公路工程施工放样坐标计算汇编.docx

公路工程施工放样坐标计算

一：前言
由于我们都是搞公路工程施工的，一般情况下都是按图纸施工，路线的各种要素和参数在设计中已经给定，在施工放样中按照设计要求从图纸中搬到工地实际而已。但是由于公路的等级不同，设计的完善程度和路线的复杂程度也不一样。通常情况下，公路的等级越高，路线的线形组合越简单，设计越完善，施工放样越方便，特别是高速公路，它主要满足规范要求，一般都是采用大半径，坐标的计算和放样都相对简单得多；公路的等级越低，受到经济指标的控制，选择路线时不得不利用地形优势而设置很多种线形组合，特别是贵州的山岭重丘区，曲线又受个别地形地质原因而设置一些复杂的曲线，并且设计的完善程度也相对较低，甚至有可能连逐桩坐标都不一定有，给复测中恢复中桩和施工放样带来一定的困难。所以我们有必要进行路线的各种放样坐标的计算和复核。
二：直线的中桩和边桩的坐标计算
图中所有平面交点坐标已知，JD1坐标为x1,y1；JD2坐标为X2,Y2；则平面逐桩坐标及切线方位角的计算过程为：
1、路线方位角计算：
β（1—2）=arctg
式中β（1—2）方位角。其中由该式直接求解的为JD1到JD2的方位角β（1—2）为0~90°之间的角值，根据(Y2-Y1)和(X2-X1)的符号把β（1—2）换算为0~360°内。

2、中桩坐标计算：
X中=X1+comβ×L
Y中= Y1+sinβ×L 式中L为所求桩号到JD1的距离。
3、边桩坐标计算：
X边=X中+com（β+90°）×L边
　Y边= Y中+sin（β+90°）×L边
式中L边为所求桩号中桩到放样边桩点的距离；+90°为路线前进方向的右边桩取加号，+90°为路线前进方向的左边桩取减号。
直线段的中桩和边桩放样坐标计算是很简单的，只要注意方位角和起算点坐标就行了。
三：曲线的介绍和曲线坐标计算
1：简单曲线，就是只有圆曲线部分，并且只有一个半径R的曲线

切线长：T=R×tg; 曲线长:L=R×p×;
外距:E=-R; 切曲差:D=2T-L;

2：圆曲线的中桩和边桩坐标的计算
圆曲线的中桩坐标的计算方法很多，如切线支距法，但是在边桩坐标的计算时每次都要计算切线方位角和加减90°来实现，相对要麻烦一些。根据我本人的经验，还是圆心坐标法较为简单些，好处在于可以复核中桩坐标而又同时可以计算各桩号的边桩坐标。带有缓和曲线的圆曲线部分仍然可以按照简单圆曲线来计算。
圆心坐标：X圆=Xj+com〔β+p±(90°－)〕×（R+E）
Y圆=Yj+sin〔β+p±(90°－)〕×（R+E）
中桩坐标：X中=X圆+com(β圆±)×R
Y中=Y圆+sin(β圆+)×R
边桩坐标 ：X边=X圆+com(β圆±)×（R±d）
Y边=Y圆+sin(β圆+)×（R±d）
式中：β；为路线后一交点到计算交点的方位角；
P；为计算交点处的转角，左转角取负号，右转角取正号。
β圆；为圆心到计算交点的方位角，
β圆=β+p±(90°－)±180°
L；为计算点桩号与曲中点桩号之间的距离，位于曲中点桩号左边取负号，位于曲中点桩号右边取正号。
±d；为所求桩号中桩点到放样边桩点的距离，位于圆外侧的取正号，位于圆内侧的取负号。
四：缓和曲线的介绍和带缓和曲线的线型组合
1：设置缓和曲线的目的。
1）：有利于驾驶员的操作，汽车从直线驶入圆曲线，即从无限大的半径到一个定值的半径，或从大半径圆曲线驶入小半径圆曲线时，从汽车前轮转向角逐渐变化的必要性来看，才能保持汽车前轮的转向角从0至α逐渐变化，从而有利于驾驶员操纵方向盘。
2）：当从直线驶入圆曲线时，由力学知识可知车辆将产生离心力，由于离心力的作用，车辆有向曲线外侧倾倒的趋势；或从离心力小的大半径圆曲线逐渐增加离心力大的小半径圆曲线，为了消除离心力的突变，并使离心加速度的变化率控制在一定数值内。
3）：完成超高和加宽的过渡。
2：为什么用回旋线来作为缓和曲线的形式。
1）汽车转弯行驶时的理论轨迹方程：假定汽车从半径为∞的直线上过渡到半径为R的圆曲线上时，其转弯半径是均匀变化的（∞→R）,在这过渡的过程中，汽车以等速度u(m/s)通过距离Lh(m)的所需时间t(s),驾驶员以等角速度ω（定值）顺适地转动方向盘，汽车的前轮的转向角由直线上的0逐渐均匀的增加到圆曲线上的α（定值）。如果汽车的方向盘仅转动φ，一般前轮只变化φ, φ和φ的关系为φ=φ.κ; κ为系数。根据汽车的实际情况，一般方向盘可以转动2周左右，但汽车的前轮不可能转动1周，故κ为小于1的系数。由假定可以知道，方向盘以ω的等角速度旋转经t(s)后，则方向盘的旋转角度φ为φ=ω. t；所以汽车前轮转向角为φ=φ.κ=ω. T。设汽车前后轮的距离为d,当前轮只转φ时汽车行驶的轨迹曲线的半径ρ，即ρ=d/tgφ, tgφ为正比例函数，φ≈0，所以tgφ≈φ，则ρ= d/φ= d/κωt。由于汽车以等速度前进，转动方向盘t(s)后汽车所行驶的距离l=u. t。

