2025年数学大观教学大纲.doc

《数学大观》教学大纲
第一章 数学爱我们
介绍课程指导思想：展示数学的魅力与威力. 能力点:通过有招(讲故事)学无招(思想),无招(思想)指挥有招(算法).
1. 课程目的
介绍本课程的学习目引发对数学的爱好,减少对数学的仇恨,对数学思想有所理解.强调idea(思想),不追求technique(算法细节).标和指导思想
2. 数学爱我们
无招(idea)胜有招(technique),通过有招(讲故事)学无招(思想办法).故事: 设计幻方. 从文字幻方开始: 5行5列方格表中第一行填“我,们,爱,数,学”,后来每行仍是这5个字的排列,每列、每条对角线也是.将5个字换成0,1,2,3,4这5个不同数字,则每行每列每条对角线各数和相等。两张满足同样规定的不同的表,第一张乘5加第二张表,再同加1就得到5阶幻方. 类似可得3阶幻方.
3. 运算律巧算24
用5,5,5,1通过加减乘除算24. 死凑难奏效,由5x5-1=24左边恒等变形得到对的等式 5x(5-1/5)=24. 能力点:运算律的应用. 欧几里得由少数简朴公理推出复杂丰富的几何学. 代数学由更少数简朴公理推出,运算律就是代数公理。
4. 未知算已知
算术应用题: 大人小孩共100人吃100个馒头,大人每人吃3个,小孩每3人吃1个,大人小孩各多少? 小学算术只能由已知算未知，因此很困难. 初中能够不需要懂得大人小孩人数,只要各设为x,y,就可由x,y算出总人数x+y=100和馒头数3x+y/3=100.为什么能够将已知未知混为一谈? 由于它们的算法相似. 并且运算律相似，因此能够对方程同解变形求出解来. 
5. 天上掉下余弦定理
为什么不同数值a,b满足同一种平方公式(a-b)^2=a^2+b^2-2ab?由于它们满足同样的运算律. a,b换成向量仍然满足同样的运算律,平方公式仍然成立，这就是余弦定理,当a,b垂直时ab=0,就是勾股定理. 还能够将a,b再换成n数组向量,也满足同样的运算律，因此勾股定理能够推广到n数组向量.余弦不不大于1也能够推广，就是柯西不等式.
6. 椭圆面积也简朴
计算椭圆面积需要用到积分,还要进行变量替代. 但是,只要将椭圆的半短轴b拉长到与半长轴a相等,将椭圆拉成圆,就能由圆面积公式算出椭圆面积了. 如何拉长? 将每个点(x,y)的横坐标x不变,纵坐标y乘a/b,椭圆就拉成半径为 a的圆,面积变成pa^2. 拉长过程中面积扩大倍数为a/b,再乘b/a压缩回去就得到椭圆面积pab. 还可由圆内接n边形最大面积得到椭圆内接n边形最大面积。
第二章 七十二行任纵横-数学聊斋
数学聊斋通过生活中的故事阐明其中的数学原理、思想和办法.音乐美术体育旅游餐饮，生活的方方面面都有数学，培养透过现象发现规律的能力,理论联系实际的能力.
1. 音调中的等比数列
音阶1,2,...,7,i中各音的频率怎么算? 从1到高八度的i,频率f升高1倍到2f. 通过12个“台阶”(涉及白键黑键),共升高12个半音, 频率构成等比数列, 公比q等于2的12次方根.由等比数列通项公式能够算出各音的频率。这叫做十二平均律.还可运用计算机软件按照算出的频率将各个音播放出来，甚至能够构成乐曲,让你听听数学的美妙声音.
2. 如何模拟不同乐器的声音
不同乐器发出的声音的不同音色由不同波形决定,由不同频率f,2f,3f,...的正弦波(Ak)sin(kf+tk)按不同强弱(由振幅Ak决定)合成.变化各频率正弦波的强弱比例 (A1,A2,...,Ak,...),就变化了波形从而变化了音色. 将周期函数(波)分解为不同强弱比例的正弦波的合成,数学上称为傅里叶级数.
3. 美术中的数学
课堂展示两张照片,一张是地面的平行队列在照片上相交,另一张是台灯在墙上的光影边沿曲线. 为什么地面上的平行线在照片上相交? 地面的图形到照片上图形的映射是以镜头为中心的中心投影. 研究中心投影的几何称为射影几何. 由于地面与照片不平行,平行线变成相交. 台灯由灯罩内发出的光束是圆锥，墙是平面，光影边沿就是平面截圆锥得到的双曲线，也是灯罩下沿的圆在灯光下的中心投影.
