广东专用高考数学-82直线的交点坐标与距离公式配套-文-新人教.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第二节 直线的交点坐标与距离公式,1.,两条直线的交点,无解,有无数组解,唯一解,2.,三种距离,名 称,表,达,式,点,P,1,（,x,1,y,1,）,P,2,(x,2,y,2,),之间的距离,|P,1,P,2,|=,_,点,P,0,(x,0,，,y,0,),到直线,l,:Ax+By,+C=0,的距离,d=_,两条平行线,Ax+By+C,1,=0,与,Ax+By+C,2,=0,间的距离,d=_,判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“,”,）,.,(1),若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交,.(),(2),点,P(x,0,y,0,),到直线,y=kx+b,的距离为,(),(3),直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的,距离,.(),(4),若点,A,，,B,关于直线,l,:y=kx+b(k0),对称，则直线,AB,的斜率,等于 且线段,AB,的中点在直线,l,上,.(),【,解析,】,(1),错误，当方程组有唯一解时两条直线相交，若,方程组有无穷多个解，则两条直线重合,.,(2),错误，应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为,一般式，即本问题的距离为,(3),正确，因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的,长，即点到直线的距离,.,(4),正确，因为线段,AB,被直线,l,垂直平分,.,答案：,（,1,）,（,2,）,（,3,）（,4,）,1.,已知点,(a,2),（,a,0,）到直线,l,：,x-y+3=0,的距离为,1,，则,a,等,于,(),【,解析,】,选,C.,由 且,a,0,，得,2.,若三条直线,y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0,相交于同一点，则点,（,m,n,）可能是,(),(A)(1,，,-3)(B)(3,，,-1),(C)(-3,，,1)(D)(-1,，,3),【,解析,】,选,A.,由 得,m+2n+5=0,，点（,m,n,）可能是（,1,，,-3,）,.,3.,点（,a,b,）关于直线,x+y+1=0,的对称点是,(),（,A,）（,-a-1,-b-1,）（,B,）,(-b-1,-a-1),（,C,）,(-a,-b),（,D,）,(-b,-a),【,解析,】,选,B.,设对称点为（,x,y,），则,解得：,x=-b-1,，,y=-a-1.,4.,已知,A(a,-5),，,B(0,10),，,|AB|=17,，则,a=_.,【,解析,】,依题设及两点间的距离公式得：,解得,a=8.,答案：,8,5.,平行线,l,1,：,3x-2y-5=0,与,l,2,:,之间的距离为,_.,【,解析,】,直线,l,2,可化为：由平行线间的距离公,式得：,答案：,考向,1,直线的交点,【,典例,1】,（,2013,惠州模拟）求经过直线,l,1,:3x+2y-1=0,和,l,2,:5x+2y+1=0,的交点，且垂直于直线,l,3,:3x-5y+6=0,的直线,l,的,方程,.,【,思路点拨,】,可先求出两条直线的交点坐标，再用点斜式求解；也可用与直线垂直的直线系方程或过两条直线交点的直线系方程求解,.,【,规范解答,】,方法一：先解方程组,得,l,1,，,l,2,的交点坐标为（,-1,，,2,），,再由,l,3,的斜率 