平面向量的数量积习题绝对好.docx

平面向量的数量积(20211119)作业
成绩
A组专项根底训练
一、选择题每题5分，共20分)
1. (2021-)向量 a=(1,-1), b=(2, *),假设 a・b = 1,则*等于()
A . - 1 B . - yC. 2。. 1
2. (2021-)设*, yCR，向量 a = (*,1), b = (1, y), c=(2,-4)，且 ale, b II c,则|a+b| 等于()
A.」5 B.-..J10 C.2^2 D. 10
3. 向量 a = (1,2), b=(2,-3).假设向量 c 满足 e + a)|b, cl a+b),则 c 等于()
7, -7
9 3
=、忡，则AB・AC等于()
|2 a-b| =、.JT0，则 |b|=
=3, BC =10，则AB - AC =
b的夹角为钝角，则入的取值围是
4.
在^ABC
B.
AB
A. -：B.
7 7
C
9 C. 3,
=3 ,AC =2
2
--C -D -
3 3 2
23
32
二、填空题每题5分，共15分)
7
9d.
BC
5.向量a, b夹角为45°，且|a|
6.在△ ABC中，M是BC的中点
7. a = (2,- 1), b=(入
=1
AM
3),假设a与

三、解答题共22分)
8. (10 分)a = (1,2), b= -2, n) (>1) ,a 与 b 的夹角是 45°.
(1) 求 b；
(2) 假设c与b同向，且a与c-a垂直，求c.
9. (12分)设两个向量e、e满足|e |=2,|e |=1,e e的夹角为60°,假设向量2te +7e与向
12121212
量e1+ te2的夹角为钝角，数t的取值围.
B组专项能力提升
一、选择题每题5分，共15分)
1. 在△ ABC 中，AB =2,AC =3,AB -B^ =1,则 BC 等于()
A.、,,®. 顷.2%，D.气宵
2. |a|=6, |b|=3, a・b=-12，则向量a在向量b方向上的投影是()
A. -4 B. 4 C. -2 D . 2
I PA 12 + | PB 12
3. 在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则一而——等于()
2
A.2 B.4 C.5 D. 10
二、填空题每题5分，共15分)
4. 设向量 a=(1,2m ), b= (n + 1,1), c = (2, m ).假设 a+c)lb,则 |a|=
5. 如图，在矩形ABCD中，AB =x；'2, BC =2,点E为BC的中点，点
F在边CD上，假设屈• AF =寸2,则厘• BF的值是/ "
6. 在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1,假设M、N分别是边BC、•’ CD 上
8
网 ||一|-^
的点，且满足=，则A- •屈的取值围是
|B- ||CB |
三、解答题
7. (13分)设平面上有两个向量a = (cos a sin 3 (0°b = (2, *),假设 a・b = 1,则*等于()
A .-1 B .- yC. ,D . 1
答案D
解析 a・b=(1,-1).(2,*) = 2-*=1 *=1.
2. (2021・)设*, yCR，向量 a = (*,1), b = (1, y), c=(2,- 4)，且 alc, b II c,则|a+b| 等于()
A.B. %：!0 C. 2g D . 10
答案B
解析•.•a=(*,1), b = (1, y), c=(2,-4),
由 alc 得a・c = 0，即 2*-4=0,「.*=2.
由 b II c,得 1x(-4)-2y = 0,「.y=2.
a = (2, 1), b = (1, - 2).
.，.a+b = (3, -1),| a. + b | = [ 3 2 +- 1 2 = .J ] 0.
3. 向量 a = (1, 2), b = (2, - 3).假设向量 c 满足 C + a)//b, cl a + b),则 c 等于()
A 1 7b 7
9,3 &3，9
「77D77
C.T9d・-9'-3
答案D
解析 设 c=(*, y),则 c + a=(* + 1, y + 2),
又 c + a)//b,「.2(y + 2) + 3(*+1)=0.①
又 cl(a+b),「.(*, y)-(3,-1) = 3*-y = 0.②
联立①②解得*=-7, y =-7.
4. 在△ ABC 中，AB =3, AC =2, BC =^10，则AB ・AC 等于(
A.-3B.
2 2
--C -D -
3 3 2

