上册第四章第1-2节正弦、余弦;正切.docx

上册第四章第1-2节正弦、余弦；正切

课程信息
年级
初
学科
数学
版
本
湘教版
内容
标题
正弦、余弦和正切
编稿
老师
阳矩红
【本讲教育信息】
一.教学内容：

正弦、余弦和正切
［教学目标］
（一）知识与技能
1. 了解一个锐角的正弦、余弦、正切的概念，能够正确地应用sinA、cosA> tanA表示直角三角形两边之比。
2. 熟记30。、45°、60°角的正弦、余弦、
正切值，会计算含有这三个特殊锐角的直角三角形的边长,会由一个特殊锐角的正弦值、余弦值、正切值说出这个角。
3. 了解一个锐角的正弦值与它余角的余弦值
之间的关系
4. 会用计算器计算锐角的正弦值和余弦值。
（二）过程与方法：
经历探索锐角的正弦值、余弦值与正切值的过程，在探索中总结规律，体验学习的乐趣。
（三）情感态度与价值观
体验数学活动充满着探索性和创造性，增强学习自信心。
［教学重点］
1. 正弦、余弦、正切的定义。
2. 特殊角30°、45°、60°的正弦值、余弦值、正切值。
3. 互余角之间的正弦值、余弦值之间的关系。
［教学难点］
1. 锐角的正弦值、余弦值、正切值的计算。
2. 综合运用正弦、余弦、正切的关系求直角 三角形的边。
［主要内容］
1. 正弦、余弦、正切的定义：
(1) 如图，在RtA ABC中，锐角A的对边与斜边的比，叫做/ A的正弦。
Cb
〃z A的对边 a
记作 sin A 即 P sin A =& .
斜边 c
(2) 在RtA ABC中，锐角A的邻边与斜边
的比叫做ZA的余弦。
记作c oAs,oAs = Z A的邻边b
(3) 在RtA ABC中，锐角A的对边与邻边
的比叫做zA的正切。
记作t a A 即比一 z A的邻边b
当锐角A确定后，这些比值都是固定值。
2. 特殊角30°、45°、60°的正弦值、余弦
值、正切值
cos
30
45
60
sin :
_2
tan:
如图/ C
90

30 Rt
设 BC = k,贝 V AB = 2k
c o30 AC BC
s ri0~AB 2k
3k
AB 2k
BC
t a30——
AC 3k
甫同股样的方法可求45°、60°角的三角函数值
3. 互为余角的正弦、余弦之间的关系：
由定义知：sinA= ， cosB=
c

AXl E

:.sinA= cosB
即 s i 二 c o 90 - A)
同理：cosA=s in (90° -A)
语言表达：任意锐角的正弦值等于它的余角的
余弦值；
任意锐角的余弦值等于它的余 角

的正弦值。
比如：si n60° =cos30 °
cos52 ° = sin38°
4. 同角的三角函数之间的关系:
s i2nA c o sA = 1
s iA1
t aA, ta n A =
cos Atan(90 - A)
5. 0°规律：
90°间正弦值、余弦值、正切值的变化
0 : : s
在0°
i A :1, 0 : c o As：：1
90°间的角：

正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）。
6.会用计算器求锐角的正弦值、余弦值、正切值。
典型例题】
例 1.已知△ ABC 中，AC = 7, BC = 24, AB =25,
求 sinA, cosA tanA , sinB, cosB tanB 分析:根据正弦、余弦、正切的定义知，应 首先判断么ABC是直角三角形。

解：IAC = 7, BC = 24, AB = 25
AC 2 BC 2 =7224 2 =625
AB -2 5 -625
由互余角的关系得:
BC
AB
24由三角函数定义得：sinA二一一
25
a AC cos A
A
AB 25
BC
tanA =24
AC 7s i B = cos—
25
24 cosB = sin A
25
7
已知 RtA ABC 中，/ C= 90
，sin A，求 cos A， tan A