求出,l,的斜率为,于是由直线的点斜式方程求出,l,：,即,5x+3y-1=0.,方法二：由于,l,l,3,，故,l,是直线系,5x+3y+C=0,中的一条，而,l,过,l,1,，,l,2,的交点（,-1,，,2,），,故,5(-1)+32+C=0,，由此求出,C=-1,，,故,l,的方程为,5x+3y-1=0.,方法三：由于,l,过,l,1,，,l,2,的交点，故,l,是直线系,3x+2y-1+,(5x+2y+1)=0,中的一条，,将其整理，得（,3+5,）,x+,（,2+2,）,y+(-1+)=0.,其斜率 解得,代入直线系方程即得,l,的方程为,5x+3y-1=0.,【,拓展提升,】,1.,两直线交点的求法,求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点,.,2.,常见的三大直线系方程,(1),与直线,Ax+By+C=0,平行的直线系方程是,Ax+By+m=0,（,mR,且,mC,）,.,(2),与直线,Ax+By+C=0,垂直的直线系方程是,Bx-Ay+m=0,（,mR,）,.,(3),过直线,l,1,:A,1,x+B,1,y+C,1,=0,与,l,2,:A,2,x+B,2,y+C,2,=0,的交点的直线系方,程为,A,1,x+B,1,y+C,1,+(A,2,x+B,2,y+C,2,)=0,（,R,），但不包括,l,2,.,【,变式训练,】,(1),已知直线方程为,(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0,，求证：无论,a,为何实数值，直线必过定点，并求出该定点,的坐标,.,【,解析,】,原方程可化为,x-2y+5+a(2x+3y-18)=0,，,它表示过直线,x-2y+5=0,与直线,2x+3y-18=0,交点的直线系方程，,无论,a,取何值它都过两直线的交点，,由 解得,所以直线过定点（,3,，,4,）,.,(2),当,m,为何值时，三条直线,l,1,：,4x+y-3=0,与,l,2,：,x+y=0,l,3,：,2x-,3my-4=0,能围成一个三角形,?,【,解析,】,三条直线能围成三角形即三条直线两两相交且不共点,.,当,m0,时，有,解得：,又因为,l,1,：,4x+y-3=0,与,l,2,：,x+y=0,的交点为,(1,-1),，所以,2+3m-,40,，解得,当,m=0,时，,l,3,:2x-4=0,l,1,:4x+y-3=0,l,2,:x+y=0,l,1,与,l,3,的交点为,(2,-5),，,l,1,与,l,2,的交点为,(1,-1),l,2,与,l,3,的交点为,(2,-2),，能构,成三角形，符合题意,.,综上可知：且,考向,2,三种距离公式的应用,【,典例,2】,(1),（,2013,中山模拟）在,OAB,中，,O,为坐标原点，,A(1,，,cos),，,B(sin,，,1),，则,OAB,的面积的取值范围是,(),（,A,）,(0,，,1,（,B,）,（,C,）（,D,）,(2),圆,C,：,x,2,+y,2,=4,上的点到直线,l,:3x+4y-20=0,距离的最大值为,_.,(3),已知直线,l,1,:mx+8y+n=0,与,l,2,:2x+my-1=0,互相平行，且,l,1,l,2,之间的距离为 求直线,l,1,的方程,.,【,思路点拨,】,(1),利用两点间距离公式求出,|OA|,，再利用点到,直线的距离公式求出点,B,到直线,OA,的距离,d.,然后将,S,OAB,表示,成,的函数再求范围,.,(2),利用几何性质，只需先求圆心到直线,l,的距离，再加上半径,即得,.,(3),先由,l,1,l,2,求出,m,的值，再根据,l,1,l,2,之间的距离为 