2025届广东省华南师大附中高三11月综合（二）-数学（含答案）.docx

2
025 届高三综合测试（二）
数
学
满分：150 分 时间：120 分钟
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
a = 30.1 ，b = 0.1
3
， c = log3 0.1，则
1
2
．已知
（
（
）
）
A． a > c > b
B． a > b > c
C．b > a > c
D． c > b > a
．设 xÎR ，向量 a x,1 ，b = (4, x ，则 x 2 是 a//b 的
=
( )
)
=
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
+ (a −1)x + > 0 ”是假命题，则实数 a 的取值范围是
C．充要条件
1
3
4
．已知命题“"xÎR ，使
2
x
2
（
（
）
）
2
A． −1< a < 3
B． −1£ a £ 3
C． a < −1或 a > 3
D． a £ −1或 a ³ 3
3
cos x +1
．函数 f (x) =
的部分图象大致是
x
A．
B．
C．
D．
．若 f x
( )= ( + )2
x
a
−
log2
(2x + )是偶函数，则 的值为
1
a
（
）
5
6
1
1
2
A．
B．
C．0
D．1
4
．已知某简谐振动的振动方程是 f (x) = Asin(wx +j) + B(A > 0,w > 0) ，该方程的部分图象如图．经测量，
振幅为
．图中的最高点 D 与最低点 E，F 为等腰三角形的顶点，则振动的频率是
（
）
3
试卷第 1 页，共 5 页
{
#{QQABJLYYACEswgggiggwAkBAJaAAACAQgC4LAAQQ23AkCCggAoQQkkhoCCAgCJcYggEGxhQBCADMOIAAARBjSiBZFFAABFAIAA==}#}#}}

A．0.125Hz
B．0.25Hz
C．0.4Hz
D．0.5Hz
1
=
+
=
+
相切，则 2a + b 的最大值为
7
8
．已知直线 y ax b 与曲线 y
x
（
（
）
）
x
1
5
A．
B．2
C．
D．5
2
2
1
3
．已知函数 f (x) = ln x + ，数列{a }的前 n 项和为 S ，且满足 a = ,an+1 = f (a ) ，则下列有关数列{a }的
n
n
1
n
n
x
2
叙述正确的是
A． a7 > a6
B． a9 <1
C． S10 <12
D． S13 >16
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
．设 z ， z 为复数，且 z z ¹ 0 ，则下列结论正确的是
（
）
9
1
2
1
2
A． z1z2
=
z1 z2
B． z + z = z + z
2
1
2
1
C．若 z1 = z2 ，则 z1
2
=
z
2
2
D． z z = z z
×
×
1
2
1
2
1
0．已知函数 f (x)= tan x + tan x ，则下列结论中正确的有
（
）
p
A． f (x)的最小正周期为
2
p
B．点 (− ,0) 是 f (x)图象的一个对称中心
2
C． f (x)的值域为[0,+¥ )
D．不等式 f (x) > 2 的解集为 (p + kp,p + kp )(k ÎZ)
4
2
1．已知函数 f (x) esinx ecosx ，其中 e是自然对数的底数，下列说法中正确的是
=
−
1
（
）
æ
è
π ö
A． f x 在ç0, ÷ 上是增函数
2 ø
æ π
è 4
ö
ø
( )
( )
B． f x 的图象关于点ç ,0÷ 中心对称
( ) (0,p)
C． f x 在
上有两个极值点
( )
<
e−cosx0
( ) +
f x
a < −1
D．若 x 为 f x 的一个极小值点，且
a
tanx0 恒成立，则
0
试卷第 2 页，共 5 页
{
#{QQABJLYYACEswgggiggwAkBAJaAAACAQgC4LAAQQ23AkCCggAoQQkkhoCCAgCJcYggEGxhQBCADMOIAAARBjSiBZFFAABFAIAA==}#}#}}