ρ==＝＞t==.
将t=.代入l=u. t得l=u..
因为；ω、u、d均为常数，令u.=A2,则得l=
L:汽车自直线开始转弯，经t(s)后所行驶的距离，m;
ρ:汽车从开始转弯经t秒后行驶距离L时位置的曲率半径，m;
A:常数，考虑到s与ρ的积是一个二次因式，设为A2值。
所谓回旋曲线，按数学定义知道就是曲率（曲率半径的倒数）随着曲线长度L成正比例增大的曲线（即曲率半径ρ随曲线长度L成反比例减少的曲线）。即=c L＝＞=s.p；
c:曲率与曲线长度的比例常数，因c为常数，故也为常数。由于s.p的单位是二次因式（m2），所以的单位也是二次因式，令A2= ；这样单位就是（m）。c=；即Lh=回旋线基本方程式、与汽车转弯时的理论轨迹方程完全一样，故我国的公路设计采用回旋线作为缓和曲线，A就是回旋线参数。
3；带缓和曲线的圆曲线的基本形式

上图是带缓和曲线的圆曲线的基本形式。
带缓和曲线的圆曲线与无缓和曲线的圆曲线的区别；
（1）：内移值P 。为了在直线和圆曲线之间设置缓和曲线，必须将原来的圆曲线向内移动，才能使缓和曲线的起点切于直线上；而缓和曲线的终点又与曲线上某一点相切。圆曲线向内移动有两种方式：一种是采用圆曲线半径不变而圆心沿内角的分角线向内移动一定的距离，使其达到缓和曲线既与直线相切又与圆曲线相切的目的；另一种是采用圆曲线的圆心不动，把圆曲线半径减少使圆曲线是平行移动。（不平行移动圆曲线上各点的内移值不相等），其差异随着圆曲线半径的增大而减少，测设工作麻烦；平行移动，圆曲线上各点的内移值相等，测设工作方便。所以一般采用圆心不动的平行移动方式。增设缓和曲线的圆曲线可以看作是原来半径为R+P的圆曲线向内移动了P的距离。
（2）：曲线起点后退的距离Q(称为相切线增长值)。由于回旋线的存在、在圆曲线原起点处产生一个内移值P，圆曲线起点后退了一个距离Q。

=×；当时：×＝；
（根据级数展开得）；
；由于：
所以；
，可以推出；可以得出回旋线一个重要特性：
凡是中心对称的回旋曲线，回旋曲线长度与圆曲线内移值互相平分。这个特性不但适用于直线与圆曲线之间的完整的回旋线（半径），也适用于连接圆曲线之间不完整的中间回旋线（半径从）。

4：带缓和曲线的基本型曲线。
把直线→回旋线→圆曲线→回旋线→直线的顺序组合起来的形式叫基本型曲线。
。
切线长;
曲线长；
其中圆曲线长；
外距；
切曲差；
基本型曲线又分为对称型和非对称型曲线，设交点桩号为JD,转角为α，半径R，前后回旋线长分别为和（或给出回旋线参数A1,A2两者可互换）

