2025年高考数学压轴训练五.docx

2025 年高考数学压轴训练 5
一．选择题（共 10 小题）
1．（2024•南宫市校级模拟）设函数 f(x) =| x2 + ax + b | (a, b ∈ R) ．若对任意的 a ，b ∈ R ，总存在x0 ∈ [0 ，4] ， 使得 f(x0 )开m ，则实数 m 的取值范围是 ( )
A ． B ． (-∞ , 1] C ． (-∞ , 2] D ． (-∞ , 4]
2．（2024•北京）已知M = {(x ，y) | y = x + t(x2 - x) ，1 ●x ●2 ，0●t●1} 是平面直角坐标系中的点集．设 d 是 M 中两点间的距离的最大值， S 是M表示的图形的面积，则 ( )
A ． d = 3 ， S < 1 B ． d = 3 ， S > 1 C ． D ．
3．（2024•青羊区校级模拟）若存在 (x, y) 满足 ，且使得等式 3x + a(2y - 4ex)(lny -lnx) = 0 成 立，其中 e 为自然对数的底数，则实数 a 的取值范围是 ( )
A ． B ．
C ． (-∞ 0) D ．
4 ．（2024•宁波模拟）已知集合 P = {(x, y) | x4 + ax - 2024 = 0 且xy = 2024} ，若 P 中的点均在直线 y = 2024x 的同一侧，则实数 a 的取值范围为 ( )
A ． (-∞ , -2023) (2023 ， +∞) B ． (2023, +∞)
C ． (-∞ , -2024) (2024 ， +∞) D ． (2024, +∞)
5 ．（2024•莲湖区校级模拟）若 x ， y 满足约束条件则 z = -2x -y 的最小值为 ( )
A ．0 B ． -4 C ． -5 D ． -6
6．（2024•松江区二模）已知某个三角形的三边长为 a 、b 及c ，其中 a < b ．若 a ，b 是函数y = ax2 -bx + c 的两个零点，则 a 的取值范围是 ( )
A ． B ． C ． D ．
7 ．（2024•莲湖区校级模拟）设 x ， y 满足约束条件 则 的最大值为 ( )

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A ． B ．1 C ． D ．2
8 ．（2024•永寿县校级模拟） 已知实数 x ， y 满足约束条件 则 的最大值是 ( )
A ． B ． C ． D ．
9 ．（2023•武功县校级模拟） 已知实数 x ， y 满足线性约束条件 则 x2 + y2 的取值范围为 ( )
A ． [1 ， 20] B ． C ． D ． [10 ， 20]
10 ．（2023•河南模拟）记不等式组 的解集为D ，现有下面四个命题：

p1 : (x, y) ∈ D ， 2x - y + 8开0 ；

p2 : 3(x, y) ∈ D ， x - 2y + 4 > 0 ；

p3 : (x, y) ∈ D ， x + y + 3 > 0 ；

p4 : 3(x, y) ∈ D ， x + 3y - 3 .0 ． 其中真命题的个数是 ( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
二．填空题（共 10 小题）
11 ．（ 2024 • 日 照 一 模 ） 设 f(x) = x2 + ax + b(a, b ∈ R) 满 足 ： 对 任 意 x1 ∈ R ， 均 存 在 x2 ∈ R ， 使 得 f(x1 ) = f(x2 ) - 2x2 ，则实数 a 的取值范围是 ．
12．（2024•浙江一模）已知 a ，b ，c > 0 ，二次函数 f(x) = ax2 + bx + c 有零点，则 的最小值是 ．
13 ．（2024•荆州模拟）若存在正实数 x ， y ， z 满足 3y2 + 3z2 .10yz ，且 则 的最小值为
14 ．（2024•海淀区校级模拟）已知函数 f(x) =| x2 + ax + b | 在区间[0 ，4] 上的最大值为M ，当实数 a ，b 变 化时， M 最小值为 ．

