比数列{an } 中，若 a1 . a5 . a12 为一确定的常数，记数列{an } 的前 n 项积为 Tn ，则 下列各数为常数的是 ( )
A ． T6 B ． T8 C ． T10 D ． T11

3 ．（2024•郑州模拟） 已知等比数列{an } 的前三项和为 56 ， a2 — a5 = 14 ，则 a8 = ( )
A ．4 B ．2 C ． D ．
4 ．（2024•包头一模） 已知等差数列{an } 中， a1 = 9 ， a4 = 3 ，设 Tn =| a1 | + | a2 | + … + | an | ，则 T21 = ( )

A ．245 B ．263 C ．281 D ．290
5．（2024•许昌模拟）已知等比数列{an } 的公比为 q ，若 a1 + a2 = 12 ，且 a1 ，a2 + 6 ，a3 成等差数列，则 q = ( )
A ． B ． C ．3 D ． —3
6 ．（2024•平谷区模拟） 已知等差数列{an } 和等比数列{bn } ， a1 = b1 = —4 ， a4 = 2 ， a5 = 8b4 ， m ∈ N* ，则 满足 am . bm > 1 的数值 m( )
A ．有且仅有 1 个值 B ．有且仅有 2 个值
C ．有且仅有 3 个值 D ．有无数多个值
7 ．（2024 • 山 东 一模 ） 将方程 的所有 正 数解从 小 到 大 组 成 数 列 {xn } ， 记 an = cos(xn+1 — xn ) ，则 a1 + a2 + … + a2021 = ( )
A ． B ． C ． D ．
8 ．（2024•义乌市模拟） 已知{bn } 是等比数列，若b2 = 3 ， b6 = 27 ，则 b4 的值为 ( )
A ．9 B ． —9 C ． ±9 D ．81
9 ．（2024•四川模拟）已知数列{an } 是等差数列，数列{bn } 是等比数列，若 则

1

A ．2 B ． C ． D ．
10 ．（2024•皇姑区四模）等差数列{an } 的前 n 项和记为 Sn ，若 a1 = 2 ， a3 + a7 = 8 ，则 S17 = ( )

A ．51 B ．102 C ．119 D ．238
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•泰安二模）已知等差数列{an } 的前 n 项和为 Sn ，a2 = 4 ，S7 = 42 ，则下列说法正确的是 ( )
A ． a5 = 4 B ．
C ． 为递减数列 D ． 的前 5 项和为
12 ．（2024•贵阳模拟）设首项为 1 的数列{an } 前 n 项和为 Sn ，已知Sn+1 = 2Sn + n 一1 ，则下列结论正确的是 ( )
A ．数列{Sn + n} 为等比数列

B ．数列{an } 的前 n 项和Sn = 2n 一 n

C ．数列{an } 的通项公式为 an = 2n一1 一1
D ．数列{an + 1}为等比数列
13 ．（2024•山东模拟） 已知数列{an } 中， an = 2n +1, bn = 2n ，则 ( )
A ． {an bn }的前 10 项和为19× 210 + 2

B ． {(一1)n an } 的前 100 项和为 100
C ． 的前 n 项和
D ． 的最小项为
14 ．（2024•河北模拟） 已知数列 ，满足 当 时， an ≠ bn ，则 ( )

C ． an+1 + bn < bn+1 + an D ． (an + an+1)(bn + bn+1)开4
15．（2024•广东模拟）已知一组数据 x1 ，x2 ，… , x11 是公差不为 0 的等差数列，若去掉数据x6 ，则 ( )

2
A ．中位数不变 B ．平均数变小 C ．方差变大 D ．方差变小
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•安徽模拟）已知正项等差数列{an } 的前 n 项和为 Sn ，若 S11 = 44 ，则 的最小值为 ． a5 a7
17 ．（2024•上海）数列{an } ， an = n + c ， S7 < 0 ， c 的取值范围为 ．

