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2023年本溪铁岭辽阳市初中毕业生学业考试
数学试卷
※ 考试时间120分钟 试卷满分150分
考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效．
第一部分 选择题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 2的绝对值是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据绝对值的意义即可求解．
【详解】解：2的绝对值是是2，
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值的计算，掌握正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，是解题的关键．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是利用轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断．
3. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图定义直接判断即可得到答案．
【详解】解：从上面看该几何体，所看到的图形是长方形，中间有一条实线，
故选：C．
【点睛】本题考查几何体俯视图，解题的关键是掌握俯视图定义及熟练掌握三视图中直接看到的是实线，遮挡的是虚线．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】按照整式的加减，同底数幂的除法，完全平方公式和积的乘方运算法则进行求解即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了整式的加减，同底数幂的除法，完全平方公式和积的乘方运算，解答本题的关键是熟练掌握各运算法则．
5. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的10名运动员的成绩如下表所示：
成绩/m
1.40
1.50
1.60
1.70
1.80
人数/名
1
3
2
3
1
则这10名运动员成绩的中位数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】按照求中位数的方法进行即可．
【详解】解：把数据按从小到大排列，最中间的两个数为第5、6两个数据，它们分别是，，则中位数为：
故选：C．
【点睛】本题考查了求数据的中位数，熟悉中位数的概念是解题的关键．
6. 如图，直线被射线所截，，若°，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由对顶角相等及平行线的性质即可求得结果．
【详解】解：∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角的性质，掌握这两个性质是关键．
7. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A. 了解某种灯泡的使用寿命
B. 了解一批冷饮的质量是否合格
C. 了解全国八年级学生的视力情况
D. 了解某班同学中哪个月份出生的人数最多
【答案】D
【解析】
【分析】根据全面调查的特点，结合抽样调查特点，逐项分析即可．
【详解】解：A、适合抽样调查，故不符合题意；
B、适合抽样调查，故不符合题意；
C、适合抽样调查，故不符合题意；
D、适合全面调查，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全面调查即普查，对总体中的每个个体都进行的调查称为全面调查，对于总体中个体数量比较大、具有破坏性或不可能也没必要时，不适宜采用全面调查，把握这一特点是解题的关键．
8. 某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度，设慢车的速度是，所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设出慢车的速度，再利用慢车的速度表示出快车的速度，根据所用时间差为1小时列方程即可．
【详解】解：设慢车的速度是，则快车的速度为，
依题意得，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
9. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点D作于M，由勾股定理可求得，由题意可证明，则可得，从而有，在中，由勾股定理建立方程即可求得结果．
【详解】解：过点D作于M，如图，
由勾股定理可求得，
由题中作图知，平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即的长为为；
故选：D．
【点睛】本题考查了作图：作角平分线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用全等的性质、利用勾股定理建立方程是解题的关键．
10. 如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，到点停止运动，同时动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．在的右侧以为边作菱形，点在射线．设点的运动时间为，菱形与的重叠部分的面积为，则能大致反映与之间函数关系的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先证明菱形是边长为x，一个角为的菱形，找到临界点，分情况讨论，即可求解．
【详解】解：作于点D，作于点E，
由题意得，，
∴，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，，
∴，，
当点M运动到直线上时，
此时，是等边三角形，
∴，；
当点Q、N运动到与点重合时，
∴，；
当点P运动到与点重合时，
∴，；
∴当时，，
当时，如图，作于点G，交于点R，
则，，，
∴，
当时，如图，作于点I，
则，，
∴，
综上，与之间函数关系的图象分为三段，当时，是开口向上的一段抛物线，当时，是开口向下的一段抛物线，当时，是开口向上的一段抛物线，
只有选项A符合题意，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数的图象，二次函数的图形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质，三角形的面积公式，利用分类讨论的思想方法解答和熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
第二部分 非选择题（共120分）
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 截止到2023年4月底，我国网络覆盖全国所有地级（以上）市、县城城区，移动电话用户达到户，将数据用科学记数法表示为___________．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，根据此形式表示即可．
【详解】解：；
故答案为：
【点睛】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值．
12. 分解因式：__．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：，
，
．
故答案：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．
13. 如图，等边三角形是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往内投一粒米，落在阴影区域的概率为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率的计算方法即可求解．
【详解】解：∵一粒米可落在9个等边三角形内的任一个三角形内，而落在阴影区域的只有5种可能，
∴一粒米落在阴影区域的概率为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了简单事件的概率，关键是求得所有事件的可能结果数，某个事件发生时的可能结果数．
14. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____.