三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
1
2．若集合 A ={x | x2 + ax + b = 0}， B ={x | x2 + cx + 6 = 0}， A B = {2}， A
3．如图，为测量山高 MN ，选择 A 和另一座山的山顶C 为测量观测点. 从 A 点测得 M 点的仰角
MAN = 45°，C 点的仰角 ÐCAB = 30° 以及 ÐMAC = 75°；从C 点测得 ÐMCA = 60° ，已知山高 BC = 50m ，
B
=
B ，则 a + + =
b
c
.
Ð
则山高 MN
=
m .
1
4．数学能为自然界的和谐、生命现象的和谐等找到最佳论证．在大自然中一些植物的叶子有着明确的数
2
(
a − 2x = 2x3 ，该曲线即为蔓
)
学方程式，如图①蔓叶中从一点出发散开的叶脉所形成的曲线，可近似为
y
=
叶线，其图象如图②，若圆 x2 4x
−
+ 3 +
y
2
=
0与该蔓叶线恰有两个交点，则
a
．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
æ
è
3 ö
4 ø
(
)× a .
1
5．（13 分）已知向量 a = (cos x,−1),b = çsin x, ÷ ，设函数 f (x) = 2 a + b
é
ë
π πù
4 4û
( )
（
1）当 xÎê− , ú 时，求函数 f x 的值域；

A
5
2
2）已知在 △ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ，若 a 2 ，且 f ( )
=
=
，求△ABC 面积的
（
2
最大值.
试卷第 3 页，共 5 页
{
#{QQABJLYYACEswgggiggwAkBAJaAAACAQgC4LAAQQ23AkCCggAoQQkkhoCCAgCJcYggEGxhQBCADMOIAAARBjSiBZFFAABFAIAA==}#}#}}

1
6．（15 分）在四棱锥 P − ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PC ⊥ PD ，二面角 A − CD − P 为直
二面角．
（
（
1）求证： PB ⊥ PD ；
2）当 PC = PD 时，求直线 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值．
2
2
1
7.（15 分）设 A ，B 分别是直线 y =
x 和 y = −
x 上的动点，且| AB |= 2 ，设O 为坐标原点，动点 P
2
2
满足OP = OA + OB ，记 P 的轨迹为曲线C .
（
（
1）求C 的方程；
2）已知点Q
为曲线C
F ,F 分别为左、右焦点，过点Q 的直线 交曲线 于另一点 M ，若
l
C
的上顶点，点
1
2
S△QMF = S
，
求 的方程.
l
2

△QF1F
2
8．（17 分）已知函数 f (x)= sin x ln(1+ x) ax,aÎR .
+
−
1
f (x)
在区间(−1,π)内极值点的个数；
恒成立，求 a 的值；
1）当 a = 0 时，求
（
（
（
( ) £
f x
2）若
0
2n
1
i −1
2n −1
n −1
å
n ³ 2，nÎ N*，求证： sin
< 2ln
− ln 2 .
3）
i=n+1
试卷第 4 页，共 5 页
{
#{QQABJLYYACEswgggiggwAkBAJaAAACAQgC4LAAQQ23AkCCggAoQQkkhoCCAgCJcYggEGxhQBCADMOIAAARBjSiBZFFAABFAIAA==}#}#}}