2
15 ．（2024•新城区校级模拟） 已知实数 x ， y 满足 则 x - 2y 的最小值是 ．
16 ．（2024•五华区校级模拟）我们知道，二次函数的图象是抛物线．已知函数 则它的 焦点坐标为 ．
17 ．（2024•咸阳模拟）设 x ， y 满足约束条件 设 则 z 的取值范围为 ．
18 ．（2023•甘肃模拟）若实数 x ， y 满足约束条件 则 z = x + y 的最大值是 ．
19 ．（2023•涪城区校级模拟）若实数 x ， y 满足 则 x2 + y2 的取值范围是

20 ．（2023•江西模拟） 已知实数 x ， y 满足 则 的取值范围是
三．解答题（共 5 小题）
21 ．（2024•东兴区校级模拟） 已知 2x2 + y2 - 2xy - 2x -1 = 0 ．
（1）若 y > x > 1 ，求 y 的最大值，并求出此时 x 的值；
（2）若 x > 1 且 x > y ，求 2x - y 的最大值．
22 ．（2023•南阳模拟） 已知函数 f(x) = x2 + 2ax + 2 ．
（1）当 a = 1时，求函数 f(x) 在[-2 ， 3] 上的值域；
（2）当 a = -1 时，求函数f(x) 在[t ， t + 1] 上的最大值．
23 ．（ 2023 • 南 阳 模 拟 ） 已 知 集 合 A 是 函 数 y = lg(20 - 8x - x2 ) 的 定 义 域 ， 集 合 B 是 不 等 式 x2 - 2x +1 - a2 开0(a > 0) 的解集， p : x ∈ A ， q : x ∈ B ．
（1）若 A∩ B = ⑦ , 求实数 a 的取值范围；
（2）若 →p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
24 ．（2023•澳门模拟）设 x ， y 满足 ．

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（a）画出满足以上不等式组的区域．
设 求 z 的取值范围．
（c）设 t = x2 + y2 ，求 t 的最小值．
25 ．（2023•和平区校级一模）在① f （4） = —1 ， f （3） = 2 ， ②当 x = 2 时， f(x) 取得最大值 3 ， ③ f(x + 2) = f(2 — x) ， f(0)= —1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题： 已知函数 f(x) = —x2 — 2ax +b ，且 _______．
（1）求 f(x) 的解析式；
（2）若 f(x) 在[m ， n](m < n) 上的值域为[3m — 2 ， 3n — 2] ，求 m + n 的值．

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2025 年高考数学压轴训练 5
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1．（2024•南宫市校级模拟）设函数 f(x) =| x2 + ax + b | (a, b ∈ R) ．若对任意的 a ，b ∈ R ，总存在x0 ∈ [0 ，4] ， 使得 f(x0 )开m ，则实数 m 的取值范围是 ( )
A ． B ． (—∞ , 1] C ． (—∞ , 2] D ． (—∞ , 4]
【答案】 C
【考点】二次函数的性质与图象
【专题】函数的性质及应用；综合法；计算题；数学运算；转化思想
【分析】分情况讨论 a 不同取值时函数 g(x) = x2 + ax + b 在[0 ， 4] 上的范围，从而确定 f(x) 的最大值，将 对任意实数 a ， b ，总存在实数 x0 ∈ [0 ， 4] 使得不等式 f(x0 )开m 成立，转化为m.f(x)max 恒成立，即可解 决．
【解答】解：设 f(x) 的最大值为M （b），令 g(x) = x2 + ax + b ， x ∈ [0 ， 4] ， 若对任意的 a ， b ∈ R ，总存在 x0 ∈ [0 ， 4] ，使得 f(x0 )开m ，
则 m .M （b） min ． g(0) = b ， g （4） = 16 + 4a + b ， ．
（1）当△ = a2 — 4b .0 即 a2 .4b 时， M （b） = max{g(0) ， g （4） )} ， 若 即 a开— 4 ，则M = 16 + 4a +b开 若 即 a < —4 ，则M
（2）当△ = a2 — 4b > 0 ，即 a2 > 4b 时，
①当 ，即 a > 0 时，令b + 16 + 4a + b = 0 ，得b = —2a — 8 ，若b < —2a — 8 ， 则M （b） = —b > 2a + 8 > 8 ，若 b开— 2a — 8 ，则M （b） = 16 + 4a +b开8 + 2a > 8 ．
②当 — > 4 ，即 a < —8 时，令b + 16 + 4a + b = 0 ，得b = —2a — 8 ，
若b < —2a — 8 ，则M （b） = —16 — 4a —b > —16 — 4a + 2a + 8 = —2a — 8 > 8 ， 若b开— 2a — 8 ，则M （b） = b开— 2a — 8 > 8 ．
③当 即 —4.a.0 时，若16 + 4a +b .0 ，

