1、返回,后页,前页,3,高斯公式与斯托克斯公式,高斯公式与斯托克斯公式都是格林公式的,推广,.,格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系,;,高斯公式建立了空间区域上的三重积分与其边界曲面上的第二型曲面积分之间的关系,;,斯托克斯公式建立了空间曲面上的第二型曲面积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系,.,返回,一、高斯公式,二、斯托克斯公式,一、高斯公式,定理,22.3,设空间区域,由分片光滑的双侧封闭曲,面,S,围成,.,若函数,P,Q,R,在,上连续,且有一阶连,续偏导数,则,其中,S,取外侧,.,(1),式称为,高斯公式,.,证,下面只证,读者可类似
2、这些结果相加便得到高斯公式,(1).,先设,V,是一个,xy,型区域,即其边界曲面,S,由曲面,证明其余两式,:,及垂直于,的柱,面,组成,(,图,22-7,),其中,于是按三重积分的计算方,法,有,其中,都取上侧,.,又由于,平面上投影面,从而得到,对于不是,xy,型区域的情形,一般可用有限个光滑,积为零,所以,曲面将它分割成若干个,xy,型区域来讨论,.,例,1,计算,其中,S,是边长为,a,的正立方体表面并取外侧,.,解,应用高斯公式,注,若在高斯公式中,则有,于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域,V,的体,积的公式,:,例,2,计算,其中,为曲面,上,的部分,并取,上侧,.,解,由
3、于曲面不是封闭的,不能直接应用高斯公式,.,为了能使用高斯公式以方便计算,可补充一块平面,并取下侧,则,构成一,封,闭曲面,.,于是,而,因此,例,3,证明电学中的高斯定理,:,在由点电荷,所产生的,静电场中,电场强度,向外穿过任何包含,在其内,部的光滑封闭曲面,的电通量都等于,证,以,为球心作一半径充分小的球面,使,全部,落在,所包含的区域内部,并将坐标原点取在,处,.,由,电学知识,在点,处的电场强度为,设,其中,易验证,(,参见图,22-8,),所以穿过,的电通量为,其中,取外侧,是,包围的半径为,的球体,.,在,与,所围的空间区域,上应用高斯公式,其边,界的外测是,的外侧和,的内侧,.
4、因为,所以穿过,的电通量为,二、斯托克斯公式,先对双侧曲面,S,的侧与其边界曲线,L,的方向作如下,规定,:,设有人站在,S,上指定的一侧,若沿,L,行走,指,定的侧总在人的左方,则人前进的方向为边界线,L,的正向,;,若沿,L,行走,指定的侧总在人的右方,则人,前进的方向为边界线,L,的负向,.,这个规定也称为右,手法则,如图,22-9,所示,.,定理,22.4,设光滑曲面,S,的边界,L,是按段光滑的连,续曲线,.,若函数,P,Q,R,在,S,(,连同,L,),上连续,且有,一阶连续偏导数,则有,斯托克斯公式,如下,:,其中,S,的侧与,L,的方向按右手法则确定,.,证,先证,其中曲面,
5、S,由方程 确定,它的正侧法线方,(3),若,S,在,xy,平面上的投影为区域,平面上,的投,影为曲线,现由第二型曲线积分定义及格林,公式有,向数为,方向余弦为,所以,所以,因为,由于,从而,将,(3),(4),(5),三式相加,即得公式,(2),.,如果,S,不能以,的形式给出,则可用一,些,光滑曲线把,S,分割为若干小块,使每一小块能用这,综合上述结果,便得到所要证明的,(3),式,.,当曲面,S,表示为,时,同样,可,证,为了便于记忆,斯托克斯公式也常写成如下形式,:,例,4,计算,其中,种形式来表示,.,因而这时,(2),式也能成立,.,与各坐标面的交线,取图,22-8,所示的方向,.
6、解,应用斯托克斯公式推得,:,车胎状的环形区域则是非单连通的,.,与平面曲线积分相仿,空间曲线积分与路线的无关,性也有下面相应的定理,.,不经过,V,以外的点而连续收缩于属于,V,的一点,.,例,如,:,两同心球面所界定的区域仍是单连通的,;,而形如,区域,V,称为,单连通,的,如果,V,内任一封闭曲线皆可,注,上述之单连通,又称为“按曲面单连通”,.,其意,义是,:,对于,V,内任一封闭曲线,L,均能以,L,为边界,绷起一个位于,V,中的曲面,.,与路线无关,;,(i),对于,内任一按段光滑的封闭曲线,L,有,(ii),对于,内任一按段光滑的封闭曲线,L,曲线积分,定理,22.5,设,为空间单连通区域,.,若函数,P,个条件是等价的,:,Q,R,在,上连续,且有一阶连续偏导数,则以下四,例,5,验证曲线积分,与路线无关,并求被积表达式的原函数,这个定理的证明与定理,21.12,相仿,这里不重复了,.,在,内处处成立,.,(iii),内某一函数,u,的全微分,即,取,如图,22-11,从,沿平行于,x,轴的直线到,所以曲线积分与路线无关,.,现在求原函数,:,解,对于,显然有,再沿平行于,y,轴的直线到,最后沿平行于,z,轴的直线,到,于是,为原,点,则得 若取 为任意点,则 为一任,意常数,.,其中,是一个常数,.,若取,
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