空间几何体的表面积与体积市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,8.2 空间几何体表面积与体积,要点梳理,1.柱、锥、台和球侧面积和体积：,面积,体积,圆柱,圆锥,基础知识 自主学习,第1页,第1页,圆台,直棱柱,正棱锥,正棱台,球,第2页,第2页,2.几何体表面积,（1）棱柱、棱锥、棱台表面积就是,.,（2）圆柱、圆锥、圆台侧面展开图分别是,、,、,；它们表面积等于,.,各面面积,之和,矩,形,扇形,扇环形,侧面积,与底面面积之和,第3页,第3页,基础自测,1.母线长为1圆锥侧面展开图圆心角等,于 ,则该圆锥体积为（）,A.B.C.D.,解析,设圆锥底面半径为,r,，则,C,第4页,第4页,2.,（湖北）,用与球心距离为1平面去截,球，所得截面面积为，则球体积为(),A.B.,C.D.,解析,截面面积为，则该小圆半径为1，,设球半径为,R,，则,R,2,=1,2,+1,2,=2，,R,=，,B,第5页,第5页,3.,（陕西文，11）,若正方体棱长为 ，则,以该正方体各个面中心为顶点凸多面体,体积为(),A.B.C.D.,解析,由题意可知，此几何体是由同底面两,个正四棱锥构成，底面正方形边长为1，每,一个正四棱锥高为 ，因此,B,第6页,第6页,4.,（海南理，11）,一个棱锥三视图如,下图，则该棱锥全面积(单位:cm,2,)为(),A.B.,C.D.,第7页,第7页,解析,该几何体是一个底面为直角三角形三,棱锥，如图，,SE,=5，,SD,=4，,AC,=，,AB,=,BC,=6，,S,全,=,S,ABC,+2,S,SAB,+,S,ASC,答案,A,第8页,第8页,5.,（山东理，6）,如图是一个几何体三视,图,依据图中数据,可得该几何体表面积是,(),A.9 B.10 C.11 D.12,解析,几何体为一个球与一个圆柱组合体,S=41,2,+1,2,2+213=12.,D,第9页,第9页,题型一 几何体展开与折叠,有一根长为3 cm，底面半径为1 cm,圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并,使铁丝两个端点落在圆柱同一母线两端,则铁丝最短长度为多少？,把圆柱沿这条母线展开，将问题转,化为平面上两点间最短距离.,题型分类 深度剖析,第10页,第10页,解,把圆柱侧面及缠绕其上,铁丝展开，在平面上得到,矩形,ABCD,（如图所表示），,由题意知,BC,=3 cm，,AB,=4 cm，点,A,与点,C,分别是铁丝起、止位,置，故线段,AC,长度即为铁丝最短长度.,故铁丝最短长度为5 cm.,第11页,第11页,求立体图形表面上两点最短距离,问题，是立体几何中一个主要题型.这类题目的,特点是：立体图形性质和数量关系分散在立体,图形几种平面上或旋转体侧面上.为了便于发,现它们图形间性质与数量上互相关系，必须将,图中一些平面旋转到同一平面上，或者将曲面,展开为平面，使问题得到处理.其基本环节是：展,开（有时所有展开，有时部分展开）为平面图形，,找出表示最短距离线段，再计算此线段长.,第12页,第12页,知能迁移1,如图所表示，长方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB,=,a,，,BC,=,b,，,BB,1,=,c,，并且,a,b,c,0.,求沿着长方体表面自,A,到,C,1,最短线路长.,本题可将长方体表面展开，利用平面,内两点间线段长是两点间最短距离来解答.,解,将长方体相邻两个面展开有下列三种可,能，如图所表示.,第13页,第13页,三个图形甲、乙、丙中,AC,1,长分别为,第14页,第14页,题型二 