13
分析：可用引进参数法，也可利用同角的正弦、

余弦关系求解。
法一：如图
设=5k, AB =13k
由勾股定理得：AC = 12k

「AC 12kcosA =-
AB 13k
12
13
BC 5k 5 t a 二
AC 12k12

i2Sin cAos
13
A = 1,
法二：解：
sd(nsn60A sin2 45°
cos45 ° )-sin20° - cos 20
12
又/A为锐角，cosAC) 0
△ 12cosA13
八s i At a A二a
cosA
5
3
12 12
13
变 式
已知在 RtA ABC 中，zi C= 90°
亦，周长为6伽，
求斜
边c的长
例3.计算:
(1) sin
30 j(si n牝

1 tan 45°
提示:
分析:
可引进参数法。
略
tan 60 cos30
解军:
20 °
2 2 2 2
(1)原式)
X (—22) (sin 20° cos2
2 -1
-2
*

冷
⑵原式二（于）2+（号）2 +1 + 1—_——
厂
3
、3X上
2
31
12
13 _2
7 "3
3.2」
例 4.已知锐角［满足-2cos2th3si n> -1=0求〉的值。
分析：把条件式看作关于sin a的一元二次方程，利用解方程求出sina,再确定a的值。
解牛：i皿 C0s2 : - 1
条件式子可化为2 — 2cos2M5 3sin二-3=0
即 2s i2 n . 3s :i n-3 =0
得(2s i n - . 3) (i sn 3) =0
/ 0 : :: s二 1, sin 3工 0
V sin60°
~2,〉为锐角
苏求适合条件的锐角:
⑴ 2 sin- = 1,贝 V '=
⑵ 2 cos，- 3 贝 U〉=
答案：(1) 30°
(2) 30°
(3)70°
(4)

30°
例 5.如图在 RtA ABC 中，/ C = 90°, BC =5,
AC = 6。

(1) 求 sinA, sinB 的值。
(2) 过点C作CD AB于D '求cos/ ACD的值。
分析：(1)利用正弦定义来解决。
CD
(2)求cos/ ACD，在RtA ACD中求CD较麻烦，但利用互余角的关系将AC
/ ACD转化为/ B则非常简便。
解： (1)在 RtA ABC 中，/ C = 90°, BC
=5, AC = 6
Tab 2 =ac 2 BC2
+ 6AB 52 F61
"BC 55 画
•
(2) Mb = 90°,:A+Z B= 90 又 CD
AB 于 D ,/ ACD + Z A = 90°・
61
ES二
AB
61
/ c ZA C D c o
B=Z ACD

B=Z ACD
6.
BC

t/ a30
AD
在 Rt △ ACD
在Rt △
ACD
中
AD = -. 3x
中，Z A = 30

如图在△ ABC 中，Z A = 30°, tanB , BC = 10,求 AB 的长。
分析：根据条件知：△ ABC不是直角三角形，应添加辅助线，构造直角三角形。
解：过C点作CD AB于D,设CD = x
CD
在 RtA BCD 中，tanB
BD
X
Od
2
D2
2
g
2
BD
II
3X
x= 1
AD = 3x =、3
BD = 3x = 3
AB = AD BD =3-3
【模拟试题】(答题时间：50分钟)
-、填空题：
1.求值：1、2
x sin 60x cos45
22
2.在 RtA ABC 中，/ C = 90°, a= 1, b= 2,贝 H cosA =。
3.
tan10° tan20° tan30° tan70°
tan80°
4. △ ABC 中，/ C = 90°,若 sinv 则 tanB
6.
-)2 -| tan 60
-sin30 |
<3ta n(80 ° -a)=1,贝=

