中值定理证明方法总结.ppt

中值定理,应用,研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题,罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理,泰勒公式,推广,微分中值定理的应用与技巧,基本概念、内容、定理、公式,1,一、罗尔,(Ro le),定理 二、拉格朗日中值定理,三、柯西,(Cauchy),中值定理,机动目录上页下页返回结束,中值定理,2,一、罗尔,(Rolle),定理,y,=,f,(,x,),满足,:,(1),在区间,a,b,上连续,(2),在区间,(,a,b,),内可导,(3),f,(,a,)=,f,(,b,),在,(,a,b,),内至少存在一点,使,f,(,),=,0.,证,:,因,f,(,x,),在,ab,上连续，,故在,a,b,上取得最大值,M,和最小值,m.,若,M,=,m,则,f,(,x,),M,x,a,b,因此,(,a,b,),f,(,),=,0.,b,x,y,o,a,y,=,f,(,x,),机动目录上页下页返回结束,3,若,M,m,则,M,和,m,中至少有一个与端点值不等,不妨设,M,f,(,a,),则至少存在一点,(,a,b,),使,f,(,),=,M,则由费马引理得,f,(,),=,0.,注意,:,1),定理条件条件不全具备,结论不一定成立,.,例如,0,x,1,0,x,=,1,y,f,(,x,),=,x,x,1,y,o,x,1,1,f,(,x,),=,x,f,(,x,),=x,y,x,0,1,o,x,1,o,1,x,1,机动目录上页下页返回结束,4,lim,f,(,x,),=,lim,f,(,x,),x,a,+,x,b,在,(,a,b,),内至少存在一点,使,f,(,),=,0.,2),定理条件只是充分的,.,本定理可推广为,y,=,f,(,x,),在,(,a,b,),内可导,且,证明提示,:,设,F,(,x,),=,证,F,(,x,),在,a,b,上满足罗尔定理,.,f,(,a,+,),x,=,a,f,(,x,),a,x,b,f,(,b,),x,=,b,机动目录上页下页返回结束,5,二、拉格朗日中值定理,y,=,f,(,x,),满足,:,(1),在区间,a,b,上连续,(,),(2),在区间,(,a,b,),内可导,至少存在一点,(,a,b,),使,f,(,),=,f,(,b,),f,(,a,),.,b,a,a,b,x,y,o,y,=,f,(,x,),思路,思路思路,思路,:,利用,逆向思维,逆向思维逆向思维,逆向思维,找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然,(,x,),在,a,b,上连续,在,(,a,b,),内可导,且,(,a,),=,bf,(,a,),af,(,b,),=,(,b,),由罗尔定理知至少存在一点,证,:,问题转化为证,(,x,),=,f,(,x,),f,(,b,),f,(,a,),x,b,a,b,a,(,a,b,),使),=,0,即定理结论成立,.,证毕,拉氏目录上页下页返回结束,=,0,f,(,b,),f,(,a,),f,(,),b,a,6,三、柯西,(Cauchy),中值定理,=,0,f,(,b,),f,(,a,),F,(,),f,(,),F,(,b,),F,(,a,),(,),分析,:,F,(,b,),F,(,a,),=,F,(,)(,b,a,),0,f,(,x,),及,F,(,x,),满足,:,(1),在闭区间,a,b,上连续,(2),在开区间,(,a,b,),内可导,(3),在开区间,(,a,b,),内,F,(,x,),0,至少存在一点,(,a,b,),使,f,(,b,),f,(,a,),=f,(,),.,F,(,),F,(,b,),F,(,a,),a,b,要证,(,x,),=,f,(,b,),f,(,a,),F,(,x,),f,(,x,),F,(,b,),F,(,a,),柯西目录上页下页返回结束,7,证,:,作辅助函数,()(),F,(,b,),F,(,a,),(,x,),=,f,(,b,),f,(,a,),F x,fx,则,(,x,),在,a,b,上连续,在,(,a,b,),内可导,且,(,a,),=,f,(,b,),F,(,a,),f,(,a,),F,(,b,),=,(,b,),F,(,b,),F,(,a,),由罗尔定理知,至少存在一点,(,a,b,),使,(,),=,0即,f,(,b,),f,(,a,),=,f,(,),.,F,(,),F,(,b,),F,(,a,),思考,:,柯西定理的下述证法对吗,?,f,(,b,),f,(,a,),=,f,(,)(,b,a,),(,a,b,),F,(,b,),F,(,a,),=,F,(,)(,b,a,),(,a,b,),两个,不 