旋转体表面积及其体积,如图所表示,半径为,R,半圆内,阴影部分以直径,AB,所在直线为轴,旋,转一周得到一几何体,求该几何体,表面积(其中,BAC,=30)及其体积.,先分析阴影部分旋转后形成几何体,形状,再求表面积.,第15页,第15页,解,如图所表示,过,C,作,CO,1,AB,于,O,1,在半圆中可得,BCA,=90,BAC,=30,AB,=2,R,AC,=,BC,=,R,S,球,=4,R,2,第16页,第16页,处理这类题关键是弄清楚旋转后所,形成图形形状，再将图形进行合理分割，,然后利用相关公式进行计算.,第17页,第17页,知能迁移2,已知球半径为,R,，在球内作一个内,接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它,侧面积最大？侧面积最大值是多少？,解,如图为轴截面.,设圆柱高为,h,，底面半径为,r,，,侧面积为,S,，则,第18页,第18页,题型三 多面体表面积及其体积,一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长,为 ，求这个三棱锥体积.,本题为求棱锥体积问题.已知底面,边长和侧棱长，可先求出三棱锥底面面积,和高，再依据体积公式求出其体积.,解,如图所表示，,正三棱锥,S,ABC,.,设,H,为正,ABC,中心，,连接,SH,，,则,SH,长即为该正三棱锥高.,第19页,第19页,连接,AH,并延长交,BC,于,E,，,则,E,为,BC,中点，且,AH,BC,.,ABC,是边长为6正三角形，,第20页,第20页,求锥体体积，要选择适当底面和,高，然后应用公式 进行计算即可.惯用方,法：割补法和等积变换法.,（1）割补法：求一个几何体体积能够将这个几,何体分割成几种柱体、锥体，分别求出锥体和柱,体体积，从而得出几何体体积.,（2）等积变换法：利用三棱锥任一个面可作为,三棱锥底面.求体积时，可选择容易计算方,式来计算；利用“等积性”可求“点到面,距离”.,第21页,第21页,知能迁移3,如图，在多面体,ABCDEF,中，已知,ABCD,是边长为1正方形，,且,ADE,、,BCF,均为正三角形，,EF,AB,，,EF,=2，则该多面体体积为(),A.B.,C.D.,解析,本题中多面体是一个不规则几何体,因此可考虑对其进行分割或补形.,第22页,第22页,如图所表示，分别过,A,、,B,作,EF,垂线，,垂足分别为,G,、,H,，连接,DG,、,CH,容易求得,答案,A,第23页,第23页,题型四 组合体表面积及其体积,(12分)如图所表示,在等腰梯形,ABCD,中,AB,=2,DC,=2，,DAB,=60，,E,为,AB,中点，,将,ADE,与,BEC,分别沿,ED,、,EC,向上折起，,使,A,、,B,重叠,求形成三棱锥外接球体积.,易知折叠成几何体是棱长为1正,四周体，要求外接球体积只要求出外接球,半径即可.,解,由已知条件知，平面图形中,AE,=,EB,=,BC,=,CD,=,DA,=,DE,=,EC,=1.,折叠后得到一个正四周体.2分,第24页,第24页,办法一,作,AF,平面,DEC,，垂足为,F,，,F,即为,DEC,中心.,取,EC,中点,G,，连接,DG,、,AG,，,过球心,O,作,OH,平面,AEC,.,则垂足,H,为,AEC,中心.4分,外接球半径可利用,OHA,GFA,求得.,在,AFG,和,AHO,中，依据三角形相同可知，,6分,10分,12分,第25页,第25页,办法二,如图所表示，把正四周体放在正,方体中.