2025届江苏省连云港市高三11月期中调研考-数学试卷（含答案）.docx

-

高三数学参考答案 202411
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
1
.A 2.B 3.A 4.C 5.B 6.D 7.C
8.C
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9
.ACD
10.AB
11.BCD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
2
1
2. {x | 4≤x≤2}（或[-4,2]）
13.
14.0
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。
15.解：(1)在△ABC 中，由正弦定理得sin B = 2sinC
，………………………………3 分
3
3
由 sin(π - C) =
cos B ，所以 sinC =
cosB ，得 tan B = 3 ，……………………5 分
2
2
p
因为 B 为三角形内角，所以 B = .……………………………………………………6 分
3
1
+ 13
(2) 法 1：由余弦定理得a =
, ……………………………………………………8 分
2
7
+ 13
所以 a + b + c =
. ………………………………………………………………10 分
a + b + c
2
a
b
c
4
=
=
=
=
正弦定理得
，………………………12 分
sin A sin B sinC sin A + sin B + sinC
3
7
3 + 39
所以 sin A + sin B + sinC =
. …………………………………………………13 分
8
3
p
1
3
法 2：因为 B = ，所以 sin B =
，sinC = sin B =
，…………………………8 分
3
2
2
4
1
3
由 b > c知 B > C ，则 C 为锐角，所以cosC =
，
……………………………10 分
4
3
9 + 3
sin A = sin(B + C) = sin BcosC + cosBsinC =
，
……………………………12 分
8
7
3 + 39
所以 sin A + sin B + sinC =
.
………………………………………………13 分
8
1
6.解：（1） n 2 时 ,an Sn Sn
2an (2an 1) 2an 2an
1
,
1
1
1
有 an 2an 1 ，……………………………………………………………………………4 分
又 n 1时， a1 S1 2a1 1，有 a1 0 ，
1
…
………………………………6 分
所以数列{an }是以 1 为首项，公比为 2 的等比数列.
（
2）由（1）得数列{an }的通项公式
a
2n 1(n N*)…………………………………8 分
n
1
3
5
an
2n
a1
1
设Tn
an an
1
2

1
n
3
n
5
n
2n
2
3
2n
2

1
则Tn
Tn
①
2
1
2
2
2
3
1
0
1
3
5
n
2n
3
2
2(2n 1)
② …………………11 分
2
n
2
2
n
3
2
4
2
0
①
－②得：
1
n
1
1
n
1
1
Tn
2(2n
1
)
2(2n 1)
2
1
2
2
3
2
1
2
0
1
1
n
1
1
1
n
2
(2n
)
4n
2
1
2
n
2
2
3
2
1
2
0
2
1
3
n
6
4n
2
1
3
n
Tn 4n
6 ………………………………………………………………………15分
2
1
3
1
4
9
4b2
7.解：（1）由椭圆过 B（2，0）知 a = 2，将 A(-1，) 代入方程，得
+
=1，求得b2 = 3,
1
2
则 c2 = a2 -b2 =1.…………………………………………………………………………4 分
c
1
2
e =
=
所以椭圆 C 的离心率
.
…………………………………………………………6 分
a
x
2
y
2
+
=1 ，
（
2）由(1)知椭圆 C 的标准方程为
4
3
当直线 l 的倾斜角为 0 时，B、M、N 共线，不合题意. ………………………………7 分
当直线 l 的倾斜角不为 0 时，设l : x = my +1 M (x , y ) N(x , y ) .
，
，
1
1
2
2
ì
ï
=144m2 +144 > 0
ì
x = my +1
ï
ï
(3m2 4)y2 6my -9 = 0,有
+
+
ï
-6m
得
……………………10 分
+
=
í
2
2
íy y2
x
y
+
=1
1
3m2
+
4
ï
ï
î
4
3
ï
-9
y y =
ï
î
1
2

