机器人动力学课件PPT.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,机器人动力学,Dynamics of Robotics,研究机器人的运动特性与力的关系。,有两类问题：,动力学正问题：,各关节的驱动力（或力矩），求解机器人的运动（关节位移、速度和加速度），,主要用于机器人的仿真,。,动力学逆问题：,已知机器人关节的位移、速度和加速度，求解所需要的关节力（或力矩），,是实时控制的需要,。,1,2025/4/17 周四,机器人动力学,Dynamics of Robotics,5.1,工业机器人速度分析,5.2,工业机器人静力分析,5.3,机械手动力学方程,2,2025/4/17 周四,5.1,工业机器人速度分析,5.1.1,雅可比矩阵,两空间之间速度的,线性映射关系,雅可比矩阵（简称雅可比）。它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的,传动比,，同时也可用来表示两空间之间,力的传递关系。,v,x,v,y,存在怎样的关系,3,2025/4/17 周四,首先来看一个两自由度的平面机械手，如图,5,-,1,所示。,图,5,-1 两自由度平面机械手,容易求得,将其微分得,写成矩阵形式,4,2025/4/17 周四,简写成：,dx=Jd,。,式中,J,就称为机械手的雅可比（,Jacobian）,矩阵,，反映了关节空间微小运动,d,与手部（手爪）作业空间微小位移,dx,之间的关系。,机器人末端在操作空间的位置和方位可用末端手爪的位姿,X,表示，是关节变量的函数,是,n,个关节变量的函数，可写成：，并且是一个,6,维列矢量。,反映了操作空间的微小运动，由机器人末端微小线位移和微小角位移,(,微小转动,),组成。可写为,式中：,是,6,n,的偏导数矩阵，称为,n,自由度机器人速度雅可比矩阵。,5,2025/4/17 周四,或,其中,:v,机器人手部在操作空间中的广义速度，,(q),速度雅可比矩阵,机器人关节在关节空间中的速度,从上式可以看出，对于给定的关节变量,q,，,雅可比矩阵是从关节空间的关节速度向操作空间的广义速度映射的线性变换。,5.1.2,机器人速度分析,6,2025/4/17 周四,若令,J,1,，J,2,分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二列矢量，即,由上式可知，,分别是由,产生的手部速度的分量。而,J,1,是在,时，也就是第二个关节固定时，仅在第一个关节转动的情况下，手部平移速度在基础坐标系上表示出的向量。同样，,J,2,是第一关节固定时，仅在第二关节转动的情况下，手部平移速度在基础坐标系上表示出的向量。,7,2025/4/17 周四,因此，机器人速度雅可比的每一列表示其它关节不动而某一关节运动产生的端点速度。,8,2025/4/17 周四,例,5-1,如图所示二自由度机械手，手部沿固定坐标系,Xo,轴正向以,1.0 m/s,速度移动杆长为,。设在某瞬时,求相应瞬时的关节速度。,图,5,-1 两自由度平面机械手,相应的关节速度：,因此，在该瞬时两个节的位置分别为,速度分别为,，手部瞬时速度为,1m/s,。,因此,逆雅可比矩阵,9,2025/4/17 周四,矩阵,A,可逆,且,A,可逆时，,n,阶方阵,A,可逆的充分必要条件是,A,为非奇异矩阵，而且,10,2025/4/17 周四,对于关节空间的某些形位，机械手的雅可比矩阵的秩减少，这些形位称为操作臂（机械手）的奇异形位。,当,2,=0,或,2,=180,时，机械手的雅可比行列式为0，矩阵的秩为1，因此处于奇异状态。在奇异形位时，,机械手在操作空间的自由度将减少。