两个重要极限PPT幻灯片课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四讲 两个重要极限,1,两个重要的极限,1-4,2,预备知识,1.,有关三角函数的知识,2.,有关对数函数的知识,以,e,为底的指数函数,y,=e,x,的反函数,y,=log,e,x,，叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简记为,y,=ln,x,.,数,e,是一个无理数，它的前八位数是：,e=2.718 281 8,3,3.,有关指数运算的知识,4.,无穷小量,定义,在某个变化过程中，以,0,为极限的变量称为在这个变化过程中的,无穷小量,，常用字母,性质,无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量,.,4,5.,极限的运算法则,5,X 1 0.5 0.1 0.01 0.001 .,0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.9999998,X,1,0.5,0.1,0.01,0.001 .,0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.9999998,第一个重要极限,6,O,x,B,A,C,D,证,7,解,这个结果可以作为公式使用,例,1,求,8,例,2,注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：,9,练习,1.,求下列极限,:,10,11,例,3,解,例,4,解,12,思考题,13,练习,3,：下列等式正确的是（）,练习,4,：下列等式,不,正确的是,（14,练习,5.,下列极限计算正确的是（）,练习,6.,已知,当（）时，,为无穷小量,.,15,，当,时，,为无穷小量,练习,7.,已知,练习,8.,练习,9.,16,X,-10 -100 -1000 -10000 -100000 ,2.868 2.732 2.720 2.7183 2.71828,X,10 100 1000 10000 100000 ,2.594 2.705 2.717 2.718 2.71827,第二个重要极限,17,18,19,解,因为,所以，有,例,1,20,例,2,解,方法一,令,u,=,-,x,，,因为,x,0,时,u,0,，,所以,21,方法二,掌握熟练后可不设新变量,22,例,3,解,23,练习,1.,解,24,练习,2.,解,25,练习,3.,解,26,两个重要极限,:,小结,27,练 习 题,28,29,思考题,解,因为,所以令,u,=,x,-,3,，,当,x,时,u,，,因此,30,第一章 作业,2,作业,31,附录,两个重要极限的证明,32,O,x,R,A,B,C,证,AOB,面积,扇形,AOB,面积,AOC,面积,即,例,两个重要极限的证明,33,因为,所以再次运用定理,6,即可得,34,重要极限,1,其中的两个等号只在,x,=0,时成立,.,证,设圆心角 过点,A,作圆的切线与,OB,的延长线交于点,C,，又作,则,sin,x,=,BD,，,tan,x=AC,，,35,36,这就证明了不等式,(7).,从而有,37,38,重要极限,2,证,39,40,这是重要极限,2,常用的另一种形式,.,41,分析：此是一个和式的极限，显然第一项及第二项函数中分子、分母的极限均存在且分式函数中分母的极限不等于零，因此可以直接利用极限的运算法则求解。,极限综合练习题,(,一,),42,43,例,3,求下列极限：,44,解：当,x,从,0,的左侧趋于,0,时，,当,x,从,0,的右侧趋于,0,时,45,例,5,求下列极限,分析,：,本例中均是求分式的极限问题，且在各自的极限过程中，分子、分母的 极限均为零，不能直接用极限商的运算法则。求解此类极限的关键是找出分子、分母中共同的致零因式，把它们约去后再求解。,寻找致零因式常用的方法为：,若是有理分式的极限，则需把分子分母、分别分解因式（一般采用：“十字相乘法”、公式法、或提取公因式法）；,若是无理分式的极限，则需要把分子、分母有理化。,46,解：（,1,）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求极限。,47,求解。又当,x0,时，,ax0,，,bx0,，于是有,48,分析：,当,x0,时，分子，分母的极限均为,0,，且分子是一个无理函数，分母是正弦函数，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘以 ，然后看是否可利用第,1,个重要极限。,49,50,解法,2,：,51,分析,：,当,x0,时，分式中分子分母的极限均为,0,，不能直接使用极限的运算法则，但前面所介绍“分解因式”、“有理化”的方法在此又不适用。能否利用第,1,个重要极限呢？这就需要首先利用三角恒等式对函数进行适当的变形。,52,解：因当,x,时，,sinx,的极限不存在，故不能用极限的运算法则求解，考虑到,53,54,解,1.,求极限,:,极限综合练习题,(,二,),55,解,:,利用第一重要极限和函数的连续性计算，即,2.,求下列极限：,56,解,:,对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即,3.,求下列极限：,57,分析,：,此极限属于时有理分式的极限问题，且,m=n,，可直接利用上述结论得出结果，也可用分子、分母同除以,x,15,来计算。,解：分子分母同除以,x,15,，有,58,=2 2+1=5,解,5.,求,59,解,6.,求极限,60,解：容易算出分式分子的最高次项是 ，分式分母的最高次项是 ，所以,7.,求极限,61,8,.,求极限,62,9.,设函数,问：（,1,）当,a,为何值时，,f(x),在,x=0,右连续；,（,2,）,a,b,为何值时，,f(x),在,x=0,处有极限存在；,（,3,）当,a,b,为何值时，,f(x),在,x=0,处连续。,处右连续。,在,时，,。故当,，从而,，,，又,右连续，须有,在,要使,解：,0,),(,1,1,sin,0,lim,),0,(,),0,(,),(,0,lim,0,),(,),1,(,=,=,=,=,=,=,=,+,+,x,x,f,a,a,a,x,x,x,a,f,f,x,f,x,x,x,f,63,根据,f(x)x=0,处极限存在的充分必要条件：,即,a=1,故当,a=b=1,时，,f(x),在,x=0,处连续,64,解,:,利用第二重要极限,计算，即,10.,求下列极限,65,