高三数学中档题+详细答案(全).doc

高三数学中档题+详细答案〔全〕
班级 姓名
1.如图所示，在直三棱柱中，平面为的中点．〔1〕求证：平面；〔2〕求证：平面；
〔3〕在上是否存在一点，使得∠=45°，若存在，试确定的位置，并判断平面与平面是否垂直？若不存在，请说明理由．

2. 设、分别是椭圆的左、右焦点，．
〔Ⅰ〕若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;
〔Ⅱ〕若C为椭圆上异于B一点，且，求的值；
〔Ⅲ〕设P是该椭圆上的一个动点，求的周长的最大值.

3． 已知定义在上的奇函数 〔〕，当 时，取极小值〔1〕求的值；
〔2〕当时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论.〔3〕求证:对,都有

4．设数列的前项和为，为常数，已知对，当时，总有.⑴ 求证：数列｛｝是等差数列；
⑵ 若正整数n, m, k成等差数列，比较与的大小，并说明理由！

高三数学中档题训练27
班级 姓名
1. 在平面直角坐标系中，已知圆心在直线上，半径为的圆C经过坐标原点O，椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
〔1〕求圆C的方程；〔2〕若F为椭圆的右焦点，点P在圆C上，且满足，求点P的坐标.

18. 某厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进先进设备，并马上投入生产，第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元.请你根据以上数据，解决下列问题：〔1〕引进该设备多少年后，开始盈利？〔2〕引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，哪种方案较为合算？请说明理由′

3.设二次函数在区间上的最大值、最小值分别是M、m，集合.〔1〕若，且，求M和m的值；
〔2〕若，且，记，求的最小值.

4.设数列满足，若是等差数列，是等比数列.〔1〕分别求出数列的通项公式；
〔2〕求数列中最小项及最小项的值；〔3〕是否存在，使，若存在，求满足条件的所有值；若不存在，请说明理由.

高三数学中档题训练28
班级 姓名
1、已知分别是正三棱柱的侧面和侧面的对角线的交点,是棱的中点. 求证:〔1〕平面;
〔2〕平面平面.

2．在平面区域内有一个圆,向该区域内随机投点,当点落在圆内的概率最大时的圆记为⊙M．〔1〕试求出⊙M的方程；〔2〕过点P〔0，3〕作⊙M的两条切线，切点分别记为A，B；又过P作⊙N：x2+y2-4x+y+4=0的两条切线，切点分别记为C，D．试确定的值，使AB⊥CD．
O
x+2y-6=0
x-2y+10=0
（图1）
y
x
2x-y-7=0
y
（图2）
O
x
A
B
C
D
P
M
N

3. 已知函数．〔1〕当a=1时，证明函数只有一个零点；〔2〕若函数在区间〔1，+∞〕上是减函数，求实数a的取值范围．

4. 已知函数，是方程的两个根，是的导数．设，．〔1〕求的值；
〔2〕已知对任意的正整数有，记．求数列的前 项和．

高三数学中档题训练29
班级 姓名
1．已知函数，． 〔1〕求的最大值和最小值；〔2〕若不等式在上恒成立，求实数的取值范围

2、已知椭圆：的两个焦点为，，点在椭圆上，且，，．〔1〕求椭圆的方程；
〔2〕若直线过圆的圆心，交椭圆于，两点，且，关于点对称，求直线的方程．

3．已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立．〔1〕函数是否属于集合？说明理由；
〔2〕若函数属于集合，试求实数和的取值范围；
〔3〕设函数属于集合，求实数的取值范围．

4．设常数，函数.
〔1〕令，求的最小值，并比较的最小值与零的大小；
〔2〕求证：在上是增函数；
〔3〕求证：当时，恒有．

高三数学中档题训练30
班级 姓名
1．若函数的图象与直线y=m相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列.〔Ⅰ〕求m的值；〔Ⅱ〕若点图象的对称中心，且，求点A的坐标.

2．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M 〔1,〕, N 〔 －,〕两点.
〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕在椭圆上是否存在点P〔x,y〕，使P到定点A〔a,0〕〔其中0＜a＜3〕的距离的最小值为１？若存在，求出a的值及P点的坐标；若不存在，请给予证明．

3.设A〔x1 , y1〕,B〔x2 , y2〕是函数f〔x〕=+log2图象上任意两点，且=〔+〕,点M的横坐标为.⑴求M点的纵坐标；⑵若Sn==f〔〕+f〔〕+…+f〔〕,n∈N*,且n≥2，求Sn;
⑶已知an=n∈N*,Tn为数列{an}的前n项和，若Tn<λ〔Sn+1+1〕 对一切n>1且n∈N*都成立，求λ的取值范围.