1
9. （17 分）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一，
就是十进制；满十六进一，就是十六进制等等。一般地，若 k 是一个大于 1 的整数，那么以 k 为基数的 k 进
制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式 anan−1...a1a0(k) an ,an−1,...,a1,a0 Î{0,1, 2,...,k −1},an 0 ， 进
制 的 数 也 可 以 表 示 成 不 同 位 上 数 字 符 号 与 基 数 的 幂 的 乘 积 之 和 的 形 式 ， 如
anan−1...a1a0(k) = ank + a k + ...+ a k + a . 例如十进制数 25 = 2´32 + 2´3+1，所以 25 在三进制下可写为
(
¹ ) k
n
n−1
n−1
1
0
2
21 .
(3)
1）设正整数 m 在三进制下的各位数字之和为 S (m)
（
i）将满足 S (m) = 3的数从小到大排成一列，直接写出该列数的前四个数；
（
ii）在 1 至 2025 中任选一个正整数 m ，求 S (m)为 的倍数的概率.
3
（
a
2 ） 已 知 正 项 数 列 {a } 的 前 n 项 和 为 S ， a =
( Î N* ,a £ 31) ， 且 S S + S + 2a a = a2 ， 记
n−1 n−1
(
)
（
a
n
n
1
n
n
2
é
ë
1ù
é
ë
1ù
é
ë
1ù
M = êa + ú + êa + ú + ...+ êa + ú + ...（其中[x]表示不大于 x 的最大整数），求 M 的值.（用 a 表示）
1
2
n
2
û
2
û
2
û
试卷第 5 页，共 5 页
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2
025届高三综合测试（二）数
学 参考答案
1
7
．B
2．A
3．D
4．A
5．A
6．B
7．C
8．C
1
1
.【详解】设切点横坐标为 m(m ¹ 0)，求导： y = x +
得 y' =1−
，
x
x
2
ì
ï
1
ì
1
a =1−
a =1−
ï
ï
2
ï
m2
m
由题意可得 í
解得： í
，
1
2
ï
ï
am + b = m +
b =
ï
ïî
î
m
m
2
2
2
æ
1
1
ö
5
2
所以 2a + b = −
+
+ 2 = −2ç
−
÷ +
，
m
2
m
è m 2 ø
5
所以 m = 2 时， 2a + b 的最大值为
.
2
故选:C
1
x −1
8
.【详解】由 f (x) = ln x + ，求导得 f
'
(x) =
> 0,(x >1) ，
x
x
2
3
f (x)> f (1)=1。 a1 =
>1，
\
( )
f x
(1,+¥)单调递增，故
在
2
\a2 f a
= ( )> ( ) =
f 1
1 ，迭代下去，可得
>1。故
a
n
B
错误；
1
3
2
3
2
2
3
1
2
2
3
7
由 a1
=
，
\a = f (a ) = ln
2
1
+
<
+
=
，故
a < a
2
1
6
3
迭代下去，可得1< an < an−1 <¼< a1
=
，数列
{a }单调递减。
n
2
3
2
7
6
故 A 错误； S < a 9a2 <
+
+
×9 =12 ，故 C 正确
10
1
3
2
7
6
S < a +12a <
+

×12 =15.5，故 D 错误．
13
1
2
故选： C ．
9
．ABD
【
详解】设 z = a + bi ， z = c + di (a,b,c,d ÎR) ，
1
2
对于选项 A，因为 z z = (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i ，
1
2
所以
=
(ac − bd)2 + (ad
+
bc)2
=
a2c2
+
b2d
2
+
a2d
2
+
b2c2
，
z z
1
2
且
=
a2
+
b2
c2
+
2
=
a2c2
+
b2d

2
+
a2d
2
+
b2c2
，所以 z z = z z ，故 A 正确；
z1 z2
d
1
2
1
2
对于选项 B，因为 z + z = (a + c) + (b + d)i ，
=
−
，
= c −
，
z1
a
bi
z2
di
1
2
答案第 1 页，共 11 页
{
#{QQABJLYYACEswgggiggwAkBAJaAAACAQgC4LAAQQ23AkCCggAoQQkkhoCCAgCJcYggEGxhQBCADMOIAAARBjSiBZFFAABFAIAA==}#}#}}

则
+
=
+
−
+
，
+
=
+
−
+
，
z1 z2 (a c) (b d)i z1 z2 (a c) (b d)i
所以 ，故 B 正确；
+
=
+
z1 z2 z1 z2
对于选项 C，若 z = z ，例如 z =1+ i ， z =1− i ，满足 z = z = 2 ，
1
2
1
2
1
2
但 z1
2
= (1+ i)2 = 2i ， z2
2
= (1− i)2 = −2i ，即 z1
2
¹ z2
2
，故 C 错误；
对于选项 D，因为 z × z = (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + ad + bc)i ，
1
2
所以
所以
×
=
−
−
+
，
×
=
−
−
=
−
−
+
，
z z (ac bd) (ad bc)i z z (a bi)(c di) (ac bd) (ad bc)i
1
2
1
2
z z z z
×
=
×
，故 D 正确.
1
2
1
2
故选：ABD.
1
0．CD
ì
2 tan x, xÎ[kp,p + kp),k ÎZ
ï
2
( ) =
+
= í
ï
( )
【
详解】 f x tan x tan x
，作出 f x 的图象，如图，观
0
, xÎ(−p + kp,kp),k Î Z
ï
î
2
察图象，
f (x)的最小正周期为p ，A 错误；
( )
B
f x 的图象没有对称中心， 错误；
( )
[ +¥ )
，C 正确；
f x 的值域为 0,
p
( ) >
Î p + p
k )(k ÎZ) 时 2 tan x > 2 ，得 tan x >1，解得
不等式 f x 2 ，即 x [k ,
2
p
p
+
kp < x < + kp,k ÎZ ，
4
2
p
p
( ) >
+ kp, + p ÎZ) ，D 正确.
所以 f x 2 的解集为 (
k )(k
4
2
答案第 2 页，共 11 页
{
#{QQABJLYYACEswgggiggwAkBAJaAAACAQgC4LAAQQ23AkCCggAoQQkkhoCCAgCJcYggEGxhQBCADMOIAAARBjSiBZFFAABFAIAA==}#}#}}