显然，正四周体外接球就,是正方体外接球.3分,正四周体棱长为1，,正方体棱长为 ，6分,9分,12分,第26页,第26页,（1）折叠问题是高考经常考察内容,之一，处理这类问题关键是弄清楚处于折线同,一个半平面量是不变，然后依据翻折前后图,形及数量关系改变，借助立体几何与平面几,何知识即可求解.,（2）与球相关组合体，是近几年高考常考,题目，主要考察空间想象能力及截面图应用，,因此画出组合体截面图是处理这类题关键.,第27页,第27页,知能迁移4,（全国理，15）,直三棱,柱,ABC,A,1,B,1,C,1,各顶点都在同一球面上.,若,AB,=,AC,=,AA,1,=2，,BAC,=120，则此球,表面积等于,.,解析,在,ABC,中,由余弦定理知,BC,2,=,AB,2,+,AC,2,-2,AB,AC,cos 120=4+4-222,由正弦定理知,ABC,外接圆半径,r,满足,r,=2,由题意知球心到平面,ABC,距离为1，,设球半径为,R,，则,S,球,=4,R,2,=20.,20,第28页,第28页,办法与技巧,1.对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱,锥、棱台与球表面积问题，要结合它们,结构特点与平面几何知识来处理.,2.要注意将空间问题转化为平面问题.,3.当给出几何体比较复杂，相关计算公式无,法利用，或者即使几何体并不复杂，但条件中,已知元素彼此离散时,我们可采用“割”、,“补”技巧，化复杂几何体为简朴几何体,（柱、锥、台），或化离散为集中，给解题提供,便利.,思想办法 感悟提升,第29页,第29页,（1）几何体“分割”,几何体分割即将已知几何体按照结论要,求,分割成若干个易求体积几何体,进而求之.,(2)几何体“补形”,与分割同样，有时为了计算以便，可将几何体补,成易求体积几何体，如长方体、正方体等.另外,补台成锥是常见处理台体侧面积与体积办法,由台体定义，我们在有些情况下，能够将台体,补成锥体研究体积.,（3）相关柱、锥、台、球面积和体积计算，,应以公式为基础，充足利用几何体中直角三角,形、直角梯形求相关几何元素.,第30页,第30页,失误与防备,1.将几何体展开为平面图形时,要注旨在何处剪,开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一,条母线剪开.,2.与球相关组合体问题，一个是内切，一个是,外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点,位置，拟定相关元素间数量关系，并作出,适当截面图，如球内切于正方体，切点为正,方体各个面中心,正方体棱长等于球直,径；球外接于正方体，正方体顶点均在球面,上，正方体体对角线长等于球直径.球与,旋转体组合，通常作它们轴截面进行解题,球与多面体组合，通过多面体一条侧棱和,球心，或“切点”、“接点”作出截面图.,第31页,第31页,一、选择题,1.如图所表示，一个空间几何体正视图、侧视图、,俯视图为全等等腰直角三角形，假如直角三角,形直角边长为1，那么这个几何体体积为(),定期检测,第32页,第32页,解析,由三视图知该几何体为三,棱锥，记为,S,ABC,，其中,AS,=,AB,=,AC,=1且两两互相垂直，,答案,D,第33页,第33页,2.一个正方体体积是8，则这个正方体内切球,表面积是 (),A.8 B.6,C.4 D.,解析,设正方体棱长为,a,则,a,3,=8,a,=2.而此,正方体内切球直径为2,S,表,=4,r,2,=4.,C,第34页,第34页,3.已知各顶点都在同一个球面上正四棱锥高为3，,体积为6，则这个球表面积是 (),A.16 B.20,C.24 D.32,解析,设正四棱锥高为,h,，底面边长为,a,，,可利用三角形相,似计算出球半径,r,=2，,S,球,=4,r,2,=16.,A,第35页,第35页,4.如图是一个几何体三视图，则这个几何体体,积是(),A.27 B.30,C.33 D.36,第36页,第36页,解析,由三视图知该几何体为组合体，由一个正,四棱锥与一个正方体叠加构成，其中正方体棱,长为3，正四棱锥高为1，底面正方形边长为3,V,=,V,柱,+,V,锥,=,答案,B,第37页,第37页,5.已知一个球与一个正三棱柱三个侧面和两个底面,相切，若这个球体积是 则这个三棱柱体,积是(),A.B.,C.D.,解析,由 得,R,=2.