5
若 一 b, 16 + 4a + b} ，
若 一 即 一 一 b开一
若 一 b < 16 + 4a + b ，即 一 2a 一 8 ， 则
④当 2 < 一 即 一8.a < 一4 时， 若b .0 ，则 一 b开 若b > 0 时 一 b, b}，
若 则 一 b开
若 a2 < 8b ，则 ． 综上所述， M （b） min = 2 ，
所以实数 m 的取值范围为 (一∞ , 2] ．
故选： C ．
【点评】本题考查函数的单调性，和存在性问题的转化，属于难题．
2．（2024•北京）已知M = {(x ，y) | y = x + t(x2 一 x) ，1 .x .2 ，0.t.1} 是平面直角坐标系中的点集．设 d 是 M 中两点间的距离的最大值， S 是M表示的图形的面积，则 ( )
A ． d = 3 ， S < 1 B ． d = 3 ， S > 1 C ． D ． 【答案】 C
【考点】简单线性规划
【专题】数学运算；数形结合法；数形结合；函数的性质及应用 【分析】根据已知条件，作出图象，结合图象即可得出答案．
【解答】解：集合{y | y = x + t(x2 一 x) ， 0 .t .1 ， 1.x.2} 表示的图形如下图阴影部分所示，

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由图象可知 故选： C ．
【点评】本题考查简单的线性规划问题，涉及了二次函数的图象，考查数形结合思想，属于中档题．
3．（2024•青羊区校级模拟）若存在 (x, y) 满足 ，且使得等式 3x a(2y - 4ex)(lny -lnx) = 0 成 立，其中 e 为自然对数的底数，则实数 a 的取值范围是 ( )
A ． B ．
C ． (-∞, 0) D ． 【考点】 7C ：简单线性规划
【专题】35：转化思想； 4J ：换元法； 4M ：构造法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应 用
【分析】画出不等式组表示的平面区域， 把 3x + a(2y - 4ex)(lny -lnx) = 0 化为
设 求出 t 的取值范围；
构造函数，利用导数求出函数的最小值， 建立不等式求实数 a 的取值范围．
【解答】解：画出不等式组 表示的平面区域， 如图所示；
A(1, 4) ， B(3, 3) ， C(4, 6) ；
3x + a(2y - 4ex)(lny -lnx) = 0 可化为

7

设 其中1 .t .4 ；
,
令 m = (t — 2e)lnt ， (1.t.4) ， 则 m ，

当 t > e 时， m > m （e） = 0 ，
当 0 < t < e 时， m < m （e） = 0 ， : m开m （e） = —e ，
开— 2e ，
解得 a < 0 或 a开 ；
又 a 值不可能为负值，
: 实数 a 的取值范围是 ． 故选： B ．

【点评】本题考查了线性规划以及函数与不等式的综合应用问题，是难题．
4 ．（2024•宁波模拟）已知集合 P = {(x, y) | x4 + ax — 2024 = 0 且xy = 2024} ，若 P 中的点均在直线 y = 2024x 的同一侧，则实数 a 的取值范围为 ( )
A ． (—∞ , —2023) (2023 ， +∞) B ． (2023, +∞)
C ． (—∞ , —2024) (2024 ， +∞) D ． (2024, +∞) 【答案】 A
【考点】简单线性规划