故选：CD
1．ABD
详解】由题设， f ¢(x) = esin x cos x + ecos x sin x ，
π ö π ö
1
【
æ
è
æ
è
A：在ç0, ÷ 上 f ¢(x)> 0 ，故 f (x) 在ç0, ÷ 是增函数，A 正确；
2 ø
2 ø
π
π

π
sin(x+
)
cos(x+
)
B：
g(x) = f (x
+
=
−
，
)
e
4
e
4
4
π
π
π )
π
则
g(−x) = esin(−x+
)
− ecos(−x+
)
= e−sin(x−
− ecos(x−
)
4
4
4
4
π
π
π
π
π
π
π
cos( +x−
)
− esin(
+x−
)
= ecos(x+
)
− esin(x+
)
，即 f (x + ) 是奇函数，
=
e
= −g(x)
2
4
2
4
4
4
4
æ

è
π
ö
ø
图象关于点ç ,0÷ 中心对称，故 B 正确；
4
cos x
C：若在(0,π)上有极值点，令 f ¢(x) = 0 则有
= −ecos x−sin x < 0 ，
sin x
而sin x > 0 ，此时 cos x < 0 ，所以极值点在æç ,π÷ 上，
π
ö
ø
è
2
( )= ¢( )
¢
令 h x
f
x ，有 h (x) = esin x (cos2 x − sin x) + ecos x (cos x − sin2 x) ，
æ
è
π 3π ö
2 4 ø
< 0 ，即 h¢(x) < 0 ， f ¢(x) 单调递减；
∴
在ç
,
÷ 上，
2
−
< ，
−
2
cos x sin x 0 cos x sin x
π
2
2
3
π
2
又 f ¢( ) =1，
¢
−
< ，显然存在 f (x) = 0 ，
¢
f (
)
=
(e
2
−
e
2
)
0
2
4
2
æ
3π
ö
在ç ,π÷ 上， sin x < cos x 且 cos x < 0 ，sin x > 0 ，故sin x < −cos x ，
è
4
ø
∴
<
ecos x <1< esin x
，则 cos x esin x > sin x ecos x
，
0
即 f ¢(x) = esin x cos x + ecos x sin x < 0 ，∴ f ¢(x) 不存在零点；
(
)
C
综上， f (x) 在 0,π 上只有一个极值点，故 错误；
D：易知 f (x)为周期函数，T
=
2π
是其一个周期，
æ
è
π 3π ö
÷ ，使得 f (x1 ) = 0 ，
由 C 知： $x Îç
,
¢
1
2
4
ø
æ
è
π
ö
ø
f (x) = esin x − ecos x 在ç , x ÷ 上 f ¢(x) > 0 ，即 f (x) 递增，
∵
1
2
æ
è
3π ö
在ç x , ÷ 上 f ¢(x) < 0 即 f (x) 递减，即 f x 为 f (x) 在 0,π 上的极大值，也是最大值，
( )
(
)
1
1
4
ø
又由 B 项的结论： $x2
Î(−π,0
)使得 f (x2 )为 f (x) 在(−π,0)上的极小值，也是最小值，
答案第 3 页，共 11 页
{
#{QQABJLYYACEswgggiggwAkBAJaAAACAQgC4LAAQQ23AkCCggAoQQkkhoCCAgCJcYggEGxhQBCADMOIAAARBjSiBZFFAABFAIAA==}#}#}}