P1、P2分别为第一回旋线与第二回旋线的内移值；Q1、Q2分别为第一回旋线与第二回旋线的切线增长值；T1、T2分别为第一切线与第二切线长。由于圆曲线两端的回旋线长度不等，因此线型要素P1、P2、Q1、Q２、T1、T2都不相等。
即； ；
；；
非对称基本型曲线计算的关键在于求解出两个不相等的切线长T1和T2，为此作辅助线，将四边形分为两个直角三角形，设∠，则∠。如上图：
在中、有
亦即
在中、有
上两式相除：

又因：；
于是

在中、有

从而
同理
曲线长：
其中圆曲线长：
从而可得曲线主点桩号：

其中是指角平分线与曲线的交点，对于对称型曲线才是曲线的实际中点。基本型曲线，其半径R、回旋线曲线长Ls可根据不同情况由外距E、切线长T、曲线长L等控制条件计算得出。对于我们施工来说，所有参数设计中已经给出，就没有必要深入去推算，只是了解就行了。
五：复曲线的介绍
复曲线是指两圆曲线（半径不等）直接相连或缓和曲线相连的组合线形，一般多用于地形复杂的地区。复曲线包括同向复曲线和反向复曲线。
转向相同的两相邻圆曲线称为同向曲线，转向不同的两相邻圆曲线称为反向曲线。
同向曲线有一段短直线时，称为断背曲线。如下图：

复曲线的特点：如果两同向圆都无回旋线时，GQ点就是相切的那一点，如下图：

当两圆都设回旋线时，和为使两圆曲线在GQ点相接，两回旋曲线的内移值必须相等，P1=P2=P;

复曲线设置时，小圆半径不能太小，且大圆半径R1一般控制在小圆半径R2的两倍以内。(即R1≤2R2)；同时不可能出现一个圆设缓和曲线而另一个圆不设缓和曲线。保证两端回旋线内移值相等是选择适当的回旋曲线长度（或回旋线参数）来实现的。
1，S型曲线：将两个反向圆曲线用回旋线连接起来的线形叫S型曲线。

S型曲线是高等级公路线形设计中采用较多的一种组合线型，可作为两独立的基本型曲线进行计算。《公路路线设计规范》对S型相邻两个回旋线参数A1、A2及两圆曲线半径R1、R2有一定要求：一般A1与A2宜相等，当采用不同的参数时，A1与A2之比应小于2，有条件时以小于1.5为宜，两圆曲线半径之比不宜过大，其中大圆半径R1与小圆半径R2之比以—为宜。
2，凸型曲线：两个回旋曲线都在曲率小的点上相互连接的线型，可以认为凸型曲线是在两个同向回旋线间不插入圆曲线由两回旋线径相衔接的曲线形式，如图

凸型曲线可以看成非对称基本型曲线中圆曲线长度为零的特例，所以只须求得图中所示的平曲线半径，就可以按基本型曲线设计计算凸曲线。设回旋线A1、A2已知τ1、τ2已知、从上图可知；
而 从而
3，C型曲线；C型曲线是同向曲线的回旋线在曲率为零处径相衔接（即连接处曲率为零，R=∞）的形式。如下图：
C型曲线与径相衔接的S型曲线计算过程完全类似，不同之处只是相邻平曲线的偏向不一致，第一曲线的HZ与第二曲线ZH相同（重合）,
C型曲线可以分解为两个独立的基本型曲线来计算，这里就不再重复。
4，回头曲线：目前就要上的新线在考察时发现有几段回头曲线，就在这里简单介绍一下。顾名思义，就是人一回头的意思，是受到地形等原因特别限制才不得不设的曲线。很多回头曲线是连接山坡上下两条路线的一种特殊平面曲线，一般是山区低等级公路、当路线跨越山岭时为了克服距离短、高差大的展线困难、或跨越深沟，绕过山嘴时路线方向需要作较大转折，往往需要设置回头曲线。其特点是半径小、偏角大多接近180°，其交点多为虚交，因此回头曲线实际上属于虚交曲线。回头曲线一般由主曲线和两个副曲线组成，主曲线为一转角α接近、等于或大于180°的圆曲线；副曲线在路线上、下线各设置一个，为一般圆曲线，在地形复杂的山区，回头曲线大多采用切基线的方法进行计算和测设，其计算过程和双交点单曲线的过程相似。如下图：

