19-20高数AB期末试卷及答案.docx

高等数学19-20期末考试卷
课程名称
高等数学
考试学期 0 5 - 0 6 -2 得分
适用专业选学A、B的各专业考试形式
闭卷 考试时间长度150分钟

.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)
x2 sint2dt
1. lim
x 0 x,、 1 x2 , x
设 f (x)
ex , x
sinx
dx
x2 cosx

X3
2•曲线y 亦7的斜渐近线方程是
3 .设 y y(x)是
程ylny lnx所确定的
隐函数
dydx
[0,]
上连续，且f(x) sinx
f(x)dx
0

5.
6.
f (x)

7.
曲线y lnx相应于1 x 3的一段弧长可用积分

示；
8.已知y1 e x与* e2x分别是微分方程y ay by 0的两个特解，则常数
a ,常数b ；
9 . f (x ) 0是曲线y f (x)以点(x , f(x ))为拐点的0
条件。
.计算下列各题（本题共4小题，每小题7分，满分28分）
1. 设 f (x)xtsi dt,求 f (x)
0
2. * 1 dx第 2
e2x 4
3. xt'sinx sinxdx
4.
1 xj2x2 2x 1

0）,试确定常数a、b
三. （本题满分9分）设有抛物线：y a bx2 （a0,b的值，使得（1）与直线y x 1相切；（2）与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积最大。
四. （本题共2小题，满分14分）3页
1. （本题满分6分）求微分方程2x yex2 1 dx e、2dy 0的通解。
9
2. (本题满分8分)求微分万程y2y x e2x满足初始条件y(0) 2, y (0)彳
的特解。
五. (本题满分
第4页
试证：(1)设u e ,方程xlnx u在x e时存在唯一的实根x(u);
(2)当u 时，土是无穷小量，且是与? 等价的无穷小量。
六. (本题满分 6 分)证明不等式：lgim 1 1 1 …1 Igim,
3 5 2n 1
其中n是大于1的正整数。
高等数学05-06-2 (A、B )期末试卷(A、B )参考答案及评分
标准 06。1。19
一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)
1(3).上；2(1). ix 1 ； 3(4).; 4(6). sinx -^ ； 5.e 1 ；
3 ；2； x(1 lny) ；1；3 ；
6(8). 0； 7(2).3S '2 dx ； 8(9).1, 2； 9(7).非充分非必要。
.计算下列各题（本题共4小题，每小题7分，满分28分
1.令 X2 t2
u, f(x) — x2sin/Udu,
2 o
(3 分)f (x) xsiqX (4 分)
2.
ex 1 1
dx
e2x 4
—^― dx
e2x 4
-
e2x
-dx
4
1 ex 1 1
— arcta『 d4e 2x
2 2 8 1 4e 2x
1 , ex 1 一 一 ，
(2 分+2 分)_arcta『-In 1 4e 2x
2 2 8
C (3 分)
3(4). x dx 万 |cosx| sinxdx (3 分) 2 cosxsinxdx (2
分)
5 (2 分)
Li
* 1 dx 1 dt 、
4⑴令x t，1 ^x=m o'TT^』3分)
dt
0 \,：1 (t 1)2
ln t 1
1
0
ln(1 ⑰(4 分)
（本题满分 9
分）设笔,*）为切点
y (x ) 2bx

1,x
0
1
—,a
2b
bx2
0
xo 1，

a -1 1 (3 分)V (a) 2 V： x (a bx2)dx —^2 2 a 2 (1 a) (2 分)
4bo2b
222
令 V (a) 2 a (2 3a) 0, a 3,( 2 分)当 0 a 3 时，V (a) 0,当 a 3
2 3
时，V (a) 0 , a3是唯一的极大值点，因而是最大值点，b4。(2分)
四.（本题共2小题，满分14分）
1.(本题满分 6 分)y 2xy 2xe x2(1 分)，y Ce x2x2e x2(2 分+3 分)
2. （本题满分8分）y C C e2x（2分）,解y 2yx得一特解y*
x(x 1)
^，
解y 2y
e2x 得一特解 y* 1 xe2x (4 分)，y
2 2
C e2x
2
x(x 1)
-4-
；xe2x（1 分），
- 一i

,、，、9119
由 y(0)2,y(0)—得CC 2, 2C ---,CC 1,
412242412
,1x (x 1)
1 - x e2x 1 (1 分)
24
0, f(u) u Inu u 0
五.(本题满分 7 分)(1)设 f(x) xlnx u , f(e) e u

分）
得：
f (x)
(2)
x(i)
lim
u
1 lnx 0, f （x）严格单增，所以方程xlnx
u存在唯一实根x（u）。（ 3
x(u) u, 0 —I—x(j)
u lnu lnlnulnu' lnu
& A 1 (2 分)x (u) lnu
lnx (u)
lnu
——0,u
lim-^ 0 (2 分)u x(u)
1 ux(j) lnu
lnx (u)lnu
lnu
lnu
1,
…lnu lnlnu 4
lim 1
ulnu
六.（本题满分6分）设k为正整数,
三边积分得上
k 1 1 dxk 2x 1
1?2k 1
2x 1 2k 1
2k 1
,（2分）左边关于k 1,2,...,n 1相加
2n 1
n-^dx1 2x 1
lnjk!，右边关于k 1,2,..,n相加得:

2n
1 1 dx2x 1
ln（2n 1 , （3 分）所以
ln疽 2n 1
_±_2n 1
ln^2n 1 （1 分）