18 ．（2024•全国）记等差数列{an } 的前 n 项和为 Sn ，若 S2 = 16 ， S4 = 24 ，则 a8 = ．
19 ．（2024•包头模拟） 已知数列{an } 的前 n 项和 Sn = n2 + n ，当 取最小值时， n = ．
20 ．（2024•淄博一模）已知等比数列{an } 共有 2n + 1项，a1 = 1 ，所有奇数项的和为 85 ，所有偶数项的和为
42 ，则公比 q = ．
四．解答题（共 5 小题）
21 ．（2024•回忆版）已知双曲线C : x2 — y2 = m(m > 0) ，点P1 (5, 4) 在 C 上， k 为常数， 0 < k < 1 ，按照如下 方式依次构造点 Pn (n = 2 ，3 ， …) ，过 Pn —1 斜率为 k 的直线与 C 的左支交于点 Qn —1 ，令 Pn 为 Qn —1 关于 y 轴的 对称点，记 Pn 的坐标为 (xn ， yn ) ．
若 求 x2 ， y2 ；
（2）证明：数列{xn — yn } 是公比为 的等比数列；
（3）设 Sn 为△ Pn Pn+1Pn+2 的面积，证明：对任意的正整数 n ， Sn = Sn+1 ．

22 ．（2024•河南模拟）设任意一个无穷数列{an } 的前 n 项之积为 Tn ，若 n ∈ N* ，Tn ∈ {an } ，则称{an } 是T 数列．
（1）若{an } 是首项为 —2 ，公差为 1 的等差数列，请判断{an } 是否为T 数列？并说明理由；

（2）证明：若{an } 的通项公式为 an = n . 2n ，则{an } 不是T 数列；
（3）设{an } 是无穷等比数列，其首项 a1 = 5 ，公比为 q(q > 0) ，若{an } 是 T 数列，求 q 的值．

23 ．（2024•朝阳区二模）设 n 为正整数，集合 An = {α | α = (a1 ，a2 ， … , an ) ，ai ∈ {0 ，1} ，i = 1 ，2 ， … , n} ．对于 α = (a1 ， a2 ， … , an ) ∈ An ，设集合 P(α){t ∈ N | 0 .t .n —1 ， ai +t = ai ， i = 1 ，2 ， … , n — t} ．
( Ⅰ ) 若 α = (0 ，1 ，0 ，0 ，1 ， 0) ， β = (0 ，1 ，0 ，0 ，1 ，0 ，1 ，0 ，0 ，1 ， 0) ，写出集合 P(α) ， P(β) ； ( Ⅱ ) 若 α = (a1 ，a2 ， … , an ) ∈ An ，且s ，t ∈ P(α) 满足s < t ，令 α / = (a1 ，a2 ， … , an —1 ) ∈ An — s ，求证： t — s ∈ P(α /) ；

3
(Ⅲ) 若 α = (a1 ， a2 ， … , an ) ∈ An ，且 P(α) = {s1 ， s2 ， … , sm }(s1 < s2 < … < sm ， m开3) ，求证： 2sk+1开sk + sk+2 (k = 1 ，2 ， … , m 一 2) ．
24 ．（2024•湖北模拟）设{an } 是正数组成的数列，其前 n 项和为 Sn ， 已知 an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项．
（1）求数列{an } 的通项公式；
令 求 的前 n 项和．
25 ．（2024•江西模拟）随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数 据加密算法通常有 AES 、 DES 、 RSA 等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA 的密钥长度较长，用于传 输敏感数据．在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在 RSA 加密算法中的应用．设 p ，q 是两个正整数，若 p q 的最大公约数是 1 ，则称 p ，q 互素．对于任意正整数 n ，欧拉函数是不超 过 n 且与 n 互素的正整数的个数，记为φ(n) ．
（1）试求φ （1） +φ （9）， φ （7） +φ(21) 的值；
（2）设 p ， q 是两个不同的素数，试用 p ， k 表示φ(pk )(k ∈ N* ) ，并探究φ(pq) 与φ(p) 和φ(q) 的关系；
（3）设数列{an } 的通项公式为 求该数列的前m 项的和Tm ．

4
2025 年高考数学解密之数列
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•通州区模拟）已知等差数列{an } 的前 n 项和为 Sn ，则“ S2 — 2a2 < 0 ”是“ nSn+1 > (n + 1)Sn ”的 ( )
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 C
【考点】充分条件与必要条件；等差数列的前 n 项和；等差数列的性质
【专题】数学运算；综合法；等差数列与等比数列；整体思想；简易逻辑
【分析】设等差数列{an } 的公差为 所以再利用充分条件和必 要条件的定义判断．
【解答】解：设等差数列{an } 的公差为 ， 所以 ，
若 S2 — 2a2 < 0 ，则 a1 + a2 — 2a2 < 0 ，即 a1 — a2 < 0 ，即 d > 0 ，
所以 即 nSn+1 >
所以由“ S2 — 2a2 < 0 ”可以推出“ nSn+1 > (n + 1)Sn ”， 若 nSn+1 > Sn ，则 ，