3
m2
+
4
1
1
2
m2
+1
6
BMN 的面积为 ´ BF´| y - y |=
(y + y )2 - 4y y =
△
2
1
2
1
2
1
2
m2
+
3
4
6
2
6 m2 +1 6 2
由△ BMN 的面积为
，知
=
，解得 m = ±1.………………………12 分
7
3m2 + 4
7
由 MF = λFN ，知 λ > 0，
y = -λy .
1
2
ì
ï
y1 = -λy2
①
ï
ï
-6
+
-
9
4 2
7
9
4 2
7
当 m =1时，
í
y + y =
② ,得 2 -
+ = ，解得 λ =
或
.
7λ 18λ 7 0
1
2
7
ï
ï
-9
y y =
③
ï
î
1
2
7
9
+ 4 2
9 - 4 2
同理，当
m = -1时， λ =
或
.
7
7
9
+ 4 2
9 - 4 2
综上， λ =
或 λ =
. ……………………………………………………15 分
7
7

1
8. 解：（1）不能. ………………………………………………………………………1 分
假设在侧面 PDC 内存在直线与 AB 平行可得 AB 与侧面 PDC 平行.依据线面平行性质
定理，可得 AB 与 CD 平行,这与已知条件矛盾.…………………………………………3 分
（
2）在底面 ABCD中，AD∥BC，ÐDAB = 90 ，AD = AB =1，所以 BD = 2 ,又 BC = 2 ，
p
ÐDBC =
=
=
+ CD2 ，得CD ^ BD
，
由余弦定理得 CD
2 ，所以 BC2 BD2 ，…5 分
4
因为 PD ^ 平面 ABCD， CD Ì 面ABCD ,所以 PD ^ CD .……………………………7 分
PD BD = D , PD,BD Ì 面PBD ，所以CD ^
又
（
平面
PBD. …………………………9 分
x, y
3）过点 A 作直线 l 垂直平面 ABCD, AB ^ AD ，以 A 为原点， AB, AD分别为
轴
z
A(0, 0, 0),B(1,0,0), C(1, 2,0)，
正方向， l 为 轴，向上为正方向建立空间直角坐标系.则
(
) (
)，…………………………………………………………………11 分
D 0,1, 0 ,P 0,1, 2
= ( l
2l),n
= (
x, y, z 为平面 BDE 的法向量，
)
因为 E 为棱 AP 上的点，设
AE
=
l
AP
0, ,
1
ì
n ^ BD ì
ïn BD 0 ïì-x +
=
×
=
y
0
1- l
ï
1
,
1
, í
, 令 x =1得 y =1, z =
则
í
í
，则
în ^ BE ïîn × BE = 0 ïî-x + l y + 2lz = 0
ï
1
1
2l
æ
1- l ö
n = ç1,1,
÷
，…………………………………………………………………………13
分
1
2l ø
è
因为 PD ^ 平面 ABCD，所以 n2 = (0, 0,1)为平面 ABCD 的法向量，因为二面角
1
- l
2
l
2
1
3
cos n1,n2
=
=
l =
，得
A - BD - E 的大小为 45°，所以
.……15 分
2
(1
- l)2
1
+1+
2
l
2
æ
2 ö
æ
ö
1
3
1
3
2
(
)
AE = ç0, ,
÷
BE = BA + AE = ç-1, ,
÷ , PC = 1,1,- 2 ,
则
÷，
ç
ç
÷
3 ø
3 ø
è
è
3
设直线 BE 与 PC 所成角为q ，则 cosq = cos BE,PC =
,
3
3
所以异面直线 BE 与 PC 所成角的余弦值为
,………………………………………17 分
3
1
9.解：（1） f (x) 的定义域为（0，+ ¥）， ………………………………………………1 分
1
2x -1
1
1
f ¢(x) = 2 -
=
，由 f ¢(x) > 0 ，得 x > ， f (x) 增区间为（ ，+ ¥）， f ¢(x) < 0 ，
x
x
2
2
1
1
1
得 0 < x < ， f (x) 减区间为（0，），故 f (x) 在 x = 处取得最小值1+ ln 2 .………4 分
2
2
2
1
1
1
1
ax -1
（
2）因为 0 < a < ，故1<
<
，由 f (x) 的定义域为（0，+ ¥）， f ¢(x) = a -
=
，
e
a
a
2
x
x
1
1 1
a a2
得 f (x) 在（1， ）单调递减，在（ ， ）单调递增，
a