正三棱柱高,h,=4.,设其底面边长为,a,，则,D,第38页,第38页,6.某师傅需用合板制作一个工作台，,工作台由主体和附属两部分构成，,主体部分全封闭，附属部分是,为了预防工件滑出台面而设置,护墙，其大体形状三视图如图,所表示（长度单位：cm），则按图中尺寸，做成,工作台用去合板面积为（制作过程合板损耗,和合板厚度忽略不计）(),A.40 000 cm,2,B.40 800 cm,2,C.1 600(22+)cm,2,D.41 600 cm,2,第39页,第39页,解析,由三视图知该工作台是棱长为80 cm正方,体上面围上一块矩形和两块直角三角形合板，,如图所表示，则用去合板面积,S,=680,2,+80202=41 600 cm,2,.,答案,D,第40页,第40页,二、填空题,7.,（辽宁理，15）,设某几何体三视图如,下（尺寸长度单位：m）.,则该几何体体积为,m,3,.,第41页,第41页,解析,由三视图可知，该几何体为三棱锥,（如图），,AC,=4，,SO,=2，,BD,=3,答案,4,第42页,第42页,8.正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,棱长为2 ，则四周体,A,B,1,CD,1,外接球体积为,.,解析,四周体,A,B,1,CD,1,外接球即为正方体外,接球，因此,36,第43页,第43页,9.如图所表示，已知一个多面体平面,展开图由一个边长为1正方形和4,个边长为1正三角形构成，则该多,面体体积是,.,解析,由题知该多面体为正四棱锥，底面边长,为1，侧棱长为1，斜高为 ，连结顶点和底面,中心即为高，可求高为 ，因此体积,第44页,第44页,三、解答题,10.直三棱柱高为6 cm，底面三角形边长分别为,3 cm,4 cm，5 cm，将棱柱削成圆柱，求削去部,分体积最小值.,解,如图所表示，只有当圆柱底面圆,为直三棱柱底面三角形内切圆时，,圆柱体积最大，削去部分体积才干,最小，设此时圆柱底面半径为,R,，,圆柱高即为直三棱柱高.,第45页,第45页,在,ABC,中，,AB,=3，,BC,=4，,AC,=5，,ABC,为直角三角形.,依据直角三角形内切圆性质可得,7-2,R,=5，,R,=1.,V,圆柱,=,R,2,h,=6.,而三棱柱体积为,削去部分体积为36-6=6（6-）（cm,3,）.,即削去部分体积最小值为6（6-）cm,3,.,第46页,第46页,11.如图所表示，一个直三棱柱形容器,中盛有水，且侧棱,AA,1,=8.若侧面,AA,1,B,1,B,水平放置时，液面正好过,AC,、,BC,、,A,1,C,1,、,B,1,C,1,中点，当底面,ABC,水平放置,时，液面高为多少？,解,当侧面,AA,1,B,1,B,水平放置时，水形状为四,棱柱形，底面,ABFE,为梯形.,设,ABC,面积为,S,，则,S,梯形,ABFE,=,当底面,ABC,水平放置时，水形状为三棱柱形，,设水面高为,h,，则有,V,水,=,Sh,6,S,=,Sh,，,h,=6.,故当底面,ABC,水平放置时，液面高为6.,第47页,第47页,12.一几何体按百分比绘制三视图如图所表示,（单位：m）:,（1）试画出它直观图；,（2）求它表面积和体积.,第48页,第48页,解,（1）直观图如图所表示：,（2）,办法一,由三视图可知该几何体是长方体被截,去一个角,且该几何体体积是以,A,1,A,A,1,D,1,A,1,B,1,为棱长方体体积 ，,在直角梯形,AA,1,B,1,B,中，,作,BE,A,1,B,1,于,E,，,则,AA,1,EB,是正方形,AA,1,=,BE,=1.,第49页,第49页,在Rt,BEB,1,中，,BE,=1，,EB,1,=1，,BB,1,=.,几何体表面积,第50页,第50页,办法二,几何体也能够看作是以,AA,1,B,1,B,为底面,直四棱柱，其表面积求法同办法一，,返回,第51页,第51页,