一定相同,错!,机动目录上页下页返回结束,上面两式相比即得结论,.,8,罗尔定理,f,(,),=,0,y,y,=,f,(,x,),o,a,b,x,F,(,),f,(,b,),f,(,a,),=,f,(,),F,(,b,),F,(,a,),b,a,f,(,),=,f,(,b,),f,(,a,),拉格朗日中值定理,f,(,a,),=,f,(,b,),f,(,a,),=,f,(,b,),F,(,x,),=,x,),n,+,1,x,x,0,(,n,+,1),()(,+,(,n,+,1)!,f,1,柯西中值定理,F,(,x,),=,x,y,y,=,f,(,x,),o,a,b,x,泰勒中值定理,f,(,x,),=,f,(,x,0,),+,f,(,x,0,)(,x,x,0,),(,n,),n,+,+,n,!,f,(,x,0,)(,x,x,0,),1,n,=,0,几个中值定理的关系,9,证明中值定理的方法,辅助函数法,直观分析,逆向分析,例如,证明拉格朗日定理,:,f,(,b,),f,(,a,),f,(,)(,b,a,),要构造满足罗尔定理条件的辅助函数,.,y,=,f,(,x,),方法,1.,直观分析 由图可知,设辅助函数,oa,y,x,x,+,C,b,y,=,f,(,b,),f,(,a,),b,a,F,(,x,),=,f,(,x,),f,(,b,),f,(,a,),x,C,b,a,(,C,为任意常数,),10,方法,2.,逆向分析,f,(,b,),f,(,a,),=,f,(,)(,b,a,),要证 即证,f,(,),f,(,b,),f,(,a,),=,0,b,a,F,(,),F,(,x,),=,f,(,x,),f,(,b,),f,(,a,),b,a,原函数法,F,(,x,),=f,(,x,),f,(,b,),f,(,a,),x,b,a,辅助函数,11,同样,柯西中值定理要证,(,a,b,),f,(,b,),f,(,a,),=,f,(,),g,(,),g,(,b,),g,(,a,),即证,f,(,),f,(,b,),f,(,a,),g,(,),=,0,g,(,b,),g,(,a,),F,(,x,),=,f,(,x,),f,(,b,),f,(,a,),g,(,x,),g,(,b,),g,(,a,),原函数法,F,(,x,),=,f,(,x,),f,(,b,),f,(,a,),g,(,x,),g,(,b,),g,(,a,),设,12,*,中值定理的条件是充分的,但非必要因此,可适当减弱,.,例如,设,f,(,x,),在,(,a,b,),内可导,且,f,(,a,+,0),=,f,(,b,0),则至少存在一点,证,:,设辅助函数,(,a,b,),使,f,(,),=,0.,f,(,b,0),F,(,x,),=,f,(,x,),f,(,a,+,0),x,=,a,a,x,b,x,=,b,显然,F,(,x,),在,a,b,上连续,在,(,a,b,),内可导,由罗尔,定理可知,存在一点,(,a,b,),使,F,(,),=,0,即,f,(,),=,0.,13,*,中值定理的统一表达式,设,f,(,x,),g,(,x,),h,(,x,),都在,a,b,上连续,且在,(,a,b,),内可导,证明至少存在一点,(,a,b,),使,f,(,),g,(,),=,0,h,(,),f,(,b,),g,(,b,),h,(,b,),f,(,a,),g,(,a,),h,(,a,),证,:,按三阶行列式展开法有,f,(,),g,(,),=,h,(,),f,(,b,),g,(,b,),h,(,b,),f,(,a,),g,(,a,),h,(,a,),h,(,b,),f,(,),g,(,a,),h,(,a,),g,(,b,),(),h,(,b,),f,(,a,),h,(,a,),f,(,b,),g,+,f,(,b,),h,(,),g,(,b,),f,(,a,),g,(,a,),14,利用逆向思维设辅助函数,f,(,a,),f,(,b,),f,(,),g,(,a,),g,(,b,),g,(,a,),g,(,b,),g,(,),=,h,(,a,),h,(,b,),f,(,),h,(,a,),h,(,b,),h,(,),f,(,a,),f,(,b,),g,+,f,(,a,),f,(,b,),h,(,),h,(,a,),h,(,b,),(),g,(,a,),g,(,b,),F,(,x,),(),f,(,b,),f,(,x,),g,(,b,),g,(,x,),h,(,b,),h,(,x,),h,(,b,),f,(,a,),h,(,a,),f,(,b,),g