,11,2025/4/17 周四,奇异位形：,由于雅可比矩阵,J(q),是关节变量,q,的函数,总会存在一些位形,在这些位形处,|J(q)|=0,即,J(q),为奇异矩阵,这些位形就叫奇异位形。,一般，奇异位形有两种类型：,工作域边界上的奇异：,这种奇异位形出现在机器人的机械手于工作区的边界上时，也就是在机器人手臂全部展开或全部折回时出现。这种奇异位形并不是特别严重，只要机器人末端执行器远离工作区边界即可。,工作域内部奇异：,这种奇异位形出现在两个或多个关节轴线重合时，这种奇异位形很难处理，因为它可能出现在工作区的任何位置，并且机器人的末端执行器在这种奇异位形附近的可操作性会变坏，这样极大的减少了机器人的可行区。,12,2025/4/17 周四,对机器人通过奇异位形时轨迹控制方法的研究可以大致分为如下四种方法,:,1),回避机器人操作器的奇异位形,预测奇异位形的可能出现位置,并避免它。理论上对给定的机器人操作器只要令其雅可比行列式的值等于零，即可找到它的奇异位形。,2),根据机构的各向同性原理设计机器人操作器,通过设计上的优化，能使得机器人机构在一个比较大的区域内保持各向同性，即在各个方向的可能误差和施加的力都是相同的。,3),利用降秩雅可比矩阵求近似反解,在奇异位形附近利用矩阵论中的,伪逆矩阵理论,，通过定义一种伪逆雅可比矩阵，将雅可比矩阵降秩处理，求解近似反解。,4),利用具有冗余度的机器人操作器,使机器人通过奇异位形时给机械臂增加多余的关节。,13,2025/4/17 周四,定义：设,，若,，且同时有,则称,A,+,是,A,的伪逆矩阵。,14,2025/4/17 周四,5,.2,机器人的静力学,y,0,x,0,存在怎样的关系,用矢量,来标记力，用,表示对于所定义坐标系各轴,x,y,z,的分力。用矢量,来标记力矩，以,表示作用于任何定义的坐标系（而不是基坐标）各轴的分力矩。,5.2.1,静力和静力矩的表示,15,2025/4/17 周四,5.2.2,虚功原理,虚功原理,：,约束力,不做功的力学系统，若在某一位置已处于静止状态，则其能够保持静止的必要与充分条件是，所有主动力在该位置的任意,虚位移,上所作的虚功之和等于零。,已知作用在杠杆一端的力,，试用虚功原理求作用于另一端的力,。设杆长为,已知。,杠杆及作用在它两端上的力,16,2025/4/17 周四,对于一个系统来说，限制系统中质点运动的各种条件就是系统的约束，而约束力是使系统动作受到制约的力。,另一个概念就是虚位移，这里所说的虚位移是描述作为对象的系统力学结构的位移，也就是当系统的质点位于某个位置的时候，为约束所允许的可能实现的任何无限小的位移，具有：,无限小性质不破坏约束与是否发生实际运动无关，不同于随时间一起产生的实际位移，,为此用,“,虚,”,一词来表示。虚位移在数学上用变分符号,表示，实位移在数学上用微分符号,d,表示。,17,2025/4/17 周四,5.2.3,机器人静力关系式的推导,可用虚功原理证明。,以图所示的二自由度机械手为研究对象，要产生图所示的虚位移，推导出图,b,所示各力之间的关系。,证明,:,假设,如果施加在机械手上的力为,F,，以机械手为研究对象，这个力成为手爪力的反力（,-F,来表示）时，机械手的虚功可表示为：,18,2025/4/17 周四,应用虚功原理，则可得到：,手爪的虚位移,和关节虚位移,之间的关系，用雅克比矩阵表示为,可得：,由于这一公式对任意的,都成立，因此,机械手静力学关系式：,式中，,广义关节力矩，,F,机器人手部端点力,，,与手部端点力和广义关节力矩之间力传递有关，称为,机器人力雅可比。机器人力雅可比正好是速度雅可比的转置。,19,2025/4/17 周四,若,J,是,关节空间,向,操作空间,的映射（微分运动矢量），则 把,操作空间的广义力矢量,映射到,关节空间的关节力矢量,。