1
1
1
由 f (1) = a > 0 ， f ( ) =1+ ln a < 0 ， f (x) 在（1， ）单调递减，且 f (x) 图象在（1，） 上
a
a
a
1
连续不断，所以 f (x) 在（1， ）上有且只有一个零点. …………………………………6 分
a
1
1
1
1
e
下面证明 f (a2
) =
+ 2ln a > 0，令 F(x) = + 2ln x ， 0 < x <
，
a
x
1
2
2x -1
1
又 F¢(x) = -
+
=
，当 xÎ(0, )， F¢(x) < 0， F(x) 递减，
x
2
x
x
2
e
1
1
1
1
故 0 < x < ， F(x) > F( ) = e - 2 > 0，故 f ( ) = + 2ln a > 0 ,
e
e
a
2
a
1
1
1 1
1 1
由 f ( ) > 0 ， f ( ) =1+ ln a < 0 ， f (x) 在（ ， ）单调递增，且 f (x) 图象在（ , ） 上
a
2
a
a a2 a a2
连续，所以 f (x) 在（1 , ）上有且只有一个零点. ……………………………………8 分
1
a a2
1
综上，函数 f (x) 在 (1, ) 上有 2 个零点. ……………………………………………9 分
a
2
1
1
1
（
3）先证 x x <
，由 f (x) 在 (0, ) 递减，在 ( ,+¥) 递增， f (x ) = f (x ) = 2 时，不
1
2
a2
a
1
2
a
妨设 0 < x1 < < x2 ，令 G(x) = f (x) - f a1 ) ， xÎ(0, ) ，
1
1
a
2
x
a
1
1
1
1
(ax -1)2
1
则 G¢(x) = f ¢(x) +
f ¢(a2 x) = a -
+
(a2 - a2 x) =
> 0 ，故 G(x) 在 (0, )
a
2
x
2
x
a
2
x
2
ax2
a
1
1
1
a2 x1
递增，则有 G(x) < G( ) = 0, 即 x Î(0, ) ，有 f (x ) < f (
) ，
1
a
1
a
1
a2 x1
1
1
a2 x1
1
1
1
a2 x1
则有 f (x2 ) < f (
) ，又 x2 >
，
>
，且 f (x) 在 ( ,+¥) 递增，故有 x <
，
2
a
a
a
1
则有 x x <
成立；……………………………………………………………………13 分
1
2
a2
1
1
再证 x x >
，由上可 得 f (x)min = f ( ) =1+ ln a > f (x ) = 2 ，得 0 < a < e ，则 有
1
2
a
1
ea
1
1
e
1
1
1
1
1
x2 >
>
，ex >1，要证 x x >
，即证 x1 >
，又因为 x1 <

,
<
, f (x) 在
2
1
2
eax2
aex2
a
a
ea
a
1
1
1
1
1
(0, ) 递减,故只需证 f (
) > f (x1) = 2, 即证
- ln
> 2 ，即证
+ ln ax2 -1 > 0 ，
a
aex2
ex2
aex2
ex2
1
又 f (x ) = 2 ，得 ax = ln x + 2 ，令 ax =t >1 ，则 x = et-2 ，不等式
+ ln ax2 -1 > 0 可
2
2
2
2
2
ex2
以转化为 e1-t + lnt -1> 0 ,………………………………………………………………15 分
1
e
t
- et
令 h(t) = e1-t + lnt -1， t >1， h¢(t) = -e1-t + =
，
t
t
令 φ(t) = et -et,t >1， φ¢(t) = et -e,当 t Î(1,+¥) 时， φ¢(t) > 0, φ(t) 递增，φ(t) > φ(1) = 0，
则有 h¢(t) > 0,故有 h(t) 递增，因此 h(t) > h(1) =0，即t >1时， e1-t lnt 1 0 成立，所
+
- >
1
以 x x >
成立，
1
2
ea
1
1
综上，不等式
< x x <
成立………………………………………………………17 分
ae
1
2
a
2