x,g,(,b,),f,x,),f,(,a,),(),=,g,(,a,),h,(,a,),f,(,a,),g,(,a,),g,(,b,),f,(,b,),h x,+,显然,F,(,x,),在,a,b,上连续,在,(,a,b,),内可导,且,F,(,a,),=,F,(,b,),=,0,因此,由罗尔定理知至少存在一点,(,a,b,),使,F,(,),=,0,h,(,a,),h,(,b,),=,g,(,a,),即,f,(,b,),f,(,),g,(,b,),g,(,),=,0,h,(,b,),h,(,),f,(,a,),g,(,a,),h,(,a,),F,(,),=,15,说明,若取,h,(,x,),1,g,(,x,)x,f,(,a,),=,f,(,b,),即为罗尔定理,;,设,f,(,x,),g,(,x,),h,(,x,),都在,(,a,b,),上连续,且在,a,b,内可导,证明至少存在一点,(,a,b,),使,f,(,),g,(,),=,0,h,(,),f,(,a,),f,(,b,),g,(,a,),g,(,b,),h,(,a,),h,(,b,),若取,h,(,x,),1,g,(,x,),=,x,即为拉格朗日中值定理,;,若取,h,(,x,),1,g,(,x,),0,即为柯西中值定理,;,(,自己验证,),16,中值定理的主要应用与解题方法,中值定理,原函数的性质,导函数的性质,中值定理的主要应用1),利用中值定理求极限,(2),研究函数或导数的性质,(3),证明恒等式,(4),判定方程根的存在性和唯一性,(5),证明有关中值问题的结论,(6),证明不等式,反映,反映,17,（2）应用中值定理的关键为：,如何构造合适的辅助函数？（难点、重点）,解题方法,:,从结论入手,利用逆向分析法,选择有关中值定 理及适当设辅助函数,.,(1),证明,含一个中值的等式,或证,根的存在,常用 罗尔定理,此时可用原函数法设辅助函数,.,(2),若结论中涉及到含,一个中值,的,两个不同函数,可考虑用柯西中值定理,.,注：（1）几个中值定理中最重要、最常用的是:,罗尔中值定理。,18,(3),若结论中含两个,或,两个以上中值,必须多次 使用中值定理,.,(4),若已知条件或结论中,含高阶导数,多考虑用,泰勒公式,有时也可考虑,对导数用中值定理,.,(5),若结论为恒等式,先证变式导数为,0,再利用 特殊点定常数,.,(6),若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的,技巧,.,19,构造辅助函数的方法,(1),不定积分求积分常数法,.,构造辅助函数的步骤如下,:,将欲证结论中的改写为；,通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式,.(,即易积 分形式,),；,利用观察法或不定积分法,方程两边同时积分；（或解微 分方程）,解出积分常数,则,即为所求的辅助函数。,20,以拉格朗日及柯西中值定理为例说明辅助函数,的,构造作法：,.,拉格朗日中值定理的结论,:,将改写为,方程两边同时积分,21,f,(,b,),),),),f,f,(,(,(,(,a,a,a,a,),),),),x,x,x,x,+,+,+,+,C,C,C,C,=,=,=,=,f,f,(,(,(,(,x,x,x,x,),),),),b,a,解出积分常数，则,令辅助函数,22,柯西中值定理的结论,:,将改写为,直接积分消不去导数，故变形为,方程两边同时积分,23,解出积分常数，则,令辅助函数,(2),常数变易法,此法适用于常数已分离出来的命题,构造辅助函数的步 骤如下,:,将常数部分设为,24,恒等变形,将等式一端变为由及,构成的代数式,另,一端为由及,构成的代数式,.,分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式,若,是,只要把端点,则换变量后的端,改成,，,改成,点表达式为辅助函数,.,25,例,1.,证明方程,x,5,5,x,+,1,=,0,有且仅有一个小于,1,的,正实根,.,证,:,1),存在性,.,设,f,(,x,),=,x,5,5,x,+,1,则,f,(,x,),在,0,1,连续,且,f,(0),=,1,f,(1),=,3.,由介值定理知存在,x,0,(0,1),使,f,(,x,0,),=,0,即方程有小于,1,的正根,x,0,.,2),唯一性,.,假设另有,x,1,(0,1),x,1