根据上图，A、B为回头曲线的两个基点，C、D为上下两条线路相邻的两个交点。设JDA、JDB及其偏角α1、α2以及基线长AB已知，将回头曲线视为首尾相接并与基线相切的两个平曲线从图中关系可知前后切线长为：；将两式相加，
整理回头曲线半径：；
R基求得后，根据R基、α1、α2就可算出切线长T1、T2，曲线长可由下式求得：
L=L1+L2=R基α1+ R基α2=R(α1+α2)。
当按上述方法求得半径R基小于回头曲线所规定的最小半径时，需要在切基线上进行调整。对于两端带缓和曲线的回头曲线设计，算法思路与上述过程一致，这时需要考虑曲线的内移值P、以及两端切线增长值Q。由于我们是照图放样，只对回头曲线作一个了解和复核、掌握曲线半径R的由来和T长等的一般计算，从而可以复核设计是否有误，其他的规定和方法就不用介绍了。对于放样都是采用全站仪，只要根据圆心坐标利用放射法进行计算各点坐标即可。
5，卵型曲线：卵型曲线应该是曲线中较为复杂的曲线，是当实地地形地物等条件结合《公路工程技术标准》(JTG B01—2003)规定的要求，选定的主曲线半径与反算的副曲线半径之比小于1.5倍时，一般采用这种曲线形式。即相邻两圆曲线半径之比太大，两圆曲线不能直接相连需要由回旋曲线将其连接。这种曲线亦称为“复中缓和曲线”。理想的卵型曲线上回旋线参数A不应小于该级公路关于回旋线最小参数的规定，同时宜满足下式要求：

圆曲线半径之比宜在下列范围内；
式中：A；回旋线参数 R1；大圆半径 R2；小圆半径
两圆曲线内移值之差PF 宜在下式界限之内—0.03;
可以近似认为卵型曲线是同向复曲线内移值不相等的特殊范例.

卵型曲线具有如下特点：
1）、中间回旋曲线LF线段两端点的曲率半径分别与相应的圆曲线半径一致（即LF半径由R1过渡到R2）。
2)、小圆应包在大圆之内，并且两个圆一般不应该成为同心圆。
3）、较小半径圆曲线对应于大圆半径圆曲线内移一定距离PF。
4）、中间回旋线LF被原公切点（GQ）中分，其LF的长度的一半分别插入两圆曲线间。
5）、根据回旋线特征，中间回旋线LF中点通过两圆曲线内移值PF的中点。（在前面回旋线时已经讲过）
实际上可将复曲线看作是卵型曲线的特例，即中间相连的回旋线LF的长度为零。
我们可以利用复曲线来推算卵型曲线；设第一交点桩号JD1,两交点转角分别为α1和α2，两圆曲线半径分别为R1和R2，两端回旋曲线长分别为Ls1和Ls2。可知其曲线要素为：
；；；
如，则为复曲线
对于中间回旋线LF按前面讲过的的原理引用
PF为两圆曲线之间间距，即小圆曲线对应大圆的内移值PF＝P1-P2；
LF为中间回旋曲线长度
RF为两圆曲线的曲率差，即
从而可得中间回旋曲线长
当时，则为复曲线。
设分别为对应于半径为和的圆曲线切线长，则有：
；　　　；
从而有切线长：：：
曲线长； （、分别为原公切点GQ为界的前后段曲线长）
外距；
曲线主点桩号；；
；；
；（与为同一点）
；；
；
对于复曲线，均为同一点。
分析：卵型曲线的难点就是中间回旋线在原公切点的下方分别插入一半的距离，使很多初学者或没有经验、甚至经验不足的测量人员带来麻烦。往往在坐标的计算中把GQ点HZ1点或ZH2点就按回旋线半径ρ＝∞开始起算，使得结果必然就要出错。上龙公路K5+210段设计逐桩坐标就是错的就是很好的例子。通过对卵型曲线的了解，计算坐标时，特别是中间缓和段的逐桩坐标要特别小心，首先要根据复曲线来计算，复核曲线中是不是属于卵型曲线，如果是就要恢复（还原）该段的全部缓和曲线才能确保计算的正确。在后面的坐标计算中将要重点讲缓和曲线的还原。
六、缓和曲线的坐标计算
前面在介绍回旋线的特性时就了解了回旋线的参数方程，只要记住