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【专题】整体思想；计算题；数学运算；综合法；函数的性质及应用
【分析】依题意可得 求出 y = 2024x 与 的交点坐标，依 题意只需 a >f （1）或 a 2024x 与 的交点坐标为 (1, 1) 和 (—1, —1) ，
又 所以 f 为奇函数， 因为 y = —x3 与 在 (0, +∞) 上单调递减，
所以 在 (0, +∞) 上单调递减，则 在 上单调递减， 依题意 y = a 与 的交点在直线 y = 2024x 的同侧，
只需 a > f （1）或 a < f (—1) ，即 a > 2023 或 a < —2023 ， 所以实数 a 的取值范围为 (—∞ , —2023) (2023 ， +∞) ．
故选： A ．
【点评】本题考查了函数单调性和参数的计算，属于中档题．
5 ．（2024•莲湖区校级模拟）若 x ， y 满足约束条件则 z = —2x —y 的最小值为 ( )
A ．0 B ． —4 C ． —5 D ． —6
【答案】 C
【考点】简单线性规划
【专题】数学运算；转化思想；不等式的解法及应用；综合法

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【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐 标代入目标函数即可得解．
【解答】解：如图所示，画出可行域，

联立 解得 即 A(2, 1) ， 由 z = —2x — y ，得 y = —2x — z ，
由图可知当直线 y = —2x — z 经过点 A(2, 1) 时， z 取得最小值，最小值为 —5 ． 故选： C ．
【点评】本题考查线性规划，考查学生的运算能力及分析能力，属于中档题．
6．（2024•松江区二模）已知某个三角形的三边长为 a 、b 及c ，其中 a < b ．若 a ，b 是函数y = ax2 —bx + c 的两个零点，则 a 的取值范围是 ( )
A ． ( , 1) B ． C ． D ． 【答案】 B
【考点】二次函数的性质与图象
【专题】函数思想；计算题；数学运算；函数的性质及应用；综合法
【分析】 由 a ， b 为函数 f(x) = ax2 —bx + c 的两个零点可得 ax2 — a(a +b)x + a2b = ax2 —bx + c ， 即可得
结合题意可得 ．
【解答】解： 由 a ， b 为函数 f(x) = ax2 —bx + c 的两个零点，故有 a(x — a)(x —b) = ax2 —bx + c ， 即 ax2 — a(a +b)x + a2b = ax2 —bx + c 恒成立，
故 a(a + b) = b ， a2b = c ，则 , c = a2b = a2 × = ， 由 a ， b ， c 为某三角形的三边长，且 a < b ，

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故1 - a > 0 ，且 则 ，因为b+ c > a 必然成立， 所以 即 解得
所以 ．
故选： B ．
【点评】本题主要考查函数的零点，属于中档题．
7 ．（2024•莲湖区校级模拟）设 x ， y 满足约束条件 则 的最大值为 ( )
A ． B ．1 C ． D ．2
【答案】 A
【考点】简单线性规划
【专题】不等式的解法及应用；数形结合法；数形结合；数学运算
【分析】首先画可行域，再根据目标函数的几何意义，利用数形结合，即可求解． 【解答】解：如图，

可行域 Ω 为直线 l1 : y = x + 1 ， l2 : y = 2x ， l3 : y = 0 所围成的区域，

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的值为 Ω 内一点与点 (-1, 1) 连线的斜率， 联立 得 x = 1 ， y = 2 ，
故该点取 l1 ， l2 的交点 (1, 2) 时斜率最大，故 z 的最大值为 ．
故选： A ．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
8 ．（2024•永寿县校级模拟） 已知实数 x ， y 满足约束条件开0, 则 的最大值是 ( )
A ． B ． C ． D ．
【答案】 D
【考点】简单线性规划
【专题】综合法；数学运算；不等式的解法及应用；转化思想
【分析】利用分式函数的性质，转化为直线的斜率，利用数形结合即可得到结论． 【解答】解： 由题意知，实数 x ， y 满足约束条件 ，
则可行域如图中阴影部分所示（包含边界），

目标函数的几何意义是定点 P(0, -2) 与可行域内的点连线所在直线的斜率， 由图知，当目标函数经过点 A 时， 目标函数取得最大值，
联立 解得 所以 ，
所以 的最大值为 ．
故选： D ．