答案D
解析由于屈•犯=|屈|・|犯| •cosZ BAC
= y(|AlB |2+|屈 |2-|B。|2) = yx(9+4-10)=亍二、填空题每题5分，共15分)
5. (2021・课标全国)向量a, b夹角为45°，且|a| =1, |2a-b| =舟，则|b| =
答案3 0
解析•.•a, b的夹角为45°, |a| =1,
•••a ・b = |a|・|b|cos 45°=手|b|,
|2 a-b|2 = 4 -4^-^| b | +|b|2 = 10，.，.|b| =3 -」2.
6. (2021・)在^ABC 中，M 是 BC 的中点，AM =3, BC =10，则屈•屈=
答案 -16
解析如下图，
aB =anT +m耳
犯=an! +m?
=aM -M耳，
.•海•屈=成 +m耳)• AKf -m5)
=aM 2 -M耳 2 = | AKf |2-|M耳 |2 = 9 - 25 =-16.
7. a= (2,-1), b =(入3),假设a与b的夹角为钝角，则入的取值围是
烙出/、，3
答案-8,-6)U -6, 了
解析 由a・b<0，即2入- 3<0，解得反2，由a/，b得：
6 =-入即入=-6.因此次亍，且入尹-6.
三、解答题共22分)
8. (10 分)a = (1,2), b= (-2, n) (>1) ,a 与 b 的夹角是 45°.
⑴求b；
(2)假设c与b同向，且a与c-a垂直，求c.
解⑴a•
.'.cos 45°
b =2n -2 , | a | = *5 , | b | = *..jn2 + 4 ,
2n -2①
=——=*-,...3n2-16n-12 =0,
疽5 • %：里 + 42
.，.n =6 或
2
n =3 舍)，b = (- 2,6).
⑵由⑴知，
a・b=10, | a 12 = 5.

又c与b同向，故可设c=?b (2>0) , c-a)・a = 0,
.•.?b・a-|a|2 = 0,
1
2,
|a|25
入==——
b・a 10
.，.c = ^b = (- 1,3).
9. (12分)设两个向量e〔、
量*3之的夹角为钝角，数t的取值围.
% 满足 |e1|=2
=1, e1，e2的夹角为60°,假设向量2te1 + 7e2
与向

1
2=1，

解'/e ・e =| e |・| e |・cos60°=2x1
1212
.•.(2te +7e )• e + te )
1212
= 2te2 + 7 te2 + (2t2 + 7)e - e1212
= 8t+7t+2t2 + 7 =2t2 + 15 t+7.
由得 2 t2 + 15t+7<0，解得 一7< t< - 万.
当向量2 tei+ 7e2与向量e〔 + te?反向时，设 2 te +7e =入e +te ),次0 ,
1212
2 t =入
则"7
t=
2t2 = 7 t=-
2舍).

