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1、三角形专题训练 【知识精读】 1. 三角形的角和定理与外角和定理；2.三角形中三边之间的关系定理及其推论； 3. 全等三角形的性质与判定；4.特殊三角形的性质与判定〔如等腰三角形〕； 5.直角三角形的性质与判定。 【分类解析】 1. 三角形角和定理的应用 例 1.如图 1, ABC 中，BAC 90 , AD BC 于 D,E 是 AD 上一点。 求证：BED C 2. 三角形三边关系的应用 例2.:如图2,在ABC中，AB AC , AM是BC边的中线。 求证：AM 1 AB AC '2 3. 角平分线定理的应用 例3.如图3,ZB =ZC =90°, M是BC的
2、中点，DM 平分ZADC。 求证：AM平分DAB。 4. 全等三角形的应用 〔1〕构造全等三角形解决问题 例4.如图4,AABC是边长为1的等边三角形，^BDC是顶角〔ZBDC 〕为 120。的等腰三角形，以。为顶点作一个60。的角，它的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN。求证：AMN的周长等于2。 〔2〕“全等三角形在综合题中的应用 例5.如图5，：点C是ZFAE的平分线AC上一点，CE 1AE，CF 1AF，E.F为垂足。点B在AE的延长线上，点D在AF上。假设AB =21，AD =9，BC =DC = 10。求AC的长。 5、中考点拨 例6.如图，在ABC中，NB
3、和NC的平分线相交于点F，过点F作DE //BC，交AB于点D，交AC于点E，假设BD +CE =9，则线段DE的长为〔〕 A. 9B. 8C. 7D. 6 6、题型展示 例7.:如图6, ABC 中，AB =AC , ZACB =90°, D是AC上一点，AE垂直BD的 延长线于E, AE 1BD。 2 求证：BD平分ZABC 例8. *小区结合实际情况建了一个平面图形为正三角形的花坛。如图7,在正三角形ABC花坛外有满足条件PB =AB的一棵树P,现要在花坛装一喷水管D ,点D的位置必须满足条件AD =BD , ZDBP =DBC，才能使花坛全部位置及树P均能得到水管
4、D的喷水，问ZBPD为多少度时，才能到达上述要求. 【实战模拟】 1. 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm，则这个等腰三角 形底边的长为。 2. 在锐角 ABC中，高AD和BE交于H点，且BH =AC，则ZABC =。 3. 如下列图，D是ABC的ZACB的外角平分线与BA的延长线的交点。试比较ZBAC与NB的大小关系。 4. 如下列图，AB =AC ,ZBAC =90 °, M 是 AC 中点，AE IBM。 求证：NAMB =ZCMD 5.设三个正数a、b、c满足a2 b2 c2 22 a4 b4 c4，求证：a、b、c 一定 是*个三角形三边
5、的长。 【试题答案】 1. 5 cm 2. 45° 3. 分析：如下列图，NBAC是ACD的外角，所以BAC 1 因为 N1 =Z2，所以ZBAC > Z2 又因为N2是BCD的外角，所以之2 >ZB，问题得证。 答：ZBAC > ZB •.•ZCD 平分ZACE , Z1 =Z2 •.•ZBAC > Z1 , /.ZBAC > Z2 •.•Z2 > ZB , /.ZBAC > ZB 4,证明一：过点C作CF 1AC交AD的延长线于F 又 ZBAC =ZACF =90° AC =AB 又 AM =MC ,.LMC =CF 又N3 = Z4=45 °, CD =CD
6、 证明二：过点A作AN平分ZBAC交BM 于N 又AN平分ZBAC 又 AB =AC 又 ZNAMZC45 AM =CM 说明：假设图中所证的两个角或两条线段没有在全等三角形中，可以把求证的角或线段用和它相等的量代换。假设没有相等的量代换，可设法作辅助线构造全等三角形。 5. 证明：由得： 即a4 b4 C4 2a2b2 2b2C2 2C2a20 a、b、。是*一三角形三边的长。 1.证明：由 AD 1BC 于 D,可得 ZCAD =ZABC 又 ABD ABE EBD 则 Z ABD Z EBD 可证 ZCAD ZEBD 即 ZBED ZC 说明：在角度不定的情