所以 S2 — 2a2 = a1 + a2 — 2a2 = a1 — a2 = —d < 0 ，
即由“ nSn+1 > (n + 1)Sn ”可以推出“ S2 — 2a2 < 0 ”，

故“ S2 — 2a2 < 0 ”是“ nSn+1 > (n + 1)Sn ”的充分必要条件．
故选： C ．
【点评】本题主要考查了等差数列的前 n 项和公式，考查了充分条件和必要条件的定义，属于中档题．
2 ．（2024•衡水一模）在等比数列{an } 中，若 a1 . a5 . a12 为一确定的常数，记数列{an } 的前 n 项积为 Tn ，则

5
下列各数为常数的是 ( )

A ． T6 B ． T8 C ． T10 D ． T11
【答案】 D
【考点】等比数列的性质
【专题】数学运算；等差数列与等比数列；整体思想；综合法
【分析】 由已知可得 a6 为常数，然后结合等比数列的性质即可求解．

【解答】解：因为等比数列{an } 中， a1 . a5 . a12 = a5 . a6 . a7 = a63 为常数， 则 a6 为常数，
又数列{an } 的前 n 项积为 Tn ，则 T11 = a1a2 …a11 = a6(1)1 为常数．
故选： D ．
【点评】本题主要考查了等比数列性质的应用，属于基础题．
3 ．（2024•郑州模拟） 已知等比数列{an } 的前三项和为 56 ， a2 — a5 = 14 ，则 a8 = ( )
A ．4 B ．2 C ． D ．
【答案】 D
【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式
【专题】转化法；等差数列与等比数列；转化思想；数学运算 【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解．
【解答】解：设等比数列{an } 的公比为 q ，

等比数列{an } 的前三项和为 56 ， a2 — a5 = 14 ， 则 解得 ，
故选： D ．
【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
4 ．（2024•包头一模） 已知等差数列{an } 中， a1 = 9 ， a4 = 3 ，设 Tn =| a1 | + | a2 | + … + | an | ，则 T21 = ( )

A ．245 B ．263 C ．281 D ．290
【答案】 C

6
【考点】等差数列的前 n 项和
【专题】数学运算；转化思想；等差数列与等比数列；转化法
【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，以及等差数列的前 n 项和公式，即可求解． 【解答】解：设等差数列{an } 的公差为 d ，
则 一2 ，
故 an = a1 + (n 一1) × d = 11 一 2n ， 所以 一 n2 ， 当 n > 5 时，
Tn =| a1 | + | a2 | + … + | an |= a1 + a2 + a3 + a4 + a5 一 a6 一 a7 一 an一1 一 an

= S5 一 (Sn 一 S5 )

= 2S5 一 Sn
= 50 一10n + n2 ，
故T21 = 50 一10× 21 + 212 = 281 ．
故选： C ．
【点评】本题主要考查等差数列的性质， 以及等差数列的前 n 项和公式，属于基础题．
5．（2024•许昌模拟）已知等比数列{an } 的公比为 q ，若 a1 + a2 = 12 ，且 a1 ，a2 + 6 ，a3 成等差数列，则 q = ( )
A ． B ． 一 C ．3 D ． 一3
【答案】 C
【考点】等比数列的通项公式；等差数列与等比数列的综合
【专题】数学运算；等差数列与等比数列；转化思想；综合法
【分析】根据等差数列的中项性质和等比数列通项公式可构造方程求得结果．
【解答】解： : a1 ， a2 + 6 ， a3 成等差数列， : 2(a2 + 6) = a1 + a3 ，又 a1 + a2 = 12 ，

: 2(12 一 a1 + 6) = a1 + a3 ，整理可得： 3a1 + a3 = 3a1 + a1q2 = 36 ，
解得： q = 0 或 q = 3 ． 故选： C ．
【点评】本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