π
则 x0
=
x2
+
2kπ k
( Î )，且 x1 + x2
Z
=
， f (x )+ f (x ) = 0 ，
1
2
2
π
不妨令 k = 0 ，则 x = x = − x1 ，
0
2
2
( )
f x
esin x − ecos x
令 g(x) =
+ tan x ，则 ( )
=
+
g x
min
tan x0
ecos x0
0
min
ecos x0
æ
è
π
ö
ø
ecos x1 − esin x1
1
即 a
<
g(x)min
=
g (x2 )
=
g
−
x1 ÷ =
+
，
ç
2
esin x
tan x1
1
1
而结合 C 知有 −ecos x1 −sin x1
=
，∴
g(x)max = − ，故 < −1，正确.
1
a
tan x1
故选：ABD
1
2．【答案】-5
1
3．【答案】50 3
1
4.【答案】
6
+ 3 3
【
详解】
方法一：根据蔓叶线和圆的对称性，圆 (x 2)2
−
+
y
2
=1与该蔓叶线恰有两个交点，
y > 0
即当
时，圆和蔓叶线的上半部分只有一个交点，
æ
è
a
ö
ø
即方程(4
)
有一个实数根，
3) 有一个实数根，
3x2 − 24x + 9
x − x2 − 3 ç − x÷ = x3 (1< x < 3)
2
a
4x2 − 3x
=
4x − x2 − 3(1<
x
<
即方程
2
1
4
x
2
− 3x
¢(x) =
3) ，则
f
( ) =
令 f x
x − x2 − 3(1<
<
x
，
4
(4
− 3)2
x − x2
1
2 + 3 3 12 − 3 3
¢
(x) =
，则 x
f
0
=
令
或
（舍），
13
13
æ
12 + 3 3 ö
æ
+
ö
1
2
3 3
( )
f x
ç
1,
÷
ç
,3÷
所以
所以
在区间 ç
÷ 内单调递减，在区间ç
÷ 内单调递增，
13
13
è
ø
è
ø
æ
12 + 3 3 ö 6 + 3 3
÷ =
f (x)min = f ç
x →1+ , f (x) → +¥, x → 3− , f (x) → +¥,
，
ç
÷
13
2
è
ø
故当 a = 6 + 3 3 时，圆
x
2
− 4x + 3 + y2 = 0 与该蔓叶线恰有两个交点．
(x − 2)2 + y2 =1与该蔓叶线恰有两个交点，
方法二：根据蔓叶线和圆的对称性，圆
y > 0
即当
时，圆和蔓叶线的上半部分只有一个交点，此时两个曲线相切,故
答案第 4 页，共 11 页
{
#{QQABJLYYACEswgggiggwAkBAJaAAACAQgC4LAAQQ23AkCCggAoQQkkhoCCAgCJcYggEGxhQBCADMOIAAARBjSiBZFFAABFAIAA==}#}#}}

a
4x2 − 3x
=
4x − x2 − 3(1< x < 3)
此时
(8+ a)x2 − (6 + 4a)x + 3a = 0 ， D = 0，
，
2
故
(6 + 4a)2 −12a(a +8) = 0，解得 = ±
a
6
3 3
，当 = −
a
6 3 3
时， x <1不符合题意，
1
2 + 3 3
当 a = 6 − 3 3 时， x =
故答案为： 6 + 3 3 .
符合题意.
13
æ
è
1 ö
4 ø
1
5．【详解】（1） a + b = çcos x + sin x,− ÷ ，
æ
è
1 ö
− ÷×(
1
f (x) 2(a b) × a = 2çcos x sin x,
=
+
+
cos x, 1
− ) =
2cos2 x
+
2sin xcos x
+
………1 分
………3 分
………4 分
4 ø
2
3
æ
è
π ö
4 ø
3
2
=
sin 2x + cos 2x + = 2 sinç2x + ÷ +
，
2
é
ë
π πù
4 4û
π
é π 3πù
ë 4 4 û
\
当 xÎ − , 时， 2x + Î − ,
，
ê
ú
ê
ú
4
é
ù
æ
è
π ö
4 ø
2
\
\
sinç2x + ÷Î ê−
,1ú
………5 分
2
ë
û
æ
è
π ö
3
é1
3ù
2û
2 sinç2x + ÷ +
Î
2 +
，
ê
ú
4 ø
2
ë2
é
ë
1
3ù
2û
( )
+
………6 分
所以函数 f x 的值域为 ê , 2
ú
2
æ
è
π ö
4 ø
3
2
f (x) = 2 sinç2x + ÷ +
（
2）由（1）可知
，
A
5
2
æ
è
π ö
4 ø
2
又 f ( )
=
，所以
sinç A + ÷ =
，
2
2
π
æ π 5π ö
è 4 4 ø
π
AÎ(0,π)
A + Îç ,
A =
，故
因为
，所以
÷
，
………8 分
………9 分
4
2
因为 a 2 ，由 a2 b2 c 可知， 4 b c2 ，
=
=
+
2
=
2
+
由基本不等式得 4 = b2 + c2 ³ 2bc ，
解得bc £ 2 ，当且仅当b = c = 2 时，等号成立，
………11 分
1
1
故三角形面积 bcsin A £ ´ 2´1=1，
2
2
即 ABC 面积最大值为1.
………13 分
1
6．【详解】：（1）证明：由于底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，则 BC ⊥ CD ，
由于二面角 A − CD − P 为直二面角， CD = 平面ACD 平面PCD ,则 BC ⊥ 平面 PCD ，
2
分
答案第 5 页，共 11 页
{
#{QQABJLYYACEswgggiggwAkBAJaAAACAQgC4LAAQQ23AkCCggAoQQkkhoCCAgCJcYggEGxhQBCADMOIAAARBjSiBZFFAABFAIAA==}#}#}}