7、况下比较两角大小，如果能运用三角形角和都等于180。间接 求得。 2.证明： 延长 AM 到D， 使MD =AM ， 连接BD 在CMA 和 BMD 中， AM DM， ZAMC ZDMB ，CM BM 在ABD 中， AB BD AD ，而ad 2 AM 说明：在分析此问题时，首先将求证式变形，得2 AM AB AC，然后通过倍长中线的方法，相当于将AMC绕点旋转180。构成旋转型的全等三角形，把AC、AB、2AM转化到同一三角形中，利用三角形三边不等关系，到达解决问题的目的。彳艮自然有 1
8、AB AC AM 1 AB AC。请同学们自己试着证明。 3. 证明：过 M 作 MG 1AD 于 G,・..DM 平分 ZADC , MC 1DC , MG 1AD •••MC =MG 〔在角的平分线上的点到角的两边距离相等〕 •.•MC =MB ,「.MG =MB 而 MG 1AD , MB 1AB •M在ZADC的平分线上〔到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上〕 • DM 平分 ZADC 说明：此题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MG =MB。同时要注意不必证明三角形全等，否则就是重复判定定理的证明过程。 4. 分析：欲证AMN的周长
9、等于2 ,需证明它等于等边ABC的两边的长，只需证 MN BM CN。采用旋转构造全等的方法来解决。 证明：以点。为旋转中心，将DBM顺时针旋转120 °,点B落在点C的位置，点M落在M'点的位置。 得：ZMBD =ZNCD =90° • ZNCD 与ZDCM'构成平角，且BM = CM, ，DM = DM, ,ZNDM' =ZNDC + ZCDM' = ZNDC + ZBDM =120 °-60° = 60° 在MDN 和M 'DN中， AMN 的周长 AM AN MN AM AN BM CN AB AC 2
10、说明：通过旋转，使图形中的角、线段充分得到利用，促进了问题的解决。 5. 分析：要求AC的长，需在直角三角形ACE中知AE、CE的长，而AE、CE均不是长度的线段，这时需要通过证全等三角形，利用其性质，创设条件证出线段相等，进而求出AE、CE的长，使问题得以解决。 解：..•AC 平分ZFAE , CF 1AF , CE 1AE • CF =CE • BE =DF 设 BE DF x,则 AE AB BE 21 x, AF AD DF 9 x 在 Rt BCE 中，CEJBC^BE? .J102 628 在 Rt ACE 中，AC JIE^__GET J 21 6 28? 17
11、 答：AC的长为17。 6. 分析：初看此题，看到DE =DF +FE后，就想把DF和FE的长逐个求出后再相加得DE，但由于DF与FE的长都无法求出，于是就不知怎么办了.其实，假设能注意到条件中的“BD +CE =9 ，就应想一想，DF +FE是否与BD +CE相关.是否可以整体求出.假设能想到这一点，就不难整体求出DF +FE也就是DE的长了。 解：•.•BF是NB的平分线 /.ZDBF =ZCBF 又 DE II BC /.ZDFB =ZCBF /.ZBDF =ZDFB •••DF =BD 同理，FE =CE •DF +FE =BD +CE =9 即 DE =9 应选
12、A 7. 分析：要证ZABD =ZCBD，可通过三角形全等来证明，但图中不存在可证全等的三角形，需设法进展构造。注意到条件的特点，采用补形构造全等的方法来解决。 简证：延长AE交BC的延长线于F 易证 ACF BCD 〔ASA 或 AAS〕 于是又不难证得BAE BFE (SAS) • BD 平分 ZBAC 说明：通过补形构造全等，沟通了和未知，翻开了解决问题的通道。 8. 分析：此题是一个实际问题，应先将实际问题转化成数学问题，转化后的数学问题是：如图 7，D 为正 ABC 一点，p 为正 ABC 外一点，PB =AB，AD =BD，ZDBP =ZDBC，求ZBPD =.在解此数学问题时，要用到全等三角形的知识。 解：连CD AC BC 又 AD BD CD CD ZBPD 30，即ZBPD 30时，才能到达要求。
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