求出,n,的值，即得,l,1,的方程,.,【,规范解答,】,(1),选,D.,由两点间距离公式得,又直线,OA,的斜率,直线,OA,的方程为,y=xcos,，即,xcos-y=0,，,点,B,（,sin,，,1,）到直线,OA,的距离,又,R,，,（,2,）圆,C,：,x,2,+y,2,=4,的圆心（,0,，,0,）到直线,l,:3x+4y-20=0,的距,离,直线,l,与圆,C,相离,最大值为,4+2=6.,答案：,6,（,3,）,l,1,l,2,，,当,m=4,时，直线,l,1,的方程为,4x+8y+n=0,，把,l,2,的方程写成,4x+8y-2=0,，解得,n=-22,或,n=18.,所以，所求直线的方程为,2x+4y-11=0,或,2x+4y+9=0.,当,m=-4,时，直线,l,1,的方程为,4x-8y-n=0,，,l,2,的方程为,4x-8y-,2=0,，解得,n=-18,或,n=22.,所以，所求直线的方程为,2x-4y+9=0,或,2x-4y-11=0.,【,互动探究,】,本例（,2,）中圆,C,变为椭圆,C,：求最,大值,.,【,解析,】,设与,l,:3x+4y-20=0,平行且与椭圆相切的直线,l,的方程,为：,3x+4y+c=0,（,c-20,），,由 消去,y,得关于,x,的一元二次方程为,18x,2,+6cx+c,2,-144=0,=(6c),2,-418(c,2,-144)=0,，,解得,数形结合得最大距离为,l,:3x+4y-20=0,与,间的距离，,【,拓展提升,】,1.,三种距离的求法,（,1,）两点间的距离：,设点,A(x,A,y,A,),B(x,B,y,B,),，,特例：,ABx,轴时，,|AB|=|y,A,-y,B,|,；,ABy,轴时，,|AB|=|x,A,-x,B,|.,(2),点到直线的距离：,可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式,.,(3),两平行直线间的距离：,利用,“,化归,”,法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；,利用两平行线间的距离公式,.,【,提醒,】,应用两平行线间的距离公式求距离时,要注意两平行直线方程中,x,，,y,的系数必须相等,.,2.,解析几何中最值问题的两大求解思想,(1),函数思想：选变量构建目标函数，转化为求函数的最值,.,(2),数形结合思想：利用待求量（式）的几何意义，数形结合求解,.,【,变式备选,】,已知点,A,（,2,，,-1,），,(1),求过点,A,且与原点距离为,2,的直线,l,的方程,.,(2),求过点,A,且与原点距离最大的直线,l,的方程，最大距离是,多少？,(3),是否存在过点,A,且与原点距离为,6,的直线？若存在，求出,方程；若不存在，请说明理由,.,【,解析,】,(1),当斜率不存在时，直线,l,的方程为,x=2,，此时，原,点到直线,l,的距离为,2,，符合题意；,当斜率存在时，设直线,l,的方程为,y+1=k(x-2),，即,kx-y-2k-1=0,，由已知得,解得 此时直线,l,的方程为,3x-4y-10=0,综上可知：直线,l,的方程为,x=2,或,3x-4y-10=0.,(2),过点,A,且与原点,O,距离最大的直线是过点,A,与,AO,垂直的直,线，由,l,AO,，得,k,l,k,OA,=-1,，所以 由直线的点斜,式得,y+1=2(x-2),，即,2x-y-5=0,，即直线,2x-y-5=0,是过点,A,且与,原点距离最大的直线,l,的方程，最大距离是,(3),由,(2),可知，过点,A,不存在到原点距离超过 的直线，因,此不存在过点,A,且与原点距离为,6,的直线,.,考向,3,对称问题,【,典例,3】,已知直线,l,：,2x-3y+1=0,，点,A(-1,-2).,求：,（,1,）点,A,关于直线,l,的对称点,A,的坐标,.,（,2,）直线,m:3x-2y-6=0,关于直线,l,的对称直线,m,的方程,.,（,3,）直线,l,关于点,A,的对称直线,l,的方程,.,【,思路点拨,】,（,1,）设出对称点,A,的坐标，利用,AA,被直线,l,垂直平分，构建方程组求解,.,（,2,）可设法找到,m,上两个点的坐标，再由两点式求出方程,.,（,3,）可设法找到两个点的坐标，即可求出直线,l,的方程；或利用对称性得,l,l,，利用待定系数法求直线,l,的方程；也