【答案】k<-
【解析】
【分析】根据一元二次方程跟的判别式，可得关于k的一元一次不等式进行求解即可.
【详解】根据题意得，
，
解得：k<-，
故答案为：k<-.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记方程有两个不相等的实数根， 方程有两个相等的实数根，方程没有实数根， 方程有实数根是解题的关键.
15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据位似图形的概念得到四边形和四边形相似，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可．
【详解】解：∵四边形的面积是四边形面积的4倍，
∴四边形和四边形的相似比为，
∵，
∴第一象限内点 ，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
16. 如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，则的值为___________．
【答案】6
【解析】
【分析】延长交x轴于点F，设，利用相似三角形的判定与性质可求得矩形的长与宽，再由矩形的面积即可求和k的值．
【详解】解：延长交x轴于点F，如图，
由点D在反比例函数的图象上，则设，
∵矩形的边平行于轴，，，
∴轴，，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，即，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，其中相似三角形的判定与性质是关键．
17. 如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况考虑，利用对称的性质及三角形内角和等知识即可完成求解．
【详解】解：由折叠的性质得：；
∵，
∴；
①当在下方时，如图，
∵，
∴，
∴；
②当在上方时，如图，
∵，
∴，
∴；
综上，的度数为或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，注意分类讨论．
18. 如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，点为的中点，连接，当最小时，的面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，交于点P，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得垂直平分，为定角，可得点F在射线上运动，当时，最小，由含30度角直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：连接，交于点P，如图，
∵，点为的中点，
∴，
∵，
∴,
∴是等边三角形，
∴；
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∵，
∴垂直平分，，
∴点F在射线上运动，
∴当时，最小，
此时，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴由勾股定理得，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，含30度直角三角形的性质，斜边中线性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，勾股定理，旋转的性质，确定点F的运动路径是关键与难点．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，5．
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20. 6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：（优秀）；（良好）；（中）；（合格）．并将统计结果绘制成如下两幅统计图．
（1）本次抽样调查的学生共有___________名；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有多少名？
（4）在这次竞赛中，九年级一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）60 （2）见解析
（3）估计本次竞赛获得B等级的学生有480名；
（4）所选2人恰好是一男一女的概率为．
【解析】
【分析】（1）根据A组人数以及百分比计算即可解决问题；
（2）求出C组人数，画出条形图即可解决问题；
（3）利用样本估计总体即可；
（4）先画出树状图，继而根据概率公式可求出两位参赛选手恰好是一男一女的概率．
【小问1详解】
解：（名）
答：本次抽样调查的学生共有60名；
故答案为：60；
小问2详解】
解：C组人数为：（名），
补全条形图如图所示：
；
【小问3详解】
解：估计本次竞赛获得B等级的学生有：（名），
答：估计本次竞赛获得B等级的学生有480名；
【小问4详解】
解：画树状图如下：
机会均等的可能有12种，其中一男一女的有8种，
故被选中的两人恰好是一男一女的概率是：
【点睛】此题考查条形统计图和扇形统计图相关联，由样本估计总体，用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21. 某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元
（1）求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元；
（2）若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？
【答案】（1）A礼品盒的单价是100元，B礼品盒的单价是120元；
（2）至少购进A种礼品盒15盒．
【解析】
【分析】（1）设A礼品盒的单价是a元，B礼品盒的单价是b元，根据题意列方程组即可得到结论；
（2）设购进A礼品盒x盒，则购进B礼品盒盒，根据题意列不等式即可得到结论．
【小问1详解】
解：设A礼品盒的单价是a元，B礼品盒的单价是b元，
根据题意得：，
解得：，
答：A礼品盒的单价是100元，B礼品盒的单价是120元；
【小问2详解】
解：设购进A礼品盒x盒，则购进B礼品盒盒，
根据题意得：，
解得：，
∵x为整数，
∴x的最小整数解为15，
∴至少购进A种礼品盒15盒．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．
22. 暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）
（1）求登山缆车上升的高度；
（2）若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）
（参考数据：）
【答案】（1）登山缆车上升的高度；
（2）从山底A处到达山顶处大约需要.