,x,0,使,fx,1,),=,0,f,(,x,),在以,x,0,x,1,为端点的区间满足罗尔定理条件,在,x,0,x,1,之间,至少存在一点,使,f,(,),=,0.,但,f,(,x,),=,5(,x,4,1),0,x,(0,1),矛盾,故假设不真,!,机动目录上页下页返回结束,5.2.,例题选讲,26,例,2.,设,f,(,x,),显然,(,x,),在,0,1,上满足罗尔定理条件,因此至少存在,(0,1),使得,(,),=,n,n,1,f,(,),+,n,f,(,),=,0,即,nf,(,),+,f,(,),=,0,机动目录上页下页返回结束,求证存在,(0,1),使,nf,(,),+,f,(,),=0.,辅助函数,辅助函数,辅助函数,辅助函数,在,0,1,连续，,(0,1),可导，且,f,(1),=,0,证：,设辅助函数,(,x,),=,x,n,f,(,x,),如何想出来的？,27,证,:,取点,x,0,(,a,b,),再取异于,x,0,的点,x,(,a,b,),对,f,(,x,),在以,x,0,x,为端点的区间上用拉氏中值定理,得,f,(,x,),f,(,x,0,),=,f,(,)(,x,x,0,),(,界于,x,0,与,x,之间,),f,(,x,),=,f,(,x,0,),+,f,(,)(,x,x,0,),f,(,x,0,),+,f,(,),x,x,0,f,(,x,0,),+,M,b,a,),令,K,=,f,(,x,0,),+,M,(,b,a,),则对任意,x,(,a,b,),f,(,x,),K,即,f,(,x,),在,(,a,b,),内有界,.,例,3.,设函数,f,(,x,),在,(,a,b,),内可导,且,证明,f,(,x,),在,(,a,b,),内有界,.,f,(,x,),M,28,例,4.,设函数,f,(,x,),在,0,1,上连续,在,(0,1),内可导,且,f,(0),=,0,但当,x,(0,1),时,f,(,x,),0,求证对任意,自然数,n,必有,(0,1),使,nf,(,),=,f,(1,),f,(,),f,(1,),分析,分析分析,分析,:,:在结论中换,为,x,得,nf,(,x,),=,f,(1,x,),积分,积分积分,积分,n,ln,f,(,x,),=,ln,f,(1,x,),+,ln,C,f,(,x,),f,(1,x,),f,n,(,x,),f,(1,x,),=,C,显然,F,(,x,),在,0,1,上满足罗尔定理条件,因此必有,(0,1),使,F,(,),=,0,即,nf,n,1,(,),f,(,),f,(1,),f,n,(,),f,(1,),=,0,因,f,n,(,),f,(1,),0,所以,nf,(,),=,f,(1,),f,(,),f,(1,),证,:,设辅助函数,F,(,x,),=,f,n,(,x,),f,(1x,),不定积分,不定积分不定积分,不定积分,求积分常数法,!,29,例,5.,设函数,f,(,x,),在,0,1,上二阶可导,且,f,(0),=,f,(1),=,0,证明至少存在一点,(0,1),使,f,(,),=,2,f,(,),.,1,分析,分析,分析分析,:,在结论中将,换为,x,得,f,(,x,),=,2,积分,积分积分,积分,ln,f,(,x,),=,2 ln(1,x,),+,ln,C,f,(,x,)1,x,(1,x,),2,f,(,x,),=,C,证,:,设辅助函数,F,(,x,),=,(1,x,),2,f,(,x,),因,f,(,x,),在,0,1,上满足罗尔定理条件,所以存在,(0,1),使,f,(,),=,0.,因此,F,(,x,),在,1,上满足,罗尔定理条件,故必存在,(,1),使,F,(,),=,0,即有,f,(,),=,2,f,(,),(,1),(0,1)1,不定积分,求积分常数法,!,30,例,6.,设,f,(,x,),在,a,b,上连续,在,(,a,b,),内可导,且,0,a,b,证明存在,(,a,b,),使,2,af,(,b,),bf,(,a,),=,f,(,),f,(,),ab,(,b,a,),证,:,方法,1,.,因为所证结论左边为,b,a,ab,(,b,a,),af,(,b,),bf,(,a,),=,ba,f,(,b,),f,(,a,),设辅助函数,x,F,(,x,),=,f,(,x,),由于,F,(,x,),在,a,b,上满足拉氏中值定理条件,且,F,(,x,),=,xf,(,x,),f,(,x,),易推出所证结论成立,.,x,2,31,方法,2.,令,2,af,(,b,),bf,(,a,),=,f,(,),f,(,),ab,(,b,a,),=,k,ab,(,b,a,),af,(,b,),bf,(,a,),af,(,b,),bf,(,a,),=,kab,(,b,a,),af,(,b,),kab,2,=,bf,(,a,),ka,2,b,ba,f,(,b,),kb,2,f,(,a,),ka,2,=,因此可考虑设辅助函数,x,(),kx,F,(,x,),=,f