理学院微积分B第二学期月考试卷6及答案.docx

交通大学
2012-2013学年第二学期《微积分B》第一次月考试卷
学院 专业
班级

学号姓名
题号
一

四
五
六
七
八
九
十
总分
得分

阅卷人

请注意：本卷共十道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷!

一、选择题(每小题3分，满分15分)
sinxy y 0
1. f x,yy 1X2，则函数在 0, 0 点(A ).
(A)连续 (B)极限不存在
(C )极限存在但不连续 (D )无定义

2. 有且仅有一个间断点的函数是(B ).
..y
(A ) — (B ) e x ln X2
x
y2
X
(C )——
x y
(D
)arctarxy
3.二元函数f(x,y)在点x0,y0
处两个偏导数f； x0，y0
fy' x0，y0 存在是 f X'y

在该点连续的(D ).
(A )充分条件而非必要条件
(B )必要条件而非充分条件

(C )充分必要条件
(D )既非充分又非必要条件

1, f' x, 0 x,则
y
f x,y 为(C ).
2 f
4.设函数z f x,y ,有一 2且f x, 0y2
(A ) 1 x2y y2(B )1 x2y y2(C )1 xy y2(D)1 xy y2
5.记 A f" x ,y ,Bf" x ,y ,Cf" x ,y ，那么当 f x, y 的驻点 x ,y
xx 00xy 00yy 0000
满足(D )时，f x,y在该点取极大值.
(A ) B2 AC 0, A 0 (B ) B2 AC 0, A 0
(C ) B2 AC 0, A 0 (D ) B2 AC 0, A 0
、填空题（每小题3分，满分15分）
1.若曲面：F x'y'z0±Q x0'y0'z0，点的法线经过曲面外一点P a’b'C ,则
八ax by c z
Q x ,y ,z 点必须满足七1.
000F' F' F'
xyz
2 .函数
U lnx y z /* ' z2在P 1,11处沿手'马手
方向的方向导数最大，其最大值为
<30
7T'

1
z — x2 y2 ,-, 一
3. 曲线4在点2, 4, 5处的切线与x轴的夹角为习.
y 4—
4. 设f x, y,zexyz2，其中z z x, y是由x y z xyz 0确定的函数，则
f' 2,1 11.
x
5. 已知 axy3 y2cosxdx 1 bysinx 3x2 y2 dy为某一函数 f x, y 的全微分,则a ,b 一2.
三、（9分）
设 f x,y
:1
xy si^^^^=, x2 y2
、:'x2 y2
0,
x2 y2
0
，求证:
0
(1) f' x,y
x
,f' x,y在0, 0点不连续;y
⑵ f x,y
在0, 0点可微。
证明：(1)当 x2 y2 0 时，f' x,yysin」1
x2 y2
x2
x2y
1
— cos
3
y2 2
X2
，而y2
f 0 0 dfx,0
x
dx
0.沿着y
x f' x, y xsin 一
,x ,yV2|x
x31
一cos —,x|3V2|x
它趋于
0, 0的极限不存在，所以
f' x,y 在
x
0, 0点不连续;
由对称性，当x2
y2
0 时，f' x, y
y
1
xsin——
Jx2 y2
y2x
3
x2y2 2
1cos—
一,而
x2y2
f' 0,
y
df 0,y
dy
0. f' x,y 在
y
0, 0点也不连续;
x, y 0 xysin~FJ==
侦'x2 y2
xysi—
x2y2
而lim——,气
x 0Jx2 y2
y 0叫
limrcos sin sin1
r 0r
。，所以f x,y在0, 0点可微。
第3页共8页

四、（8分）
1、设u f x, y, zx3y2z2，其中
z x,y为由方程x3
y3 z3 3xyz 0所确定
,,,u
的函数，求——
x
2、设u
x
—
z，求 du
.

y
1,1,1
1、解：
u
3x2y2z2
z
—
2x3y2z一

x

x
得3x2
3z2 -
-3yzx
3xy—z 0x

1
,
,
由 x3 y3 z3 3xyz
z
所以一
x
yz x2
Z2
xy
0,
u
所以一
x
3x2y2Z2
yz x2x3y2z
z2 xy
… u
2.解：——x
zy2
z2
u
1;-
u
1;
u
x
1,1,1
—y
1,1,1
z

zy
y
y
1,1,1
所以
0；于是du I
1,1,1
第4页共8页
dx
dy.

五、（9分）
设z f xy,三 g』，其中f具有连续的二阶偏导数，g具有连续的二阶导数，求y x
2Z
x y
解：
z £ 1 £ y „-yf' - f' — g',
x
1 y 2
x2
2z

x

1
1c
x c
1
y
—
f' y
xf"

f"
—f'
-xf"
——f"
—g'
—g"
x y
1
11
y2
12
y2 2
y 21
y2 22
x2
x3

x
y

1
1

xyf"
—f"
g"
f'
——f'
—g'.

11
y3 22
x3

1
y2 2
x2

六、（8分）
设z z x, y是由方程z y x xez y x
。所确定的二元函数，求dz.

解：d z y x xez y x
dz dy dx ez y xdx xez y x dz dy dx 0,

所以dz
ez y x
1 xez y x
dx dy.

第5页共8页
若u :
x,y的二阶偏导数存在且u
0,证明：u x, y
f x g y的充分必要条件是
2U
u u

x y
.
x y

证明：
必要性。若u x,y f x
:g y ,

u
u £
一2u
2u u u
则一
f' x g y ,一 f x
g' y , f' x
g' y，所以u .
x
y
x y
x y x y

u

2uu u
—
xu u

充分性。若U.则
u
0.

x y x y
yx y

u

u
—
xu u

u

Inux
yx y

进而-
x -
yy
0.

y x y u
u2

Inu,

所以-
——x , liux
x
y ,u f x g
y .
七、（9分）
u

八、（9分）
在椭球面：X2 2y2 Z2 1上求一点，使
在该点的切平面平行于平面

:x y 2z 0.

解： 上一点x,y,z处的法向量为2x, 4y, 2z
故所求点应满足2X号籍，代
-L

入曲面方程求得点为
、雄—字 2 7 227T'+才’~1F

九、（9分）
cx az, cy bz
z , z
0确定z z x,y ,证明：a— b— c,并说明z z x, y为x y
柱面。
zz cz c '
证明：’c a—b ‘一 0,所以一 L
1 x 2 xx a ' b '
12
a '-z'c b-z0,所以一z c2.于是aWb-zc。
1 x2 xya ' b'x y
12
z z x,y的法向量处处与a,b,c垂直，故z z x, y为柱面。
十、（9分）
z X2 y2
求曲线 1 上到坐标面xOy距离最近的点。
y -
X

解：令 F x, y,z,,
Z2X2y2z —
X

2 x — 0,
:X2
F
—2 y 0,
y
F一一
解——2z 0,得点 1,1 2, 1, 1, 2。
z
F
一 X2 y2 z 0,
y 0,