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【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
9 ．（2023•武功县校级模拟） 已知实数 x ， y 满足线性约束条件 则 x2 + y2 的取值范围为 ( )
A ． [1 ， 20] B ． C ． D ． [10 ， 20]
【答案】 B
【考点】简单线性规划
【专题】转化思想；数学运算；数形结合法；不等式的解法及应用
【分析】画出可行域， 由 z = x2 + y2 的几何意义是到原点距离的平方，求出最值，得到取值范围．
【解答】解：画出可行域，如下阴影部分：

z = x2 + y2 的几何意义是 (x, y) 到原点距离的平方，

数形结合得到点 C(1, 0) 到原点的距离最小，故 x2 + y2 最小值为 1，
由于 2x - y = 0 与x + 2y -10 = 0 互相垂直，设垂足为 A ，故点 B 到原点的距离的平方最大， 令 x + 2y -10 = 0 中 x = 5 得 故 ，
将 代入 x2 + y2 中，可得 x2 + y2 的最大值为 ，
所以 x2 + y2 的取值范围为 ．
故选： B ．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于中档 题．
10 ．（2023•河南模拟）记不等式组 的解集为D ，现有下面四个命题：

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p1 : (x, y) ∈ D ， 2x - y + 8开0 ；

p2 : 3(x, y) ∈ D ， x - 2y + 4 > 0 ；

p3 : (x, y) ∈ D ， x + y + 3 > 0 ；

p4 : 3(x, y) ∈ D ， x + 3y - 3 .0 ． 其中真命题的个数是 ( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】 B
【考点】命题的真假判断与应用；简单线性规划；其他不等式的解法 【专题】数形结合法；数学运算；转化思想；不等式的解法及应用
【分析】依题意，作出线性规划图，对 P1 、 P2 、 P3 、 P4 四个选项逐一判断分析即可．

【解答】解： :不等式组 的解集为D ，作出平面区域：

由图可知，在阴影区域 ABC 中，
对于 P1 : (x, y) ∈ D ， 2x - y + 8开0 ，正确；

p2 : 3(x, y) ∈ D ， x - 2y + 4 > 0 ，错误；

p3 : (x, y) ∈ D ， x + y + 3 > 0 ， (-3, 0) 代入不成立，错误；

p4 : 3(x, y) ∈ D ， x + 3y - 3 .0 ，正确．
故选： B ．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，作出平面区域是关键，考查分析与作图能力，属于中档题．

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二．填空题（共 10 小题）
11 ．（ 2024 • 日 照 一 模 ） 设 f(x) = x2 + ax + b(a, b ∈ R) 满 足 ： 对 任 意 x1 ∈ R ， 均 存 在 x2 ∈ R ， 使 得 f(x1 ) = f(x2 ) — 2x2 ，则实数 a 的取值范围是 (—∞ , 1] ．
【答案】 (—∞ , 1] ．
【考点】二次函数的性质与图象
【专题】数学运算；计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用
【分析】令 h(x) = f(x) — 2x ，由题意 h(x)min .f(x)min ，利用二次函数性质求得最值列不等式求解即可． 【解答】解：令 h(x) = f(x) — 2x = x2 + (a — 2)x + b ．
因为对任意 x1 ∈ R ，均存在 x2 ∈ R ，使得f(x1 ) = f(x2 ) — 2x2 ，所以 f(x) 的值域是 h(x) 值域的子集，
所以 min .fmin ，即 解得 a .1 ，即 a 的取值范围是 (—∞ , 1] ．
故答案为： (—∞ , 1] ．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，属于中档题．
12 ．（2024•浙江一模） 已知 a ， b ， c > 0 ，二次函数 f(x) = ax2 + bx + c 有零点，则 的最小值是
.
.
【考点】基本不等式及其应用；二次函数的性质与图象
【专题】数形结合法；数学运算；函数的性质及应用；方程思想
利用 即可求解．
【解答】解：因 a ， b ， c > 0 ，二次函数 f(x) = ax2 + bx + c 有零点， 所以△ = b2 — 4ac开0 ．
设b = ma ， c = na ，其中 m > 0 ， n > 0 ，则 m2 开4n ，即 则：