由于 PD Ì平面 PCD ，则 PD ⊥ BC ，又 PC ⊥ PD ，PC BC = C ，PC 、BC Ì 平面 PBC ，
则 PD ⊥ 平面 PBC ，
5 分
由于 PB Ì 平面 PBC ，则 PB ⊥ PD ．
6 分
（
2）
几何法：取 CD 中点 F ，连 PF 、 BF ，由 PC = PD 知 PF ⊥ CD ，由于二面角 A − CD − P 为
直二面角，则 PF ⊥ 平面 ABC ，于是 PF ⊥ BF ，
8 分
1
由于底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，则 PF = CD =1，
2
BF = CF
2
+ BC2 = 5 ， 于 是 PB = PF
2
+ BF
2
= 6 ， 同 理 PA = 6 ， 于 是
1
AB
2
1
SDPAB
=
AB × PA2 − (
)
2
= 5 ，又 SDABC
=
AB × BC = 2 ，设C 到平面 PAB 距离为 d ，则
2
2
1

1
2
由VP− ABC =VC−PAB 得： S
× PF = SDPAB × d ，于是解得： d =
，
12 分
DABC
3
3
5
2
d
2
1
10
5
5
故直线 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值为：
=
=
´
=
．
15 分
PC
2
5
2
CD
2
向量法：（2）取CD 中点为O ，连结 PO .取 AB 中点为 E ，连结OE .
因为 PC
又因为平面 PCD ⊥ 平面
ABCD .
=
PD ，点O 是CD
中点，所以
PO ⊥ CD .
ABCD
，平面
PCD
平面
ABCD = CD ， PO Ì
平面 PCD
，
所以 PO ⊥ 平面
因为点O 、 E 分别是CD 、 AB 的中点，所以OE//AD ，则OE ⊥ CD
.
1
则OP
=
CD =1，OE AD 2 .
=
=
8 分
2
答案第 6 页，共 11 页
{
#{QQABJLYYACEswgggiggwAkBAJaAAACAQgC4LAAQQ23AkCCggAoQQkkhoCCAgCJcYggEGxhQBCADMOIAAARBjSiBZFFAABFAIAA==}#}#}}

