辽宁省大连育明高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷.docx

辽宁省大连育明高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．如图，记直线的斜率分别为，倾斜角分别为则下列结论正确的是（    ）

A． B．
C． D．
2．已知两点，，直线：线段相交，则的取值范围是（    ）
A． B．或 C． D．
3．空间四边形中，设，，，点在棱上，且，是棱的中点，则（    ）
A． B．
C． D．
4．已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
5．如图，在三棱柱中，M为A1C1的中点N为侧面上的一点，且MN//平面，若点N的轨迹长度为2，则（    ）

A．AC1=4 B．BC1＝4 C．AB1＝6 D．B1C＝6
6．方程表示焦距为的双曲线，则实数λ的值为（    ）
A．1 B．-4或1 C．-2或-4或1 D．-2或1
7．已知抛物线：上一点，直线：，：，则到这两条直线的距离之和的最小值为
A． B． C． D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别是，焦距，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆C的方程为（    ）
A． B．
C． D．

二、多选题
9．在以下命题中，正确的命题有（    ），
A．若，则是钝角
B．若，则存在唯一的实数，使
C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面
D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
10．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（    ）

A． B．向量与的夹角是60°
C．AC1⊥DB D．BD1与AC所成角的余弦值为
11．已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为、，则（    ）
A．线段的长度小于
B．线段的长度大于
C．当直线与圆相切时，原点到直线的距离为或
D．当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为
12．已知双曲线：（，）与椭圆有公共焦点，的左、右焦点分别为，，且经过点，则下列说法正确的是（    ）
A．双曲线的标准方程为
B．若直线与双曲线无交点，则
C．设，过点的动直线与双曲线交于，两点（异于点），若直线与直线的斜率存在，且分别记为，，则
D．若动直线斜率存在，且与双曲线恰有1个公共点，与双曲线的两条渐近线分别交于点，，则（为坐标原点）的面积为定值1

三、填空题
13．抛物线的焦点到准线的距离为 ．
14．若直线：与：平行，则 .
15．已知抛物线的焦点为F，点A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线C上，若，则 .
16．如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，M为的中点，P为线段上的动点，则下列说法正确的是 （填写序号）

①平面                
②三棱锥的体积的最大值为
③存在点P，使得与平面所成的角为    
④存在点P，使得与垂直

四、解答题
17．如图，在四棱锥中，平面，，，，，．

(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
18．已知直线l过点.
（1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程；
（2）设直线l的斜率，直线l与两坐标轴交点别为，求面积最小值.
19．如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接．

(1)求证：平面平面；
(2)若是的中点，连接，，当二面角的大小为时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
20．已知双曲线的方程为，离心率为2，右顶点为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过的直线与双曲线的一支交于、两点，求的取值范围.
21．如图，等腰直角△ACD的斜边AC为直角△ABC的直角边，E是AC的中点，F在BC上．将三角形ACD沿AC翻折，分别连接DE，DF，EF，使得平面平面ABC．已知，，

(1)证明：平面ABD；
(2)若，求二面角的余弦值．
22．在平面直角坐标系中，，，设的内切圆分别与边，，相切于点，，，已知，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点作直线交曲线于，两点，且点位于轴上方，已知，记直线，，的斜率分别为，，．
①证明：，为定值；
②设点关于轴的对称点为，求面积的最大值．

试卷第5页，共5页

参考答案：
1．B 2．B 3．C 4．A 5．B 6．A 7．D 8．A
9．CD 10．AC 11．BCD 12．ACD
13．/0.125 14．0或-1 15．/ 16．②③
17．【详解】（1）因为，，，所以；
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则,
,;
设异面直线与所成角为，则.

（2），；
设平面的一个法向量为，则,；
令，得，即.
设直线与平面所成角为，则.
18．【详解】（1）因为直线l在两坐标轴上截距和为零，
所以直线l斜率存在且不为，故不妨设斜率为，则直线l方程为，
所以直线在坐标轴上截距分别为，，
所以，整理得，解得或
所以直线l方程为或.
（2）由（1）知，
因为，
所以面积为，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积最小值
19．【详解】（1）∵是圆的直径，与圆切于点，
∴，
∵底面圆，底面圆，
∴，
∵，平面，
∴平面，又平面，
∴，
在中，，则，
∴，
∵，平面，
∴平面，又平面，
∴平面平面；
（2）∵底面圆，底面圆，
∴，，
∴为二面角的平面角，
∴，
如图以为原点，在底面圆内过点作的垂线为轴，
分别为轴建立空间直角坐标系，

易知，
则，，，，，，
由（1）知为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
，，
∵，，
∴，，
∴，令，得，
故平面ODE的一个法向量为，
∴．
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
20．【详解】（1）由离心率又,所以，
又右顶点为，所以，所以，
故双曲线的标准方程为.
（2）设直线的方程为，设，
则由得，
因为直线与双曲线一支交于、两点，
所以 ，解得，
因此
，
因为，所以，
所以，所以，
故.
21．【详解】（1）过D作，垂足为G，
∵平面平面ABC，平面平面，平面DEF，
∴平面ABC，∵平面ABC，∴，
∵E是等腰直角三角形ADC斜边AC的中点，
∴，又，DE，平面DEF，
∴平面DEF，∵平面DEF，∴，
∵，∴，
∵平面ABD，平面ABD，∴平面ABD．

（2）由题意可知，在等腰直角三角形ADC中，
∵，∴，
由（1）可知，EF为直角三角形BAC的中位线，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，．
以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设平面CDF的法向量，则，，，，，
由得，令，则，
显然，平面ABC的法向量，．
二面角的余弦值．

22．【详解】（1）由题意知，，
曲线是以，为焦点，长轴长为的椭圆（除去与轴的交点），
设曲线：（，），则，，即，，
曲线的方程为；
（2）①设直线的方程为，，，，
则，，消得，得
因此，
故．
②坐标为，则直线方程为，
令解得
，即直线恒过点，
故
，
当，即时，等号成立，此时求面积最大值为．

答案第5页，共6页