令 由对数函数性质得，函数 f(x) 在 上单调递增，所以函数 f(x) 有最小

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即 + + 开 当且仅当
取等，即 时取等．
故答案为： ．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于难题．
13 ．（2024•荆州模拟）若存在正实数 x ， y ， z 满足 3y2 + 3z2 .10yz ，且 则 的最小值为
2
e
【考点】 7C ：简单线性规划
【专题】49：综合法；35：转化思想；52：导数的概念及应用
由 → 又 令 则
, , f(t) = et —lnt ，利用函数求导求最值．
【解答】解： 正实数x ， y ， z 满足 3y2 + 3z2 .10yz ，

令 ，

f(t) = et — lnt ，
则 ，
可得 在 递减，在 递增，
即 ， 的最小值为e2 ， 故答案为： e2 ．
【点评】本题考查了利用函数的思想求范围问题；关键是将所求转化为已知自变量范围的函数解析式，利 用求导得到最值，属于难题．

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14 ．（2024•海淀区校级模拟）已知函数 f(x) =| x2 + ax + b | 在区间[0 ，4] 上的最大值为M ，当实数 a ，b 变 化时， M 最小值为 2 ．
【考点】二次函数的性质与图象；函数的最值
【专题】计算题；转化思想；数学运算；综合法；函数的性质及应用
【 分 析 】 根 据 题 意 ， 可 得 f(x) =| x2 — 4x — [—(a + 4)x —b] | ， 则 M 即 为 函 数 g(x) = x2 — 4x 与 函 数 h(x)= —(a + 4)x —b 图象上点的纵坐标差的绝对值的最大值，因此作出图象，根据图象观察即可得出答案． 【解答】解： f(x) =| x2 — 4x + (a + 4)x + b |=| x2 — 4x — [—(a + 4)x —b] | ，函数可理解为：
当横坐标相同时，函数 g(x) = x2 — 4x ， x ∈ [0 ， 4] 与函数 h(x) = —(a + 4)x —b ， x ∈ [0 ， 4] 图象上点的纵向 距离，
则M 即为函数 g(x) = x2 — 4x 与函数 h(x)= —(a + 4)x —b 图象上点的纵坐标差的绝对值的最大值，
由图象可知：当函数 h(x) 的图象刚好为 y = —2 时， M 取得最小值为 2 ，此时 —(a + 4) = 0 ，且 —b = —2 ，即 a = —4 ， b = 2 ．

故答案为：2．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数的最值及其几何意义等知识，属于中档题．
15 ．（2024•新城区校级模拟） 已知实数 x ， y 满足 则 x — 2y 的最小值是 —8 ． 【考点】简单线性规划
【专题】数学运算；转化思想；不等式的解法及应用；数形结合法 【分析】作出可行域，利用平移法即可求出目标函数的最小值．
【解答】解：画出可行域

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令 z = x — 2y ，则 ，
当直线 z = x — 2y 经过 A(—2, 3) 时，直线在y 轴上的截距最大，此时 z 取得最小值，故最小值为：—2 — 2× 3 = —8 ． 故答案为： —8 ．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于中档 题．
16 ．（2024•五华区校级模拟）我们知道，二次函数的图象是抛物线．已知函数 则它的 焦点坐标为
.
【考点】二次函数的性质与图象
【专题】综合法；函数的性质及应用；数学运算；计算题；函数思想
函数图象向左平移 个单位得 y = —2x2 的图象，求出 的 焦点，即可得结果．
解 将函数图象向左平移 个单位， 得到 y = —2x2 的图象，即 它表示的曲线是以为焦点的抛物线，
则原函数图象的焦点坐标为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查二次函数图像的平移，属于中档题．
17 ．（2024•咸阳模拟）设 x ， y 满足约束条件 设 则 z 的取值范围为 ( ，
2) ．

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【答案】 ， 2) ．
【考点】简单线性规划
【专题】数学运算；不等式；方程思想；计算题；转化思想；数形结合；综合法
【 分 析 】 根 据 题 意 ， 分 析 可 得 设 作 出 不 等 式 组 对应的平面区域，分析 t 的几何意义，并求出 t 的取值范围，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，作出不等式组 对应的平面区域， 为图中ΔABC 的及其内部，但不包含边 AB ，其中 A(0, 1) ， B(1, 0) ，