4. 佛光中的多媒体教学
峨眉山最精彩也最难看到的景色是佛光。站在舍身崖悬崖往下看,如果天上有太阳,崖下有云,云的高度适宜，出现彩色光环,就是佛光. 如果云层太高或太矮,都看不见佛光.但是，如果云从太矮持续上升到太高,途中就有一点恰到好处. 这就是数学上的持续函数介值定理. 一朵朵云持续往上升,佛光一次次地出现，象是普贤菩萨在进行多媒体教学,教学内容就是持续函数定理.
5. 足球的圆与方
足球的胜负有偶然性，弱队能够战胜强队,因此“足球是圆的”. 然而，偶然性不是没有规律,没有强弱. 弱队战胜强队只是少数情形,多数情形还是强队胜弱队,可见“足球也是方的”.我国的嫦娥号飞船登月,专家在每一阶段都预见了出现事故的概率,采用方法努力避免事故，最后成果是百分之百成功.如果一开始就认定百分之百没有问题,就增大了出事故的概率.
6. 邯郸农行案
邯郸农业银行两个工作人员挪用国家资金买体育彩票,血本无归逃跑，被抓回来判了死刑. 临死之前还觉得买了诸多张彩票持续不中奖“太令人意外”.我由此想到以下数学题：如果中奖率10%,以下哪件事概率大：(1) 买一张就中奖. (2) 持续买20张全不中. 计算办法很简朴,成果也会“太令人意外”. 进一步计算:中奖率千分之一，连买张不中奖, 算出概率成果与e=2.71828...有关,也令人意外.
7. 行李箱密码失而复得
一位同事无意中把行李箱密码搞乱了,问需要试多少次才干重新找回密码. 我说,你只是不小心搞乱，一定改得不多, 很可能只改一位,只要试30次. 她试了10次就找回了,说原来密码是000，改成900了.我说:看来不仅只改一位,很可能只改一格（加1或减1)，只要试6次就行了.总之，离原来密码越近的概率越大,按照概率从大到小的次序实验,反正不需要试1000次.
8. 千手观音几只手
重庆大足石刻千手观音真有近千只手,姿态方向各异,难以排序数清. 古代一位工匠想了一种绝妙方法：每只手贴一张金箔纸,同时在竹签桶里放一支竹签.全部的手都贴上金箔纸了,再数竹签有1007支,因此手有1007只. 工匠的办法就是建立一一对应：手与金箔一一对应，金箔与竹签一一对应，一一对应的集合元素同样多.由此能够讲整数集合与偶数集合及有理数集合一一对应，与实数集合不可能对应.
9. 人挤成照片之维数变化
与俄罗斯代数学家共进晚餐,问他吃什么主食,rice or noodle. 他听不懂noodle,我解释: noodle is 1-dimensional.立刻就懂了.重庆人描述公共汽车拥挤：把人都挤成照片了. 三维挤成二维，体积挤成0.代数课举这两个例子讲维数.还用来讲行列式：三阶行列式是平行六面体体积. 如果两列相等，两条棱重叠,也挤成照片，行列式固然为0.
10. 几把尺子量乾坤
平面对量即使无穷多, 但能够写成两把尺子e1(往东一米)和e2(往北一米)常数倍之和a=xe1+ye2,量出两个数构成坐标(x,y)代表a. 因此是“两把尺子量天下”.空间向量增加一把尺子e3(往上1米),三把尺子量乾坤. 两把尺子量出2维空间,三把尺子量出三维空间. 兔子数列(斐波那契数列)能够分解为两个等比数列之和来求通项公式，两个等比数列作为两把尺子量兔子数列.