7.在 Rt^ ABC 中，/ C = 90°, 3a「微则/
&已知等腰三角形ABC的腰长为4.3,底角为
30。，则底边上的高为 ，周长为

、选择题:
(f—cosB ) 2,
9.在么ABC
/B都是锐角，则/ C的度数是（）
A. 75° B. 90°C. 105°
D. 120°
10.当锐角A >45。时，sinA的值（
A.小于乎B.大于乎
C.小于宁D・大于于
11.已知 0°: 90°,sin—COS30。，则一=()
A. 30° B. 60° C. 45°D.
无法确定
12.下列结论中不正确的是（）
A.
sin 48 37*cos41 ° 20'
B.
RtA ABC
/ C= 90°,贝
U sin A cos2 1

D. RtA ABC 中，/ C = 90 AC = b,则
AB b
sin B
C. Rt △ ABC 中，/ C = 90 °, 则 tanB sinB 二 cosB13.如图CD是平面镜，光线从A点出发经
CD上点E反射后照射到B点，若入射角：贝
(入射角等于反射角)，AC CD , BD CD ,垂足为 C、D,且 AC = 3, BD = 6, CD = 11,
C.
A.
11
:::A . 45
. .
ii
14.如果/ A为锐角，
A. 0。
A 30
B.
30
C. 45。
D.
60
15.如图Rt △ ABC 中
/ ACB
9_
1
1
则（
:::A ::: °90
=90 于。
CD
AB
(
(
D, 若
)
AC = 4, BC = 3」sin/ACD =
B.;

Y (*_sin45° )2— |2sin6(°

-sin3C°
1sin60
sin 30 cos30
2ta

16. 计算：—2一
17. 如图 RtA ABC 中，/ C = 90°, b= 8, Z
A的平分线AD二呼。求Z B及a、c的值。
18. 如图在等腰△ ABC中，AB = AC ,若AB
=2BC，试求Z B的正弦值和正切1
，方程
19. Rt^ ABC 中，Z C = 90 °
程 cx2-2x c=也有两个相等的实根，求这个直角三角形的三边的长。
20. 如图在△ ABC中，AD是BC边上的高,tanB = cos Z DAC。

(1)求证：AC = BD。
⑵若sinC = 1|BC"2，求AD的长
13

【试题答案】
2.
2.5
"~5-
3. T
5.
6.
50°
7. 30°
-、填空题:
8.
2、3,12
12. C 9. C 10. B 11. B
［、选择题：
13. D 14. D 15. C
、解答题:
16.解：（1）
原式
「（2-；
)2-2% 3 一 2
1
」-23
2 2 2
-2 3
2X三
（2）原式=
V13 2

2G 弋 xF 2V
2
二仝仝3
424
又coLag佟二8二虫AD 16/32
3
:DAC = 30°
又AD平分/ BAC
:BAC = 60°,/ B= 30°
又6 = 8
••c—16，a&3
18.解：如图，过A点作ADBC于D
A
A AAD
AB= AC , AB = 2BC
设 -
入 BC =2a,贝 V BD =a, AB = 4a
在 Rt △ ABD 礼 ad = . ab2 - bd2
「~、
(4a)2 - a
15a

AD V15a J15
s i B —--4a
AB
BD a
19・解：方程2睥nAx 3si nA-1=0有两个相等
的实根
(—3s i A)—4(3s i A-1) =0
9sin2A - 12sin A 4 = 0
(3siA-2)= 0 2
s i A —
3
又方程cx2-2xy=。也有两个相等的实根
-2) 2-4c =0
c= 1
（负值舍去）
在捉ABC

A a=
.5
b = . 2c 一 a : 1
c — (彳 )2
20. ( 1)证明：在 RtA ABD
和 Rt △ ADC 中，

I tiB, cos/DAC=AAD BD
AC

t a B = co/ DAC
AD _

. • •
AD BD
AC
BD =
AC

(2)在 RtA ABC
中由sinc譬,设AD =
13

12k,贝 V AC = 13k
「CD = 5k
由（1）知，
BD = AC = 13k,又 BC = 12
二
13k+ 5k =12
AD = 8

2 2AC BC = AB
3 31
r—
2 2
17.解：在 RtA ADC 中,AC = 8, AD二罟
3