7
6 ．（2024•平谷区模拟） 已知等差数列{an } 和等比数列{bn } ， a1 = b1 = —4 ， a4 = 2 ， a5 = 8b4 ， m ∈ N* ，则 满足 am . bm > 1 的数值 m( )
A ．有且仅有 1 个值 B ．有且仅有 2 个值
C ．有且仅有 3 个值 D ．有无数多个值 【答案】 A
【考点】等差数列与等比数列的综合
【专题】综合法；方程思想；数学运算；等差数列与等比数列
【分析】由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，求得 an ，bn ，运用分类讨论思想解 不等式可得所求取值．
【解答】解：设等差数列{an } 的公差为 d ，等比数列{bn } 的公比为 q ， 由 a1 = b1 = —4 ， a4 = 2 ， a5 = 8b4 ，可得 —4 + 3d = 2 ， —4 + 4d = —32q3 ， 解得 d = 2 ， ，
则 am . bm > 1 即 ，
当 m 为奇数时， m = 1时成立，其余都不成立；
当 m 为偶数时， m = 2 ，不等式左边小于 0 ，不等式不成立；
m = 4 时，不等式左边 不等式不成立；
m = 6 时，不等式的左边 不等式不成立；
m = 8 时，不等式的左边 不等式不成立；
其余的偶数，也都不成立．
故选： A ．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及不等式的解法，考查方程思想和分类讨论思想、 运算能力，属于中档题．
7 ．（2024 • 山 东 一模 ） 将方程 的所有 正 数解从 小 到 大 组 成 数 列 {xn } ， 记 an = cos(xn+1 — xn ) ，则 a1 + a2 + … + a2021 = ( )
A ． B ． C ． D ．

8
【答案】 C
【考点】数列递推式；数列与三角函数的综合
【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；三角函数的求值；数学运算
【分析】由三角函数的恒等变换化简方程 并求值，判断 以一 重复 循环出现，且 a1 + a2 = 0 ， a3 + a4 = 0 ， … , 计算可得所求和．
解 即为
所以 或 2kπ + π 一 src sin 即 一 或 k ∈ Z ，

所以 一

… ,

后面的值都是以 一 重复循环出现，且 a1 + a2 = 0 ， a3 + a4 = 0 ， … ,
所以 a1 + a2 + … + a2021 = a2021 = a1 = 一 故选： C ．
【点评】本题考查三角函数与数列的综合，以及三角函数的化简和求值、数列的求和，考查转化思想和方 程思想、运算能力，属于中档题．
8 ．（2024•义乌市模拟） 已知{bn } 是等比数列，若b2 = 3 ， b6 = 27 ，则 b4 的值为 ( )
A ．9 B ． 一9 C ． ±9 D ．81
【答案】 A
【考点】等比数列的通项公式
【专题】定义法；方程思想；等差数列与等比数列；数学运算

9
【分析】根据等比中项的性质即可得到答案．
【解答】解： 由题得b4(2) = b2 . b6 = 3 × 27 = 81 ，
而b4 = b2 . q2 > 0 ，则b4 = 9 ．
故选： A ．
【点评】本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9 ．（2024•四川模拟）已知数列{an } 是等差数列，数列{bn } 是等比数列，若 则
A ．2 B ． C ． D ．
【答案】 C
【考点】等差数列与等比数列的综合
【专题】等差数列与等比数列；方程思想；综合法；数学运算 【分析】根据等差数列和等比数列的中项性质分析求解．
【解答】解： 由题意可得 解得 所以
故选： C ．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
10 ．（2024•皇姑区四模）等差数列{an } 的前 n 项和记为 Sn ，若 a1 = 2 ， a3 + a7 = 8 ，则 S17 = ( )

A ．51 B ．102 C ．119 D ．238
【答案】 B
【考点】等差数列的前 n 项和
【专题】数学运算；综合法；等差数列与等比数列；整体思想
【分析】结合等差数列的性质先求出公差 d ，然后结合等差数列的求和公式即可求解． 【解答】解：等差数列{an } 中， a1 = 2 ， a3 + a7 = 2a5 = 8 ，即 a5 = 4 ，
所以 ，