11. 明星做广告与非欧几何
明星做广告的产品有时候会被揭发为假冒伪劣. 明星或他们的代言人就会辩解. `“明星不是万能的,不可能鉴别这些产品，不应当承当责任。”但是,当明星做广告的时候,为什么不说自己不是万能，反而努力让人相信自己万能，并且因“万能”而获得了巨额酬金，同理可证他们应当因“万能”而承当责任赔偿损失。这是最基本的逻辑。按照同样的逻辑，能够让你对深奥难懂的非欧几何有所理解。
12. 非欧几何有矛盾吗
欧几里得将复杂的几何归结为少数显然的公理。其中一条公理（平行公理）不够显然：平面上过已知直线a外一点P只能作一条直线b与a不相交。有人企图用反证法证明这个结论，假定过P有两条直线与a不相交，推出了诸多看似荒唐但并不矛盾的结论。没推出矛盾，不等于没有矛盾。 终于证明了：只要欧氏几何无矛盾，非欧几何也无矛盾，两者同生同死。我们还用一首诗介绍了另一种非欧几何--球面几何。
第三章 凌波微步微积分
1. 加减乘除算正弦
两首诗讲微分学. 一首诗《微分》说：“函数千千万万，一次最简朴”. 举的例子是用一次函数x近似替代sinx,一次项x就是微分,一次项系数1就是导数.其实就是用弦长2sinx近似替代弧长2x,刘徽割圆早就做过的. 如果x比较大,就用更高次的多项式x-x^3/(3!)+x^5/(5!)-...替代sinx,靠升高次数减少误差，这就是《泰勒展开》诗所说：“我有乘除加减,翱翔天地间”，多项式只算加减乘除。
2. 圆周率引出的积分学
在区间[0,1]上计算曲线y=(1-x^2)^{1/2}与x轴之间的面积,就是圆周率的1/4.将区间[0,1]分成诸多小段,每小段上函数值近似当作不变,这就是《定积分》诗说的“平平淡淡分秒”，加起来就得到高低不平的圆弧下方的面积，就是诗中所说“编制百味人生”.将函数当作速度，积分就是路程.另一首诗“量天何必苦登高”说不必苦苦编制路程，而是找一种函数求导等于速度，就是原函数.
3. 三次方程变一次
把解三次方程x^3+x-3=0作为微积分的导航. 能否将三次项x^3直接砍掉,变成一次方程x-3=0来求解? 想法近乎疯狂，却有合理的成分：如果|x|<1，|x^3|比|x|小得多,就能够砍掉.发现 1<X<U< p>
4. 多项式逼近函数
第3.1节已经给出了多项式T(x)逼近sinx,但没有讲T(x)如何算出来.为了预计用x近似替代sinx的误差e(x)=x-sinx,求导数e(x)’=1-cosx=2[sin(x/2)]^2< (x^2)/2,不等式两边求原函数得x-sinx=e(x)sinx>x-x^3/6. 由sin(x/2)约等于x/2还可得sinx约等于x-x^3/6. 对x-sinx多次求导可得到更高次数的T(x).
5. 舍近求远大智慧
光的直线传输和反射定律都是走的路程最短的路线，折射却舍近求远，不走直线走折线. 是不是光聪颖一时糊涂一时,碰到水就脑袋进水变傻了? 否则,光在空气中速度高,水中速度低,在速度高的空气中多走一段，速度低的水中少走一段,多走了路程却节省了时间. 如何的路线最省时间? 列出算式求导.这是运用导数求最小值的典型例子.
6. 蜜蜂赛过数学家
大自然万物争优各显神通.光线选择最省时间的路线，露水形成表面积最小的球形，蜜蜂建造蜂房选择最省建筑材料的形状和角度. 列出函数式能够在容积不变的前提下求出表面积最小的角度，既能够用微分学求导,也能够用中学知识通过一元二次方程有实根的鉴别式来求最小值.历史上数学家第一次算出来的答案与蜜蜂只差2’,后来发现是数学家的数学用表不够精确差了2‘，蜜蜂完全对的. 
第四章 代数与信息安全
1. 小学算术中的费马定理
1/7化成无限循环小数a=0.142857...的循环节D=142857有奇妙的性质。分数1/p化成的小数“a是循环小数”描述为：小数点右移d位得到的新的小数部分与移动之前相似，翻译为代数运算：10^da-a=(10^d-1)/p=D是整数，也就是循环节。循环节长度d就是使10^d被p除余1的最小正整数。按照费马小定理，当素数p不整除10时，10^{p-1}被p除余1，循环节长度d是p-1的因子。
2. 循环节中的群论
在整数除以n的n个余数{0,1,2,...,n-1}构成的集合Z_n中定义加减乘法：按普通整数计算和差积之后再除以n求余数。1/n循环节长度d 就是使10^d的余数等于1的最小正整数。1/7的循环节D=142857尚有许多别的奇妙性质：D的2,3,4,5,6倍都能够由D轮换出来，平均分成两段之和142+857=999和三段之和14+28+57=99都由9构成。这些性质都能够通过Z_n中的乘法性质得到解释。
3. 密码大战凯撒登场
公元前古罗马将军凯撒发明过一种密码. 如果将字母表中26个字母a,b,c,...,z用前26个非负整数表达,他的加密办法是将每个整数X变成X+3再除以26求余数得到Y,记作Y≡X+3.解密办法自然就是X≡Y-3.为了加强保密性,能够采用更复杂的函数,例如Y≡3X+5. 解密办法就应当将3X≡Y-5两边乘某个整数消去3得到X.由9x3=27≡1懂得乘9能够消去,得到解密函数X≡9(Y-5).