4.已知函数f〔x〕= +lnx的图像在点P〔m,f〔m〕〕处的切线方程为y=x ,
设．
〔1〕求证：当恒成立；
〔2〕试讨论关于的方程： 根的个数．

高三数学中档题训练26
1.证明：〔1〕连接与相交于，则为的中点.连结，又为的中点，
，又平面，平面
平面 . …………………………………………4′
〔2〕，∴平行四边形为菱形，，
又面
，面 …………………………7′
.又在直棱柱中，，
平面. ……………………………………9′
〔3〕当点为的中点时，∠=45°，且平面平面.
设AB=a，CE=x，∴，，
∴，
∴在中，由余弦定理得
即
∴，
∴x=a，即E是的中点. ………………………………………13′
、分别为、的中点，.
平面，平面.
又平面，∴平面平面. …………………………15′
2．解：〔Ⅰ〕易知
所以，设，则

因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值
当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值
〔Ⅱ〕设C〔〕， 由得，
又 所以有解得．
〔Ⅲ〕 因为|P|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|，
∴的周长≤4＋|BF2|＋|B|≤8．
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，周长最大，最大值为8．3．解〔1〕∵函数图象关于原点对称，∴对任意实数，
∴，即恒成立 ∴ …………4分
∴，
∵时，取极小值,∴，
解得 ………8分
〔2〕当时，图象上不存在这样的两点使结论成立. …………10分
假设图象上存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直，
则由知两点处的切线斜率分别为
且…………〔*〕 …………13分
、，
此与〔*〕相矛盾，故假设不成立. ………………16分
4〔本小题满分18分〕
⑴证明：∵当时，总有
∴ 当时，即 2分
且也成立 ………3分
∴ 当时，
∴数列｛｝是等差数列 …………5分
⑵解： ∵正整数n, m, k成等差数列，∴
∴

……9分
∴ ① 当时，
② 当时，
③ 当时， ……10分 高三数学中档题训练27
1. 解：〔1〕由已知可设圆心坐标为， …………………………
∴得，∴圆心坐标为， …………………………
所以圆的方程为 ……………………………
〔2〕由题意，椭圆中，即
，∴，∴ …………………………
设，则，
……………………………
解之得：
即 …………………………………………
2. 解：〔1〕设引进设备几年后开始盈利，利润为y万元
则y=50n-[12n+×4]-98=-2n2+40n-98
由y>0可得
∵n∈N*，∴3 ≤n≤17，即第3年开始盈利 …………………… 5′
〔2〕方案一：年平均盈利
当且仅当即n=7时取“＝”
　 共盈利12×7+26=110万元 …………………………………………9′
方案二：盈利总额y=-2n2+40n-98=-2〔n-10〕2+102
当n=10时，ymax=102
共盈利102+8=110万元………………………………………13′
方案一与方案二盈利客相同，但方案二时间长，∴方案一合算…………153. 〔1〕由 ……………………1′
又
……………………………………………3′
………………………………………4′

………………………5′
……………………6′
〔2〕
………………………8′

……………………………10′
………………………11′
………………………12′
…………………………13′
……15′
4.解：〔1〕由成等差数列知其公差为1，
故 ……………………
由等比数列知，其公比为，
故 …………
=
+6== ………

＝+6=2+ …………………………………………………
〔2〕由〔1〕题知,= ,所以当或时，取最小项，其值为3…
〔3〕假设存在，使-2-=-
则- 即 …………
∵是相邻整数
∴，这与矛盾，所以满足条件的不存在 ………………
高三数学中档题训练28
2、证明：〔1〕连结，因为分别是侧面和侧面的对角线的交点，所以分别是的中点…………………………………………4分
所以，且在平面中，而不在平面中，故平面…………………7分
〔2〕因为三棱柱为正三棱柱，所以平面，，故由得……9分
又因为是棱的中点，且为正三角形，，故由得，……11分
而，平面，所以平面，又平面，故平面平面.……………………………………14分
2. 〔1〕设⊙M的方程为〔x-a〕2+〔y-b〕2=r2〔r＞0〕，则点〔a，b〕在所给区域的内部．2分
于是有
………………………………………………8分
〔未能去掉绝对值，每个方程给1分〕
解得 a=3，b=4，r=，所求方程为〔x-3〕2+〔y-4〕2=5． …………………10分
〔2〕当且仅当PM⊥PN时，AB⊥CD． ………………………………14分
因，故，解得=6． …………………………18分
当=6时，P点在圆N外，故=6即为所求的满足条件的解．〔本验证不写不扣分〕3. 解：〔1〕当a=1时，，其定义域是，