在回旋线终点时，即时，其点的坐标为：

切线角
按以上公式计算任意一点相对坐标，另外一边反过来就行了。根据x和y按求得任意一点到缓和曲线起点（或终点）的距离；还可以利用求得（待求点与切线的偏角），当然可以根据切线角除3得，即。
中桩坐标X中＝X起+cos(α起±β)×Ls
Y中＝Y起+sin(α起±β)×Ls
边桩坐标α＝3＝τ0 通常用
X边＝X中+cos(α起±α切±β)×D
Y边＝Y中+sin(α起±α切±β)×D
α起为ZH点（或HZ点）至交点的方位角；
α切指待求点与切线的夹角（相对两切线的夹角），在α起左侧为负、右侧为正。
±90在路线左侧或切线的左方为负、右方为正。
D中桩到所求边桩的距离。
上式中，如果±90全部处理为90时，则改变±D一样能行，仍然左侧为-D，右侧为+D即可。
很多曲线都可以用圆曲线的计算方法和缓和曲线的计算方法分别计算计算出所需要的坐标进行放样（从各种曲线的性质介绍中就可以知道）。不外乎就是把各复曲线或组合曲线分解为单个曲线来计算。就不再一一举例。现介绍缓和曲线中采用经纬利用偏角法的放样计算方法。
现在都是采用全站仪利用坐标法放样，但是有时在没有全站仪时而只有经纬仪的时候甚至一段缓和曲线中还不能将经纬仪置在起点或终点，（即之间不通视）使计算产生困难。请用下面公式进行计算：
式中：β为偏角值；
Lh为缓和曲线总长度；
为缓和曲线中测点至点的距离；
为缓和曲线中置仪点至点的距离；
七、卵型曲线的坐标计算
前面我们专门讲过卵型曲线的特性和计算，那么在逐桩坐标的计算和边桩坐标计算应该不是问题，即大圆前段回旋线和小圆后一段的回旋线可用常规的缓和曲线方法计算出来；大圆的圆曲线部分和小圆的圆曲线部分可分别采用圆心坐标法计算出来； 困难点在于两圆曲线间的回旋线部分，它的曲率半径是由的变化过程，自然不能用常规方法直接利用点或点计算。我本人曾经想过很多办法力图减便解决计算的繁琐问题，其中包括采用小圆点（即点）反算的方法，按反方向偏角方法来解决中桩（在经纬仪放样中常用的一种方法），但是它仍然要有一个缓和曲线的全长，可是卵型曲线中间缓和段缓和曲线的曲率半径并不是由变化到半径。所以说回旋线连接部分只是原有缓和曲线中的一部分（即只有这一部分）。这就是我前面对回旋线和卵型曲线特性重点讲的原因。
如上图，两圆曲线半径分别为R1、R2，且R1＞R2；Ls为连接两圆曲线的中间缓和曲线，将缓和曲线延长△L至O点,使曲线半径由R1渐变为无穷大,根据前面讲过的回旋线特性我们知道缓和曲线上任意一点半径与该点至缓和曲线起点O的距离乘积为一定值:表达式:,这是我为什么前面要曲率参数A的原因。通过上式可以看出，如果把看成是本段的全部缓和曲线，那么△L只是前半部分，同时△L就是我们需要还原出来而又省略的那一部分。所以我们可由两圆半径及两圆间的缓和段长Ls求得缓和曲线总长L，

由点补长至O点，以O点为缓和曲线的起点，起点的切线方向为X轴，与之垂直的曲线内侧方向为Y轴建立平面坐标系。仍然按缓和曲线的参数方程：

计算完整缓和曲线的起点O的切线方位角和大地坐标；
将上式中L取值，所得、值经三角函数关系可以求得弦与x轴的夹角δ;O点的坐标可以关系求得（）的切线角，α１为点的切线方位角，则的方位角可求得：；现在解决了O点的坐标（）和的方位角，则中间缓和段上任意一点大地坐标都可以用下式公式求得；
中桩坐标

边桩坐标

式中与一般缓和曲线上任意一点的坐标计算和符号相同。讲到这里就可以解决施工中常规的坐标计算了。