x,2,由于,F,(,x,),在,a,b,上满足罗尔定理条件,(,a,b,),使,F,(,),=,0,由此可推得,故存在,k,=,(,),x,=,f,(,x,),x,故所证结论成立,.,常数变易法,32,*,例,7.,设,f,(,x,),在,a,b,上连续,在,(,a,b,),内可导,且,f,(,a,),=,f,(,b,),=,1,证明存在,(,a,b,),使,e,f,(,),+,f,(,),=,1,证,:,转化为证 即证,e,f,(,),+,e,f,(,),=,e,设辅助函数,F,(,x,),=,e,x,f,(,x,),由于它在,a,b,满足 拉氏中值定理条件,因此存在,(,a,b,),使,e,x,f,(,x,),x,=,=,(,e,x,),x,=,F,(,b,),F,(,a,),=,F,(,),b,a,=,e,f,(,),+,f,(,),b,a,e,e,ba,33,再对,(,x,),=,e,x,转化为证,e,f,(,),+,e,f,(,),=,e,在,a,b,上用拉氏中值定理,则存在,(,a,b,),使,=,e,b,a,e,e,ba,因此,(,a,b,),e,f,(,),+,e,f,(,),=,e,e,f,(,),+,f,(,),e,b,e,a,b,a,=,(,a,b,),34,*,例,8.,设,f,(,x,),在,0,1,上连续,在,(0,1),内可导,且,f,(0),=,0,f,(1),=,1,试证对任意给定的正数,a,b,存在,(0,1),使,a,证,:,转化为证,=,1,f,(,),f,(,),1,a,+,b,+,a,+,b,因,0,a,a,+,b,f,(1),a,+,b,由连续函数定理可知,存在,(0,1),使,f,(,),=,a,a,+,b,f,(,),f,(,),b,即,f,(0),0,时,(,x,),=,1,+,1,(,42,(,x,),=,1,2,2,1,=,1,2,x,+,1,x,(,x,+,1),1,0,2,2,(,x,+,1,),2,1,24,x,+,1,40,又因,(0),=,4,1,(,+,),=,lim,11,(,x,+,x,(,x,+,1),x,),(,x,),0,(,x,),=,1,+,1,(,42,x,(,x,+,1),x,),x,42,x,(,x,+,1),+,x,lim,42,x,+,=,1,+,1,2,=,1,及,(,x,),在,0,+,),单调递增,于是,1,(,x,),1,.,42,说明,:,中值定理只告诉位于区间内的中值存在,一般,不能确定其值,此例也只给出一个最好的上下界,.,41,构造的辅助函数方法举例,.,迫切问题：,上面例子中构造的辅助函数如何想出来的？,作业：将上面例子中所构造的辅助函数 自己全部练习构造一遍！,42,2,4,1,4,2,1,3,=,4,思考与练习,1.,填空题,1),函数,f,(,x,),=,x,4,在区间,1,2,上满足拉格朗日定理,条件,则中值,=,3,15,4,.,2),设,f,(,x,),=,(,x,1)(,x,2)(,x,3)(,x,4),方程,f,(,x,),=,0,有,3,个根,它们分别在区间,(1,2),(2,3),(3,4),机动目录上页下页返回结束,上,.,43,2.,设,f,(,x,),C,0,且在,(0,),内可导,证明至少存,在一点,(0,),使,f,(,),=,f,(,)cot,.,提示,:,由结论可知,只需证,f,(,)sin,+,f,(,)cos,=,0,即,f,(,x,)sin,x,=,0,x,=,验证,F,(,x,),在,0,上满足罗尔定理条件,.,设,F,(,x,),=,f,(,x,)sin,x,机动目录上页下页返回结束,44,3.,若,f,(,x,),可导,试证在其两个零点间一定有,f,(,x,),+,f,(,x,),的零点,.,提示,:,设,f,(,x,1,),=,f,(,x,2,),=,0,x,1,x,2,欲证,:,(,x,1,x,2,),使,f,(,),+,f,(,),=,0,只要证,e,f,(,),+,e,f,(,),=,0,亦即,ef,(,x,),x,=,=,0,x,作辅助函数,F,(,x,),=,e,x,f,(,x,),验证,F,(,x,),在,x,1,x,2,上满足,罗尔定理条件,.,机动目录上页下页返回结束,45,