x, y, z
以点O 为坐标原点，OD,OE,OP 所在直线分别为

D − xyz
，
轴，如图建立空间直角坐标系
(
)
D 1,0,0)，C (−1,0,0) B(−1, 2,0)
(
(
)
E (0, 2,0)
A(1, 2,0)
O 0,0,0
P 0,0,1
则
，
，
，
，
，
，
(− −
)
AB = (−2, 0, 0)， PC = (−1,0,−1) .
AP
=
1, 2,1 ，
10
分
(
)
设 n x, y, z 是平面 PAB 的一个法向量，
=
ì
则 í
，取 y =1，则
z = 2
，
ïîn × AB = −2x = 0
(
)
所以 n 0,1, 2 是平面 PAB 的一个法向量
=
.
12
分
n × PC
−2
10
5
直线 PC 与面 PAB 所成角为q ，sinq = cos n,PC =
=
=
分
14
5 ´ 2
n PC
1
5
0
所以直线 PC 与平面 PAB 所成的角的正弦值为
.
15 分
2
2
1
7.【详解】（1）设 A(x1,
x ),B(x ,−
x2 ),P(x, y) ， 1 分
1
2
2
2
2
OP = OA + OB ，\ x = x + x , y =
(x − x ) ． 3 分
1
2
1
2
2
2
2
|
AB |= 2 ，\ 2 = (x − x )2 + (
x1 +
x2 )2
，
5 分，
1
2
2
2
1
2
2
= 2y2
+
x
2
，
x
2
\
动点 P 的轨迹方程 + y2 =1． 6 分
4
（
2）因为 S△QMF = S△QF1F2 ，所以 MF / /QF ，
8 分
1
2
2
3
又
= −
，
kQF2
3
答案第 7 页，共 11 页
{
#{QQABJLYYACEswgggiggwAkBAJaAAACAQgC4LAAQQ23AkCCggAoQQkkhoCCAgCJcYggEGxhQBCADMOIAAARBjSiBZFFAABFAIAA==}#}#}}

ì
1
(
)
y = − 3 x + 3
ï
ï
3
3
(
)
直线 MF1 : y = −
x + 3 ，联立
í
，
ïx2
y
2
3
+
=1
ï
î 4
1
8
3
消去 得， 7x2 + 8 3x = 0 ，解得 x = 0 或 x = −
y
，
12 分
7
1
(
)
当 x = 0 时，
y = − 3 0 + 3 = −1
，
3
æ 8 3
ö
1
1
7
8
3
y − 3ç−
+ 3÷ =
当 x = −
时，
，
ç
÷
7
3
è
7
ø
æ
8 3 1 ö
, ÷ M 0, 1
÷ 或
M ç−
( − )
所以
，
14
分
ç
7
7 ø
è
(
)
又因为直线 l 过点
Q 0,1
，
3
所以 kQM
=
或斜率不存在，
4
3
可求得直线 l 的方程为 y =
x +1或 x
=
0
.
15
分
4
8.【详解】（1）当 a = 0 时， f x sin x ln(1+ x) ,
( ) =
+
1
1
x +1
¢
(x) =

+
, xÎ(−
)
f
cos x
1,π ,
1 分
xÎ(−1,0)， f (x)> 0
f (x)单调递增；
'
2 分
¢( ) = − +
当
当
，
1
π +1
xÎ(0,p )时，
f ' (x)单调递减，而
¢
(0) =
>
f
π
1
<
0
f
2
0，
，
故 f ' (x)在(0,π 内存在唯一的零点 ，满足 f x
)
( )
=
0
分
x
0
'
3
0
xÎ(0, x0
)
( )>
f x
( )
xÎ(x0 ,π)
时， f x 0 ， f x 单调递减。
( )
( )<
'
'
当
时， f x 0 ，
单调递增；当
( ) (−1, x0 )
(
)
x0 ,π
f x
4
所以
在
内单调递增，
单调递减。
分
答案第 8 页，共 11 页
{
#{QQABJLYYACEswgggiggwAkBAJaAAACAQgC4LAAQQ23AkCCggAoQQkkhoCCAgCJcYggEGxhQBCADMOIAAARBjSiBZFFAABFAIAA==}#}#}}

( ) (−1,π)存在
f x
在
故
1
个极大值点，无极小值点。
5
分
（2）Q
f (x)£ 0 在 xÎ(−1,+¥)恒成立，且 f (0)= 0 。
1
x +1
f (x)的极大值点，故 f
(0)= 0
f ¢(x)= cos x +
− a,
\0
'
，\a = 2
6
是
；又
分
1
x +1
当 a = 2 ，此时
f ¢(x)= cos x +
− 2,
显然当푥 ∈ (0, +∞)时， f 1 1 2
¢( )< + − = ，
x
0
f (x)< 0 。
( )
7 分
故 f x 在(0, +∞)上为减函数；此时
xÎ(−1,0)
( )
时，令 g x
( )
=
f x ，
'
当
1