设 则 ，其几何意义为平面区域内任意一点与点 (-1, -2) 连线的斜率， 设M (-1, -2) ，

则 1 < t < 3 ，则有 ，
又由 故 即 z 的取值范围为 ．
故答案为 ．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及目标函数的几何意义是解决本题的关键，属于 中档题．

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18 ．（2023•甘肃模拟）若实数 x ， y 满足约束条件 则 z = x + y 的最大值是 4 ． 【答案】4．
【考点】简单线性规划
【专题】综合法；不等式的解法及应用；数学运算；数形结合
【分析】先根据约束条件件 画出可行域，再转化目标函数，把求目标函数的最值问题转化成 求截距的最值问题，找到最优解代入求值即可．
【解答】解： 由约束条件，画出可行域如图，
目标函数 z = x + y 可化为： y = -x + z ，得到一簇斜率为 -1 ，截距为 z 的平行线，
要求 z 的最大值，须满足截距最大，
: 当目标函数过点 A 或 C 时截距最大，
由 可得 C(1, 3) ，

由 可得 ，
: z 的最大值为 4．
故答案为：4．

【点评】本题考查线性规划，要求可行域要画准确，还需特别注意目标函数的斜率与边界直线的斜率的大 小关系，即要注意目标函数与边界直线的倾斜程度．属简单题．

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19 ．（2023•涪城区校级模拟）若实数 x ， y 满足 则 x2 + y2 的取值范围是 【考点】简单线性规划
【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；不等式
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．
解：实数 x ， y 满足 的可行域如图的阴影部分：

x2 + y2 的几何意义是可行域内的点与坐标原点的连线的距离的平方， 由图形可知最小值为 OB 的平方，最大值为 OA 的平方，

可得 ．
故答案为 ．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
20 ．（2023•江西模拟） 已知实数 x ， y 满足 则 的取值范围是 [ , ]
.
【考点】简单线性规划
【专题】不等式的解法及应用；数学运算；转化思想；数形结合法

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【分析】 由约束条件作出可行域，求出 的范围，再由 求解． 【解答】解： 由约束条件直线可行域如图：

联立 解得 A(1, 1) ， 联立 解得 ，
3] ．

的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
三．解答题（共 5 小题）
21 ．（2024•东兴区校级模拟） 已知 2x2 + y2 - 2xy - 2x -1 = 0 ．
（1）若 y > x > 1 ，求 y 的最大值，并求出此时 x 的值；
（2）若 x > 1且 x > y ，求 2x - y 的最大值． 【答案】（1） y 的最大值为 3 ，此时x = 2 ； （2）3．
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的根的分布与系数的关系；运用基本不等式求最值 【专题】不等式；数学运算转化思想；逻辑推理；综合法
设 ，则x = ky ，代入 2x2 + y2 - 2xy - 2x -1 = 0 中，得 2y2k2 - (2y2 + 2y)k + y2 -1 = 0 ， 设 f(k) = 2y2k2 - (2y2 + 2y)k + y2 -1 ，根据一元二次方程根的分布得到不等式，求出1 < y .3 ，进而可得答

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案；
（ 2 ） 设 2x - y = t ， 由 于 x > 1 ， x > y ， 故 t = x + (x -y) > 1 ， 将 2x - t = y 代 入 等 式 中 得 2x2 - (2t + 2)x + t2 -1 = 0 ，根据根的判别式得到1< t .3 ，验证当 t = 3 时满足要求，从而得到最大值．
解： 设 则 x = ky ，
代入 2x2 + y2 - 2xy - 2x -1 = 0 ，得 (2k2 +1)y2 - 2ky2 - 2ky -1 = 0 ，即 2y2k2 - (2y2 + 2y)k + y2 -1 = 0 ， 令 f(k) = 2y2k2 - (2y2 + 2y)k + y2 -1 ，开口向上，则 f(0) = y2 -1> 0 ，
要想 f(k) = 2y2k2 - (2y2 + 2y)k + y2