1.河北省衡水中学2023-2024学年高二下学期第二次综合素养评价数学试题.docx

河北省衡水中学2023-2024学年高二下学期第二次综合素养评价数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．若函数，则（    ）
A．0 B． C． D．
2．设曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（    ）
A． B． C． D．
3．函数在上是（    ）
A．偶函数、增函数 B．奇函数、减函数
C．偶函数、减函数 D．奇函数、增函数
4．如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（    ）

A．在处取得极大值 B．是函数的极值点
C．是函数的极小值点 D．函数在区间上单调递减
5．函数在区间的极大值、极小值分别为（    ）
A．， B．，
C．， D．，
6．已知直线与抛物线：（）交于，两点，为坐标原点，且，交于点，点的坐标为，则抛物线的焦点坐标为（    ）
A． B． C． D．
7．若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（    ）
A．2 B． C．3 D．
8．某种生命体M在生长一天后会分裂成2个生命体M和1个生命体N，1个生命体N生长一天后可以分裂成2个生命体N和1个生命体M，每个新生命体都可以持续生长并发生分裂.假设从某个生命体M的生长开始计算，记表示第n天生命体M的个数，表示第n天生命体N的个数，则，，则下列结论中正确的是（    ）
A． B．数列为递增数列
C． D．若为等比数列，则

二、多选题
9．设函数，若恒成立，则实数的可能取值是（    ）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．已知数列，记的前项和为，下列说法正确的是（    ）
A． B．是一个等差数列
C． D．
11．已知为双曲线的左、右焦点，为平面上一点，若，则（    ）
A．当为双曲线上一点时，的面积为4
B．当点坐标为时，
C．当在双曲线上，且点的横坐标为时，的离心率为
D．当点在第一象限且在双曲线上时，若的周长为，则直线的斜率为
12．设，且，则下列关系式可能成立的是（    ）
A． B． C． D．

三、填空题
13．若函数的导函数为，且满足，则 ．
14．已知等差数列中，，则数列的前8项和等于 .
15．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上“拉格朗日中值点”，根据这个定理，判断函数在区间上的“拉格朗日中值点”的个数为 .
16．已知函数，关于的不等式有且只有四个整数解，则实数的取值范围是 ．

四、解答题
17．已知数列的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
18．已知函数在和处取得极值．
(1)求的值.
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
19．已知函数，其中参数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围．
20．已知椭圆的右焦点为，且过点.
(1)求C的方程；
(2)若过点的直线与交于两点，为坐标原点，求面积的最大值.
21．已知函数.
(1)若函数有两个零点，求的取值范围；
(2)设是函数的两个极值点，证明：.
22．已知函数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论在区间上的零点个数．

试卷第3页，共4页

参考答案：
1．A
2．B
3．B
4．C
5．D
6．A
7．B
8．B
9．CD
10．BD
11．ABD
12．AC
13．/
14．72
15．2
16．
由，可得，
令，解得，令，解得，
的递增区间为，递减区间为，
故的最大值为 ，
当趋于时，趋于；
当趋于时，趋于，且，
故当时，，当时，，
函数的图象如图，

①当时，由不等式，得或，
当时，，有无数多个整数解；
当时，其解集为的子集，不含有整数解；
所以不合题意；
②当时，由不等式，当得，得，则解集为，整数解有无数多个，不合题意；
③当时，由不等式，得或，
当时，解集为，无整数解；
当时，因为不等式有且仅有四个整数解，
又，，，，
且，
又因为在上单调递增，在上单调递减，
所以四个整数解只能为、、、，
所以，即．
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
17．(1)
(2)

【解析】（1）解：且，有，
当时，有，
两式相减得，
当时，由，适合，
所以.
（2）由（1）知，，
所以
.
18．(1)，.
(2).

【解析】（1）由，可得，
由在和处取得极值，可得，，解得，.
代入检验，可得，令，解得，.
所以时，，函数单调递增，
时，，函数单调递减，
时，，函数单调递增，
所以是的极大值点，是的极小值点，符合题意.
所以，.
（2）由（1）可得，在单调递减，在单调递增.
要使对任意，不等式恒成立，只需恒成立，即大于的最大值.
令，显然在单调递减，在单调递增，所以.
所以，解得或.
所以c的取值范围为.
19．(1)答案见解析
(2)

【解析】（1），
（1）当时，，，的减区间是．
（2）当时，，的减区间是．
（3）当时，，，的增区间是，
，的减区间是．
综上，当时，减区间是；当时，增区间是，减区间是.
（2），，因为存在实数，使得不等式成立，
，
，，,，，单减，，，单增．
．
，，，．
20．(1)
(2)
【解析】（1）

椭圆的右焦点为，
则椭圆的半焦距为，
由于，则椭圆的方程变为：，
将点的坐标代入，，解得：或（舍去），
得，
所以椭圆的方程为.
（2）依题意，直线l的斜率不为0，则设直线l的方程为，
，，
由消去x并整理得：，
，，
的面积，
，
设，，
，
因为，当且仅当，时取得“=”，
于是得，，
所以面积的最大值为1.
21．(1)
(2)证明过程见解析.
【解析】（1），
该方程有两个不等实根，由，
所以直线与函数的图象有两个不同交点，
由，
当时，单调递减，
当时，单调递增，因此，
当时，，当，，
如下图所示：

所以要想有两个不同交点，只需，即的取值范围为；
（2）因为是函数的两个极值点，
所以，由（1）可知：，不妨设，
要证明，只需证明，显然，
由（2）可知：当时，单调递增，所以只需证明，
而，所以证明即可，
即证明函数在时恒成立，
由，
显然当时，，因此函数单调递减，
所以当时，有，所以当时，恒成立，因此命题得以证明.
【点睛】关键点睛：常变量分离构造新函数，利用新函数的单调性求解证明是解题的关键.
22．(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）当时，，其定义域为，，
所以，，函数在处的切点坐标为，切线斜率为，
因此，函数在处的切线方程为，即．
（2）令，
则．
因为，则，则．
当时，则，故，从而在上单调递减；
而，故当时，，
故在区间上无零点；
当时，令，则，
因为，则，
从而，即在上单调递减；
而，因此存在唯一的，使得，
并且当时，；当时，．
即当时，，当时，．
故当时，单调递增，当时，单调递减．
而，故；
取，，
所以存在唯一的，使得，即在区间上有唯一零点．
综上所述，当时，在上有唯一的零点；
当时，在上没有零点．

答案第7页，共8页