故t的取值围为(- 7，- —)U(—, - 2).
B组专项能力提升
(时间：25分钟，总分值：43分)
一、选择题每题5分，共15分)
1. (2021-)在^ABC 中，AB =2, AC =3,屈-B^ =1，则 BC 等于()
A. 怦.." . 2....押.七宵
答案A
解析•.•屈-B^ =1，且 AB =2，
.•.1= |屈 ||B。|cos(n-B)，「.|屈 ||B。|cos B = -1.
在^ ABC 中，|AC |2=|AB |2+|BC |2-2| AB ||BC |cos B，
即 9=4 + |BC |2-2x(-1).
.,.|BC | =、...；3.
2. |a|=6，|b|=3，a・b=-12，则向量a在向量b方向上的投影是()
A.-4 B. 4 C.-2 D . 2
答案 A
解析a-b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，得a・b = |b|| a|・cos〈a，b〉，
即-12 =3| a|-cos< a，b〉，
|a|-cos< a， b〉=-4.
|PA |2+|PB |2
3. (2021-)在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则一时——
| PC | 2
等于()
A. 2 B. 4 C. 5 D . 10
答案D
解析-.-pl =cl -c?, /.|Pl |2=cI2-2C? - cl +c?2
•.•闻=CS -c? , ipB |2 = CS 2-2C? •疝 +c? 2.
I闻 I2 + i闻 I2
=0 2 + CS 2)-2c5 . G? +龙)+ 2闻2
=屈 2 -2任• 2CB +2C? 2.
又屈2 = 16^2, c5 =2C?,
代入上式整理得|Pl |2+ |PB |2 = 10| CP |2,故所求值为10.
二、填空题每题5分，共15分)
4. (2021 •)设向量 a = (1,2m ), b = (n + 1, 1), c = (2, m ).假设但 + c) lb,则 |a| =
答案寸
解析 利用向量数量积的坐标运算求解.
a + c = (1,加)+ (2, m ) = (3,如) a+ c)lb,
a +c)・b =(3,3m )• m +1,1) = 6m +3=0,
.•.m =- ^..a =(1,T) ,.| a | =书.”~'
5. (2021・)如图，在矩形ABCD中，AB =、,"，BC =2,点E为BC的中点，点
F在边CD上，假设屈• AF =书，则A? • B?的值是式 B
答案孑
解析方法一坐标法.
以A为坐标原点，AB , AD所在直线为*轴，y轴建立平面直角坐标系，则A (0,0), B ^2, 0),E(..."，1), F (*,2).
故屈=审，0), AF = (*,2), ?=甲，1),曜=(*-寸，2)•.屈・AF =甲，0)・ *,2) =^2*.
又AB • AF =・\；2 ,.，.* = 1..，.BF =(1-气,：2，2).
.••A? •? =0,1).(1寸，2) =^2-2 +2 =/
方法二 用屈，B?表示A? , B?是关键.
设=*屈，则任=（*-1）屈.
屈•店=屈•海+诵）
=屈•康+*屈）=*屈2 = 2*,
乎-5.
..*
又•.•屈• A? =^, /.2* = ^2,=半....曜=BC +C? =BC +

/.A?・B?=屈 + BE ）• B。
+半-1屈

AB

?1 c ?
=AB + — b"C b"C +
2

=4-1
屈 2+；B? 2
=A
x2 + X = g

2021・）在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1,假设M、N分别是边BC、CD上的点，
IB? || ?|? 一
且满足=，则A? • AN的取值围是
I bC | | CD |
答案[1,4]
解析 利用基向量法，把A? , A?都用屈，A?表示，再求数量积.
如下图，
|B? ||?|
设 =
|B? ||C? |
=入（0＜入＜1），则B?=旋，
?=诵，D? =?-C?
=（入-1）C?，
.••A? •A? =A? +B? ）• a? +D?）
=（? +?B? ）• a? + （入-1）C?]
=（入-1）屈• C? + ?B? • A?
= 4（1-?）+ 入=4 -3 入
.•.当入=0时，AN •启取得最大值4;
当入=1时，ANf •启取得最小值1.
顼•启 €[1,4].
三、解答题
7. (13 分)设平面上有两个向量 a = (cos a sin 3 (0°<%360。)，b = -^，^
(1) 求证：向量a+b与a-b垂直；
(2) 当向量,,r3a + b与a-.寸3b的模相等时，求a的大小.
⑴证明...(a+b)・ a-b) = a2- b2
=|a2 - |b|2= (cos2 a+ sin2 o) - 丁 + t = 0，4 4
故向量a+b与a-b垂直.
(2)解由| .."a +b|=|a-七割|，两边平方得
3| a|2 + 2 "a・b + |b|2= |a|2-2寸3a・b + 3| b|2，
所以 2(|a|2 - |b|2) + 4、.."a・b = 0，而|a| = |b|，
所以 a^b = 0， 即 - y •cos a+ •sin a= 0，
即 cos(a+60°)=0，...a+60°= k・180°+90°， k€Z，
即 a=k・180°+30°， k€Z，

又 0°< o<360°
则 a=30。或 a=210°.