1、
第五章知识点回顾
一、本章知识
1. 本章知识网络结构
基本应用
•平面两点间距离
2. 向量的概念
(1) 向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法AB；字母表示：a；
坐标表示法 a=xi+yj=(x, y ).
(3) 向量的长度：即向量的大小，记作I a | .
(4) 特殊的向量：零向量a=0<^> I a | =0.单位向量气为单位向量o I气| =1.
(5) 相等的向量：大小相等，方向相同(X], y) = ( v )
[x = X
。L=£
(6) 相反向量：a=-b<^>b=-a<^> a+b=0
(7) 平行向量(共线向
2、量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a〃b.平行向量也称为共线向量.3.向量的运算
运算类
几何方法
坐标方法
运算性质
型
向量的
加法
1. 平行四边形法则
2. 三角形法则
a + b = (x + x , y + y )
1212
a + b = b + a
(a + b) + c = a + (b + c)
AB + BC = AC
向量的
减法
三角形法则
a - b = (x - x , y - y )
1212
a — b = a + (—b)
AB =— BA，OB - OA = AB
数乘向
量
1.
3、是一个向量，满
足：..
I Xa 1=1 人 II a I
2M〉0 时，Fa 同向；
X <0 时，Xa与a 异向；
X =0 时，Xa = 0.
X a = (X x, X y )
X ( |lx a) = (Xr ) a(X + r )a = X a + r aX (a + b) = X a + Xba // b o a = Xb
向
量
的
数
量
积
a •力是一个数
1. a = 0或b = 0 时，
a • b = 0 .
2. a丰0且b丰0时，
a b =I a II b I cos(a,b)
a•b=xx +yy
1 21 2
a
4、 • b = b • a
(Xa) • b = a • (Xb) = X(a • b)(a + b) • c = a • c + b • c
a2 =I a I2 艮即aI=] x2 + y2
I a • b Ia • b = 0 —
5、 xx +y y =0.1 21 2
(4) 线段的定比分点公式
设点P分有向线段商所成的比为入，即方=入亦，则1 212
OP =+工湃(线段的定比分点的向量公式)
1+入11+入2
X =亍^，(线段定比分点的坐标公式)
<
y = A^.
〔1 +入
当入=1时，得中点公式：
一 =1 (嘉 + OP)或［ x + x
OP - OP1 OP2I X = 1 22，
、^ = ^1^ .
(5) 平移公式
设点P(x, y)按向量a=(h, k)平移后得到点P (x',y'),
贝U = OP +a 或［x' = x + h,
OP' OPI
y' =
6、 y + k.
向量
一、平面向量的加法和乘积1、向量加法的交换律：a + b = b + a
2、向量加法的结合律：J + b） + c = a + （b + c）
3、向量乘积的结合律：人（四）=（人驴
4、向量乘积的第一分配律：（人+ ^）a = Xa + pa
5、向量乘积的第二分配律：人（a + b） = Ma +部
二、平面向量的基本定理
如果e、e是同一平面内的两个不是共线的向量，那么对于这一平面12
内的任一a，有且只有一对实数人、人，使得a = X e +"。
12112 2
（1）我们把不是共线的e、e叫做表示这一平面内所有向量的一组基
12
底；
7、2）基底不是唯一的，关键是不是共线;
（3）由定理可以将平面内任一 a在给出基底e、e的条件下进行分解;
12
（4）基底给定时，分解形式是唯一的，人、人是被a、e、e唯一确
1212
定的数量。
三、平面向量的直角坐标运算
1、 已矢 a = (x , j )
，b = J j2)
则 a + b = (x + x , j + j )，
1212
a - b = (x - x , j - j )，
a - b = (xx , j j )。
12 12
2、 已矢 A(x , j )，B(x , j )
1 1 2 2
1212
则 AB = OB - OA = (x , j ) - (x , j ) = (x - x , j - j )。
22112121
3、已知a = (x , j )和实数人，则人a = X(x , j ) = (Xx ,人j )。
111111
四、两平面向量平行和垂直的充要条件
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