故选： B ．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．

10
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•泰安二模）已知等差数列{an } 的前 n 项和为 Sn ，a2 = 4 ，S7 = 42 ，则下列说法正确的是 ( )
A ． a5 = 4 B ．
C ． 为递减数列 D ． 的前 5 项和为 【答案】 BC
【考点】等差数列的前 n 项和
【专题】转化思想；数学运算；等差数列与等比数列；综合法
【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出公差 d ，再逐项求解判断即可． 【解答】解：等差数列 中 解得 a4 = 6 ，而 a2 = 4 ，
因此公差 通项 an = a2 + d = n + 2 ， 对于 A ， a5 = 7 ， A 错误；
对于 正确；
对于 为递减数列， C 正确；
对于
所以 的前 5 项和为 错误．
故选： BC ．
【点评】本题主要考查等差数列的性质应用，考查计算能力，属于基础题．
12 ．（2024•贵阳模拟）设首项为 1 的数列{an } 前 n 项和为 Sn ，已知Sn+1 = 2Sn + n —1 ，则下列结论正确的是 ( )
A ．数列{Sn + n} 为等比数列

B ．数列{an } 的前 n 项和Sn = 2n — n

C ．数列{an } 的通项公式为 an = 2n—1 —1
D ．数列{an + 1} 为等比数列
【答案】 AB
【考点】等比数列的性质；数列递推式
【专题】转化思想；数学运算；综合法；等差数列与等比数列

11
【分析】由数列的递推式推得 Sn+1 + n + 1 = 2(Sn + n) ，结合等比数列的定义和通项公式，可判断 AB ；由 an 与 Sn 的关系，可判断 C ；由等比数列的中项性质可判断 D ．
【解答】解： 由 a1 = 1 ， Sn+1 = 2Sn + n —1 ，可得 S2 = 1 + a2 = 2S1 + 0 = 2a1 = 2 ，即有 a2 = 1 ，

由 Sn+1 + n + 1 = 2(Sn + n) ，可得数列{Sn + n} 是首项和公比均为 2 的等比数列，

则 Sn + n = 2n ，即 Sn = 2n — n ，故 AB 正确；

由 n开2 时， an = Sn — Sn—1 = 2n — n — 2n—1 + n —1 = 2n—1 —1 ，对 n = 1 不成立，故 C 错误；

由 a1 + 1 = 2 ， a2 + 1 = 2 ， a3 + 1 = 4 ， (a2 +1)2 ≠ (a1 +1)(a3 +1) ，故数列{an + 1}不为等比数列，故 D 错误． 故选： AB ．
【点评】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的项与和的关系，考查转化思想 和运算能力，属于中档题．
13 ．（2024•山东模拟） 已知数列{an } 中， an = 2n +1, bn = 2n ，则 ( )
A ． {an bn } 的前 10 项和为19× 210 + 2

B ． {(—1)n an } 的前 100 项和为 100
C ． 的前 n 项和
D ． 的最小项为 【答案】 BC
【考点】数列的求和
【专题】综合法；整体思想；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算
【分析】 A ． 由 anbn = (2n +1)2n ，利用错位相减法求解判断； B ． 由 (—1)n an = (—1)n (2n +1) ，利用幷项求 和 判 断 ； C ． 由 利 用 裂 项 相 消 法 求 解 判 断 ； D ． 由
利用对勾函数的性质求解判断．
【解答】解：对于 A ．易知 anbn = (2n +1)2n ，
则 T10 = a1b1 + a2b2 + ... + a10b10 = 3. 21 + 5 . 22 + 7 . 23 + ... + 21. 210 ， 则 2T10 = 3. 22 + 5 . 23 + 7 . 24 + ... + 21. 211 ，
两式相减得 —T10 = 3. 21 + 23 + 24 + 25 + ... + 211 — 21. 211 ，

12
= 6 + 23 + 24 + 25 + ... + 210 — 20 . 211
= —19 . 211 — 2 ，
则 T10 = 19 . 211 + 2 ， 故 A 错误；
对于 B ．易知 (—1)n an = (—1)n (2n +1) ，
则其前 100 项和为 S100 = —3 + 5 — 7 + 9 — ... — (2× 99 + 1) + (2× 100 + 1) = 50× 2 = 100 ， 故 B 正确；
对于

故 C 正确；
对于 D ．易知 令 t = 2n +1开3 ，
则 当且仅当 即 时，等号成立， 而 n ∈ N* ，当 n = 3 时 当 n = 4 时 ，
所以 的最小项为 ， 故D 错误．
故选： BC ．
【点评】本题考查了数列通项公式的求法，重点考查了错位相减法及裂项求和法，属中档题．
14 ．（2024•河北模拟） 已知数列 ，满足 当 时， an ≠ bn ，则 ( )