可在,l,上任取一点，利用该点关于点,A,的对称点在直线,l,上得出方程,.,【,规范解答,】,（,1,）设对称点,A,的坐标为,(m,n),，由已知可得,解得,(2),在直线,m,上取一点，如,B,（,2,，,0,），则,B,关于,l,的对称点必在,m,上,.,设对称点为,B,（,a,b,）,则由,设,m,与,l,的交点为,N,，,由,得,N,（,4,，,3,）,.,又,m,过,N,点，由两点式得直线,m,的方程为,即,9x-46y+102=0.,(3),方法一：在,l,：,2x-3y+1=0,上任取两点，如,M,（,1,，,1,），,N,（,4,，,3,）,.,则,M,，,N,关于点,A,的对称点,M,，,N,均在直线,l,上,.,易知,M,（,-3,，,-5,），,N,（,-6,，,-7,），由两点式可得,l,的方,程为,2x-3y-9=0.,方法二：,l,l,，可设,l,的方程为,2x-3y+c=0(c1).,点,A,到两直线的距离相等，由点到直线的距离公式得,得,c=-9,，,l,的方程为,2x-3y-9=0.,方法三：设,P,（,x,y,）是,l,上任一点，则,P,（,x,y,）关于点,A,（,-1,，,-2,）的对称点为,P,（,-2-x,-4-y,）,.,点,P,在直线,l,上，,2,（,-2-x,）,-3(-4-y)+1=0.,整理得,2x-3y-9=0.,l,的方程为,2x-3y-9=0.,【,拓展提升,】,1.,中心对称问题的两个类型及求解方法,(1),点关于点对称：若点,M,（,x,1,y,1,）及,N,（,x,，,y,）关于,P,（,a,b,）对称，则由中点坐标公式得,(2),直线关于点的对称：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用,l,1,l,2,，由点斜式得到所求直线方程,.,2.,轴对称问题的两个类型及求解方法,(1),点关于直线的对称：,若两点,P,1,（,x,1,y,1,）与,P,2,(x,2,y,2,),关于直线,l,:Ax+By+C=0,对称，则,线段,P,1,P,2,的中点在对称轴,l,上，而且连接,P,1,P,2,的直线垂直于对称,轴,l,，由方程组,可得到点,P,1,关于,l,对称的点,P,2,的坐标（,x,2,y,2,）（其中,B0,，,x,1,x,2,）,.,(2),直线关于直线的对称：,一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行,.,【,变式训练,】,在,ABC,中，,BC,边上的高所在的直线方程为,x-2y+1=0,A,的平分线所在直线的方程为,y=0,，若点,B,的坐标为,（,1,，,2,），求点,A,和点,C,的坐标,.,【,解析,】,如图，,由,得,A(-1,0).,y=0,是,A,的平分线，,点,B,关于,y=0,的对称点,B,（,1,，,-2,）在直线,AC,上，,直线,AC,的方程为 即,y=-x-1.,又,BC,的方程为,y-2=-2(x-1),，即,y=-2x+4.,由 解得,点,C,（,5,，,-6,）,.,综上，点,A,的坐标为（,-1,，,0,），点,C,的坐标为（,5,，,-6,）,.,【,创新体验,】,有关“距离”的创新问题,【,典例,】,（,2013,汕头模拟）已知点,A,（,0,，,2,），,B,（,2,，,0,）,.,若点,C,在函数,y=x,2,的图象上，则使得,ABC,的面积为,2,的点,C,的个数为,(),（,A,）,4,（,B,）,3,（,C,）,2,（,D,）,1,【,思路点拨,】,找准创新点,使得,ABC,的面积为,2,的点,C,的个数,寻找突破口,(1),根据点,C,在,y=x,2,的图象上，设出点,C,的坐标,(t,t,2,),(2),根据,S,ABC,=2,，利用点,C,到直线,AB,的距离公式，构建关于,t,的方程,(3),将判断点,C,个数问题转化为判断关于,t,的方程解的个数问题求解,【,规范解答,】,选,A.,设点,C(t,t,2,),，直线,AB,的方程是,x+y-2=0,，,由于,ABC,的面积为,2,，则这个三角形中,AB,边上的高,h,满足方程 