垂径定理课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,赵州石拱桥,1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的,跨度,(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高,(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).,1,垂直于弦的直径,（垂径定理）,2,实践探究,把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,圆是轴对称图形，,判断：任意一条直径都是圆的对称轴（）,X,任何一条直径所在的直线,都是对称轴。,3,如图，,AB,是,O,的一条弦，做直径,CD,，使,CD,AB,，垂足为,E,（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？,（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？,O,A,B,C,D,E,思考,（1）是轴对称图形直径,CD,所在的直线是它的对称轴,（2）线段：,AE=BE,弧：，,4,C,A,E,B,O,.,D,总结：,垂径定理：,垂直于弦的直径平分弦，,并且平分弦对的两条弧。,CD为O的直径,CDAB,条件,结论,AE=BE,AC=BC,AD=BD,5,应用垂径定理的书写步骤,定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.,O,A,B,C,D,M,CDAB,CD是直径,AM=BM,AC=BC,AD =BD.,6,引申定理,定理中的,径,可以是,直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段,。从而得到垂径定理的变式：,一条直线具有：,平分弦,经过圆心,垂直于弦,可推得,平分弦所对的劣（优）弧,7,E,O,A,B,D,C,E,A,B,C,D,E,O,A,B,D,C,E,O,A,B,C,E,O,C,D,A,B,练习1,O,B,A,E,D,在下列图形，符合垂径定理的条件吗？,O,8,垂径定理的几个基本图形,9,判断下列图形，能否使用垂径定理？,注意：定理中的两个条件,（直径，垂直于弦）,缺一不可！,10,A,B,C,D,E,A,B,D,C,条件,CD,为直径,结论,AC=BC,AD=BD,CDAB,CDAB,AE=BE,平分弦 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,（,不是直径,）,垂径定理的推论1:,CDAB吗？,(E),11,“知二推三”,(1)垂直于弦,(2)过圆心,(3)平分弦,(4)平分弦所对的优弧,(5)平分弦所对的劣弧,注意:当具备了(1)(3)时,应对另一,条弦增加”不是直径”的限制.,12,你可以写出相应的命题吗?,相信自己是最棒的!,垂径定理的推论,如图,在下列五个条件中:,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.,O,A,B,C,D,M,CD是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.,13,垂径定理及推论,O,A,B,C,D,M,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.,14,一、判断是非：,（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。,（2）平分弦的直线，必定过圆心。,（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），,那么这 条直线垂直这条弦。,A,B,C,D,O,(1),A,B,C,D,O,(2),A,B,C,D,O,(3),15,(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。,（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。,（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。,A,B,C,O,(4),A,B,C,D,O,(5),A,B,C,D,O,(6),E,（7）平分弦的直径垂直于弦,16,弦心距,：过一个圆的圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离叫做弦心距,如图：圆O中，AB是圆O中的一条弦，其中OCAB,圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，则d，r，a之间满足什么样的关系呢？,17,8cm,1,半径,为,4cm,的O中，弦,AB=4cm,那么圆心O到弦AB的距离是,。,2O的,直径,为,10cm,，圆心O到弦AB的,距离为,3cm,，则弦AB的长是,。,3,半径,为,2cm,的圆中，过半径中点且,垂直于这条半径的弦长是,。,练习 1,A,B,O,E,A,B,O,E,O,A,B,E,垂径定理的应用,18,1.如图,在O中,弦AB的长为8cm,圆心到AB的距离为3cm,则O的半径为 .,练习 2,：,A,B,O,C,5cm,3,4,2.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为8cm，则这弓形所在圆的半径为,.,13cm,(1)题,(2)题,12,8,19,方法归纳:,解决有关弦的问题时，经常,连接半径,；,过圆心作一条与弦垂直的线段,等辅助线，为应用垂径定理创造条件。,垂径定理经常和勾股定理结合使用。,E,.,A,C,D,B,O,.,A,B,O,20,3,、如图，P为O的弦BA延长线上一点，PAAB2，PO5，求O的半径。,关于弦的问题，常常需要,过圆心作弦心距,，这是一条非常重要的,辅助线,。,弦心距、半径、半弦长,构成,直角三角形,，便将问题转化为直角三角形的问题。,M,A,P,B,O,A,21,解：如图，设半径为R，,在tAOD中，,由勾股定理，得,解得 R27.9（m）.,答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.,D,37.4,7.2,赵州桥主桥拱的,跨度(,弧所对的弦的长)为37.4m,拱高,(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥,主桥拱的半径吗？,AB,=37.4,CD,=7.2,R,18.7,R-7.2,再逛赵州石拱桥,22,1如图，在,O,中，弦,AB,的长为8,cm,，圆心,O,到,AB,的距离为3,cm,，求,O,的半径,O,A,B,E,练习,解：,答：,O,的半径为5,cm.,活 动 三,在RtAOE中,23,变式：,图中两圆为同心圆,变式3：隐去（变式1）中的大圆，得右图连接OA，OB，设OA=OB，AC、BD有什么关系？为什么？,变式4：隐去（变式1）中的大圆，得右图，连接OC，OD，设OC=OD，AC、BD有什么关系？为什么？,变式1：AC与BD有什么关系？,变式2：,ACBD依然成立吗,24,2如图，在,O,中，,ABAC,为互相垂直且相等的两条弦，,OD,AB,于,D,，,OE,AC,于,E,，求证四边形,ADOE,是正方形,D,O,A,B,C,E,证明：,四边形,ADOE,为矩形，,又,AC=AB,AE=AD,四边形,ADOE,为正方形.,OEAC ODAB,25,E,已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。,求证：ACBD。,.,A,C,D,B,O,图,课 堂 练 习,26,已知P为O内一点,且OP=2cm,如果O的半径是3cm,那么过P点的最短的弦等于_,27,小 结,直径平分弦,直径垂直于弦=,直径平分弦所对的弧,直径垂直于弦,直径平分弦（不是直径）,直径平分弦所对的弧,直径平分弧所对的弦,直径平分弧,直径垂直于弧所对的弦,=,=,、圆的轴对称性,、垂径定理及其推论的图式,28,E,小结:,解决有关弦的问题，经常是,过圆心作弦的垂线,，或,作垂直于弦的直径,，,连结半径,等辅助线，为应用垂径定理创造条件。,.,C,D,A,B,O,M,N,E,.,A,C,D,B,O,.,A,B,O,29,别忘记还有我哟！,1、教材88页习题24.1,第8题；,2、教辅书48-51页,作业：,30,1.过o内一点M的最长的弦长为10,最短弦长为8,那么o的半径是,2.已知o的弦AB=6,直径CD=10,且ABCD,那么C到AB的距离等于,3.已知O的弦AB=4,圆心O到AB的中点C的距离为1,那么O的半径为,4.如图,在O中弦ABAC,OMAB,ONAC,垂足分别为M,N,且OM=2,0N=3,则AB=,AC=,OA=,B,A,M,C,O,N,5,1或9,6,4,Cm,31,