C ． an+1 + bn < bn+1 + an D ． (an + an+1)(bn + bn+1)开4 【答案】 ABD
【考点】数列递推式
【专题】综合法转化思想；数学运算；等差数列与等比数列

13
【分析】依题意可得 an > 0 ，从而得到 an+1 一 ，则{an } 单调递增，推导出2an+1 > an+2 + an ① , 再 由 得到 an bn = 1 ，结合①判断 B ，当 n开2 时， 将上式两边平方即可得到
an(2)+1 一 an(2) > 2 ，利用不等式的性质得到 an(2) > 2n ，即可判断 A ，结合函数的单调性判断 C ，利用基本不等式
判断 D ．
解： 由
所以 又 显然 an > 0 ，所以 an+1 一 ， 所以{an } 单调递增，则 单调递减，
即 an+1 一 an > an+2 一 an+1 ，所以 2an+1 > an+2 + an ① ,
由 设
即 an 、 bn 为关于 x 的方程 x2 一 kx + 1 = 0 的两根，所以 an bn = 1 ，
即 则 代入①得 故 B 正确；
当 时 所以 所以 一 ，
所以 an(2) 一 an(2)一1 > 2 ， an(2)一1 一 an(2)一2 > 2 ， … … , 一 ， 所以 an(2) 一 a1(2) > 2n 一1 ，则 an(2) > 2n ，
所以 a3(2)2 > 2× 32 = 64 ，所以 a32 > 8 ，故 A 正确；
因为{an } 单调递增，所以 an+1 > an ，又因为函数 在 (0, +∞) 上单调递增， 所以 an+1 一 一 ，
所以 an+1 一 bn+1 > an 一 bn ，
所以 an+1 + bn > an + bn+1 ，故 C 错误；
因为 (an + an+1)(bn + bn+1) = an bn + an+1bn + an bn+1 + an+1bn+1
当且仅当 an+1bn = an bn+1 时取等号，故D 正确．
故选： ABD ．

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【点评】本题考查数列的递推式和数列的单调性，关键是以递推公式推导出{an } 的单调性及 an bn = 1 ，再 结合不等式的知识判断，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
15．（2024•广东模拟）已知一组数据 x1 ，x2 ，… , x11 是公差不为 0 的等差数列，若去掉数据x6 ，则 ( )
A ．中位数不变 B ．平均数变小 C ．方差变大 D ．方差变小 【答案】 AC
【考点】等比数列的性质；用样本估计总体的离散程度参数；用样本估计总体的集中趋势参数 【专题】综合法；整体思想；概率与统计；数学运算；计算题
【分析】由中位数的概念可判断 A ，根据平均数的概念结合等差数列的性质判断 B ，由方差计算公式即可 判断 CD ．
【解答】解：对于选项 A ，原数据的中位数为 x6 ，去掉 x6 后的中位数为 即中位数没变， 故选项 A 正确；
对于选项 B ，原数据的平均数为
去掉 x6 后的平均数为 即平均数不变， 故选项 B 错误；
对于选项 C ，则原数据的方差为
去掉 x6 后的方差为 2 + … + 2 + … + (x11 一 x6 )2 ] ， 故 s2 < s2 ，即方差变大，故选项 C 正确，选项D 错误．
故选： AC ．
【点评】本题考查了样本数据的数字特征，属于中档题．
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•安徽模拟） 已知正项等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ，若 S11 = 44 ，则 的最小值为 a5 a7
.
.
【考点】求等差数列的前 n 项和
【专题】数学运算；综合法；等差数列与等比数列；整体思想
【分析】 由已知结合等差数列的求和公式及性质，基本不等式即可求解． 【解答】解：正项等差数列 中 ，

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所以 a1 + a11 = a5 + a7 = 8 ，

当且仅当 时等号成立．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质，求和公式及基本不等式的应用，属于基础题．

17 ．（2024•上海）数列{an } ， an = n + c ， S7 < 0 ， c 的取值范围为 (—∞, —4) ． 【答案】 (—∞, —4) ．
【考点】等差数列的前 n 项和
【专题】数学运算；综合法；整体思想；等差数列与等比数列
【分析】 由已知结合等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．
【解答】解：等差数列由 an = n + c ，知数列{an } 为等差数列 即 7(4 + c) < 0 ，
解得 c < —4 ．
故 c 的取值范围为 (—∞, —4) ．
故答案为： (—∞, —4) ．
【点评】本题主要考查了等差数列