4. 福尔摩斯破凯撒
福尔摩斯侦探案中有一种破译密码的故事. 编制密码的人将每个英文字母用一种姿势的小人代表.不同姿势的小人代表不同的字母？小人的姿势能够有无穷多，怎么破译? 福尔摩斯的妙招是：统计哪一种姿势的小人出现得最多，这种小人就代表英文字母e, 由于英文文章出现最多的字母是e. 然后再根据故事情景和上下文破译了其它字母.即使是小说创作，但这个破译原理是科学的.
5. 公开的密码
密码应当保密，岂能公开？但是，如果你但愿诸多素不相识的商人向你发信讨论商业合作业务，信件内容又但愿保密，他如何加密才干让你读懂？除非你将加密办法向全社会公开，让每个人都能用这种办法加密之后给你发信，但是都不懂得如何解密,只有你能够解密. 就好比你在公共场合设立一种信箱，每个人都能够将信扔进去，但都不能拿出来，只有你有钥匙能够打开门拿出来. 这就是公开密钥.
6. 老祖宗留下解密法宝
本课程介绍的公开密钥的保密原理是：求两个很大的素数p,q的乘积n=pq很容易，要由n分解成p,q很难. 向社会公布n及一种正整数h,加密办法是将明文分段用不大于n的非负整数X代表. 将其中每X的h次幂除以n求余数Y,各个Y构成密文.大家都不能由Y算出X,只有你能够求出另一种指数d，将Y^d除以n求余数得到X. 如何求d? 需要用到老祖宗欧几里得的辗转相除法.
7. 指鹿为马之幼儿版--纠错码
有一位父亲吹嘘他的两岁小孩博比认识全部的动物，而博比却在识别画册上的动物时将长颈鹿、老虎、狮子分别认成马、猫和狗,将黑猩猩认成“父亲”。博比不认识长颈鹿、老虎、狮子、黑猩猩，就将自己认识的动物中与之最靠近的马、狗、猫、父亲(人)作为答案，其实是聪颖的体现，当代通讯中为了防止信息传输时出错采用的纠错码，就是按博比这个原理设计的。
8. 0与1的高等代数
当代通讯普遍用0,1两个数字构成的序列表达信息。如果将n个数字组合出的全部2n个不同序列都用来表达信息，出了错误就难以识别。信息传递即使出错也很错得极少。在2n个不同的序列只选出一部分作为正当序列来表达信息，让它们两两相差较远，一旦出错就出现非法序列，能够纠正回到与之最靠近的正当序列。如何设计这些正当序列，需要用到只有两个数字0,1的线性代数，其中1+1=0。
9. 乾坤挪移之复数实现
高中数学强行颁布符号i的平方等于-1,不解释什么东西与自己相乘得-1。地球绕太阳转，“乾坤大挪移”六个月转180度就是乘-1,一季度转90度就是-1的平方根，就是乘i,i平方转两个90度，就是乘-1。。转a角就是乘cosa+isina, 它的n次方就是转na,等于cosna+isinna.用代数算这个公式很繁,用几何就很轻松，代数将几何功夫吸过来,这是金庸小说的乾坤大挪移。
10. 几何旋转指挥因式分解
诸多中学生误认为因式分解容易，其实很难。例如在有理数范畴内分解x15-1就很难。先在复数范畴内分解为一次因子x-wk的乘积，其中wk = cos(2kp)/15+isin(2kp)/15依次是方程x15=1的各个复数根，称为单位根。再将各个一次因子适宜分组使每组的乘积是有理多项式。为此，需要研究各个单位根的周期d，也就是使wkd =1的最小正整数d.