即 由点到直线的距离公式得,即,|t,2,+t-2|=2,，即,t,2,+t-2=2,或者,t,2,+t-2=-2.,因,为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点,C,有,4,个,.,【,思考点评,】,1.,方法感悟：本题充分体现了转化与化归思想和函数方程思想在解题中的应用，即通过转化将点,C,的个数问题转化为关于点,C,的横坐标方程解的个数问题求解，这种将,“,形,”,转化为,“,数,”,的思想方法值得我们仔细体会,.,2.,技巧提升：对于,“,距离,”,的创新问题，常见的类型有求有关长度或三角形面积的最值问题，或知长度、三角形面积情况探究点的个数以及与圆位置有关的问题等，常用的思想方法有数形结合、转化与化归及函数与方程的思想,.,有关,“,距离,”,的创新问题虽然问法新颖，但考查的还是距离公式的应用，解题的关键是将所求问题转化为熟悉的问题求解,.,1.,（,2013,珠海模拟）若直线,l,与直线,y=1,和,x-y-7=0,分别交于,点,M,，,N,，且,MN,的中点为,P,（,1,，,-1,），则直线,l,的斜率等于,(),【,解析,】,选,B.,设,l,与,y=1,交于点,M,（,m,1,），,l,与,x-y-7=0,交于点,N(n+7,，,n).,由中点坐标公式得,m=-2,n=-3,，即,M,（,-2,，,1,），,2.,（,2013,深圳模拟）直线,3x-4y+5=0,关于,x,轴对称的直线方程,为,(),（,A,）,3x+4y+5=0,（,B,）,3x+4y-5=0,（,C,）,-3x+4y-5=0,（,D,）,-3x+4y+5=0,【,解析,】,选,A.,直线,3x-4y+5=0,关于,x,轴对称的直线方程是,3x-4(-y)+5=0,，即,3x+4y+5=0.,3.,（,2013,中山模拟）过点,A,（,1,，,2,）且与原点距离最大的直,线方程为,(),（,A,）,x+2y-5=0,（,B,）,2x+y-4=0,（,C,）,x+3y-7=0,（,D,）,3x+y-5=0,【,解析,】,选,A.,所求直线过点,A,且与,OA,垂直时满足条件，而,k,OA,=2,，故所求直线的斜率为 所以所求直线方程为,即,x+2y-5=0.,4.,（,2013,佛山模拟）如图，已知,A(4,，,0),，,B(0,，,4),，从点,P(2,，,0),射出的光线经直线,AB,反射后再射,到直线,OB,上，最后经直线,OB,反射,后又回到,P,点，则光线所经过的路程是,(),【,解析,】,选,A.,由题意知点,P,关于直线,AB,的对称点为,D(4,，,2),，关于,y,轴的对称,点为,C(-2,，,0),，则光线所经过的路程,的长为 故选,A.,5.,（,2013,江门模拟）已知,(a,0,b,0),，则点,(0,b),到直线,x-2y-a=0,的距离的最小值为,_.,【,解析,】,点（,0,b,）到直线,x-2y-a=0,的距离为,当,a,2,=2b,2,且,a+b=ab,，即 时取等号,.,答案：,1.,已知点,P,在,y=x,2,上，且点,P,到直线,y=x,的距离为 这样的点,P,的个数是,(),（,A,）,1,（,B,）,2,（,C,）,3,（,D,）,4,【,解析,】,选,B.,点,P,在,y=x,2,上，设,P,（,t,t,2,），,则,解得,P,点有两个，故选,B.,2.,设两条直线的方程分别为,x+y+a=0,x+y+b=0,，已知,a,b,是方程,x,2,+x+c=0,的两个实根，且 求这两条直线之间的距离的,最大值和最小值,.,【,解析,】,a,b,是方程,x,2,+x+c=0,的两个实根,.,a+b=-1,ab=c,(a-b),2,=(a+b),2,-4ab=1-4c.,又两直线间的距离,两直线间的距离的最大值为 最小值为,