令，即，解得或．
，舍去．
当时，；当时，．
∴函数在区间〔0，1〕上单调递增，在区间〔1，+∞〕上单调递减
∴当x=1时，函数取得最大值，其值为．
当时，，即．
∴函数只有一个零点．
〔2〕法一：因为其定义域为，
所以
①当a=0时，在区间上为增函数，不合题意
②当a>0时，等价于，即．
此时的单调递减区间为．
依题意，得解之得．
③当a<0时，等价于，即·
此时的单调递减区间为，得
综上，实数a的取值范围是
法二：

由在区间上是减函数，可得
在区间上恒成立．
① 当时，不合题意
② 当时，可得即

4. 〔1〕 由 得

〔2〕

又
数列是一个首项为 ，公比为2的等比数列；

高三数学中档题训练29
1．解：〔1〕．
又，，即，
．
〔2〕，，
且，
，即的取值范围是．2.〔1〕…………7分 〔2〕…………7分
3．〔本小题满分16分〕
解：〔1〕，若，则存在非零实数，使得
，……〔2分〕即，……〔3分〕
因为此方程无实数解，所以函数．……〔4分〕
〔2〕，由，存在实数，使得
，……〔6分〕
解得，……〔7分〕
所以，实数和的取得范围是，．……〔8分〕
〔3〕由题意，，．由，存在实数，使得
，……〔10分〕
所以，，
化简得，……〔12分〕
当时，，符合题意．……〔13分〕
当且时，由△得，化简得
，解得．……〔15分〕
综上，实数的取值范围是．……〔16分〕4．解〔Ⅰ〕∵，
∴
∴，∴，令，得，列表如下：

2

0

递减
极小值
递增
∴在处取得极小值，
即的最小值为．
，∵，∴，又，∴．
〔Ⅱ〕证明由〔Ⅰ〕知，的最小值是正数，∴对一切，恒有从而当时，恒有，故在上是增函数．
〔Ⅲ〕证明由〔Ⅱ〕知：在上是增函数，
∴当时，， 又，
∴，即，∴
故当时，恒有．高三数学中档题训练30
1．解析：解：〔1〕 3分
由于y=m与的图象相切， 则； 5分
〔2〕因为切点的横坐标依次成公差为等差数列，所以
2．解：〔Ⅰ〕设椭圆方程为mx+ny=1〔m＞0,n,＞0且m≠n〕 ……………2分
∵椭圆过M,N两点，∴m+ …………………4分
∴m= ………………………………………………6分
∴椭圆方程为 …………………………………………7分
〔Ⅱ〕设存在点P〔x,y〕满足题设条件，∴|AP|=〔x-a〕+y ,
又,∴y=4〔1 -〕,
∴|AP|=〔x-a〕+ 4〔1 -〕=〔x-a〕+4-a〔|x|≤3〕，…………………10分
若|AP|的最小值为4-a，依题意，
4-a=1 ，∴a=;………………………………………12分
若即时，当x=3时,
|AP|的最小值为〔3-a〕,〔3-a〕=1,
∴a=2,此时点P的坐标是〔3，0〕 .…………………………………………15分
故当a=2时，存在这样的点P满足条件，P点的坐标是〔3，0〕.…………16分
3.解:〔1〕 ∵x1+x2=1,∴yM===； 4分
〔2〕 ∵对任意xÎ〔0,1〕都有f〔x〕+f〔1-x〕=1∴f〔〕+f〔1-〕=1,即f〔〕+f〔〕=1
而Sn==f〔〕+f〔〕+…+f〔〕,
又Sn==f〔〕+f〔〕+…+f〔〕
两式相加得2Sn=n-1,∴Sn=. 10分
〔3〕 n≥2时，an==4〔〕,Tn=<,λ>,而≤=，等号成立当且仅当n=2,∴λ>. 16分

4．〔本小题满分16分〕
〔1〕由k=得m=1∴f〔m〕=1=n+0,n=1
∴． ———2′
∴，
∴在是单调增函数，
∴对于恒成立．———6′
〔2〕方程，∴．
∵ ，∴ 方程为．
令，
，当上为增函数；
上为减函数，
当时， ———11′

，
∴、在同一坐标系的大致图象如图所示，
∴①当时，方程无解．
②当时，方程有一个根．
③当时，方程有两个根．—16′15、

16 / 16