,关节空间,操作空间,雅可比,J,力雅可比,J,T,20,2025/4/17 周四,上式表明关节的力可由手坐标系中期望的力和力矩决定。由于前面对速度的分析已得知速度雅可比矩阵，所以控制器可根据手坐标系中的期望值计算关节力和力矩，并对机器人进行控制。显然，随着机器人构型的变化，雅可比矩阵也随之发生变化。因此当机器人进行运动时，机械手在不断的对工件进行操作，为了使机械手能够持续施加同样的力，关节处的力矩也要随之发生变化，这时需要控制器根据这个关系式不断的计算所需的关节力矩。,21,2025/4/17 周四,从操作臂手部端点力,F,与广义关节力矩 之间的关系式 可知，操作臂静力计算可分为两类：,已知外界对手部作用力,F,，求满足静力平衡条件的关节驱动力矩（）,已知关节驱动力矩 ，确定机器人手部对外界环境的作用力,F,或负荷质量（逆解，即解 ）,当自由度,n6,时，力雅可比可能不是方阵，没有逆解，一般情况下不一定能得到唯一的解。,22,2025/4/17 周四,例,3,：一个,6,自由度机器人的雅可比矩阵数值如下。为了在部件上钻孔，希望沿手坐标系,Z,轴产生,1N,的力，并对于,Z,轴产生,20N/m,的力矩，求需要的关节力和力矩。,解：,23,2025/4/17 周四,解：,由前面的推导知,例,2,:,由图所示的一个二自由度平面关节机械手，已知手部端点力,，忽略摩擦，求,时的关节力矩。,所以得：,图3-18 关节力和操作力关系,y,0,x,0,根据,24,2025/4/17 周四,所以,在某一瞬时,则与手部端点力相对应的关节力矩为,25,2025/4/17 周四,5.2.4,运动学、静力学和动力学的关系,运动学,动力学,静力学,26,2025/4/17 周四,Robotics,动力学,5.3,机器人动力学分析,5.3.1,拉格朗日方程,Lagrange,方程,i=1,，,2,，,3,，,.,n,系统选定的广义坐标（动能和势能的坐标）,广义坐标,对时间的一阶导数,广义力,作用在第,i,个坐标上的力或力矩,n,为连杆数目,27,2025/4/17 周四,Robotics,动力学,5.3.1,拉格朗日方程,两杆机器人如图。,对连杆,1,：,对连杆,2,：,l,1,l,2,28,2025/4/17 周四,Robotics,动力学,5.3.1,拉格朗日方程,二杆动能和势能分别为：,l,1,l,2,29,2025/4/17 周四,Robotics,动力学,5.3.1,拉格朗日方程,系统的总动能和势能及拉格朗日函数分别为：,分别求得,注意：这里只求显因变量的偏导数,30,2025/4/17 周四,31,2025/4/17 周四,32,2025/4/17 周四,Robotics,动力学,5.3.1,拉格朗日方程,写成矩阵有：,惯性力 向心力 哥式力 重力,33,2025/4/17 周四,5.3.2,牛顿,-,欧拉法,式中,等的含义与拉格朗日法的一样；,i,为连杆代号，,n,为连杆数目,34,2025/4/17 周四,牛顿,-,欧拉法求解动力学方程,首先求取动能,K,位能,P,消耗能,D,外力作的功,W,动能,K,Robotics,动力学,l,1,l,2,35,2025/4/17 周四,牛顿,-,欧拉法求解动力学方程,(,续,),动能,K,位能,P,系统耗能,D,外力做的功,W,Robotics,动力学,l,1,l,2,36,2025/4/17 周四,当,时，,37,2025/4/17 周四,当 时,38,2025/4/17 周四,牛顿,-,欧拉法求解动力学方程,(,续,),在不考虑消耗的能量时，即,c,1,=,c,2,=0,则该结果与拉格朗日法的结果相同。,Robotics,动力学,39,2025/4/17 周四,