【解析】
【分析】（1）过B点作于C，于E，则四边形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性质求得的长，据此求解即可；
（2）在中，求得的长，再计算得出答案．
【小问1详解】
解：如图，过B点作于C，于E，则四边形是矩形，
在中，，，
∴，
∴，
答：登山缆车上升的高度；
【小问2详解】
解：在中，，，
∴，
∴从山底A处到达山顶处大约需要：
，
答：从山底A处到达山顶处大约需要.
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握直角三角形的边角关系是解题关键．
五、解答题（满分12分）
23. 商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量（台）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示：
销售单价（元）
…
50
60
70
…
月销量（台）
…
90
80
70
…
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？
【答案】（1）
（2）护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）设销售利润为W元，列出W关于x的函数关系式，即可求得最大利润．
【小问1详解】
解：由题意设，
由表知，当时，；当时，；
以上值代入函数解析式中得：，
解得：，
所以y与x之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：设销售利润为W元，
则，
整理得：，
由于销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，则，
∵，，
∴当时，W随x的增大而增大，
∴当时，W有最大值，且最大值为2400；
答：当护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元．
六、解答题（满分12分）
24. 如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且．
（1）求证：EF与相切；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
分析】（1）利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，推出，即可证明结论成立；
（2）设半径为x，则，在中，利用正弦函数求得半径的长，再在中，解直角三角形即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，
∵，∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴EF与相切；
【小问2详解】
解：设半径为x，则，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，即，
解得，
经检验，是所列方程的解，
∴半径为4，则，
在中，，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
七、解答题（满分12分）
25. 在中，，，点为的中点，点在直线上（不与点重合），连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作直线，过点作，垂足为点，直线交直线于点．
（1）如图，当点与点重合时，请直接写出线段与线段的数量关系；
（2）如图，当点在线段上时，求证：；
（3）连接，的面积记为，的面积记为，当时，请直接写出的值．
【答案】（1）．
（2）见解析． （3）或．
【解析】
【分析】（1）可先证，得到，根据锐角三角函数，可得到和的数量关系，进而得到线段与线段的数量关系．
（2）可先证，得到，进而得到，问题即可得证．
（3）分两种情况：①点D在线段上，过点作垂直于，交于点，过点作垂直于，交于点，设，利用勾股定理，可用含的代数式表示，根据三角形面积公式，即可得到答案．②点D在线段的延长线上，过点作垂直于，交延长线于点,令交于点,连接,设，可证，进一步证得是等腰直角三角形，，利用勾股定理，可用含的代数式表示，根据三角形面积公式，即可得到答案
【小问1详解】
解：．
理由如下：
如图，连接．
根据图形旋转的性质可知．
由题意可知，为等腰直角三角形，
为等腰直角三角形斜边上的中线，
，．
又，
．
在和中，
．
，．
．
．
．
【小问2详解】
解：为等腰直角三角形斜边上的中线，
．
，
．
，，
．
，．
，．
在和中，
．
．
．
【小问3详解】
解：当点D在线段延长线上时，不满足条件，故分两种情况：
①点D在线段上，如图，过点作垂直于，交于点；过点作垂直于，交于点．
设，则．
根据题意可知，四边形和为矩形，为等腰直角三角形．
，．
由（2）证明可知，
．
．
．
根据勾股定理可知
，
的面积与的面积之比
②点D在线段的延长线上，过点作垂直于，交延长线于点,令交于点,连接,由题意知，四边形，是矩形，
∵
∴
即
又∵，
∴
∴
而
∴
∴是等腰直角三角形，
设，则，
∴
中，
的面积与的面积之比
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、勾股定理以及图形旋转的性质，灵活利用全等三角形的判定及性质是解题的关键．
八、解答题（满分14分）
26. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长；
（3）点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为；
（2）；
（3）点的坐标为或．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线的解析式为，设，则，利用对称性质求得，推出，，利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解；
（3）先求得直线的解析式为，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，证明，推出，，设，则，由点M在直线上，列式计算，可求得m的值，利用平移的性质即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点和，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：∵点和，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
设，且，则，
∴，
∵解析式的对称轴为，
∴，
∴，
依题意得，
解得（舍去）或，
∴；
【小问3详解】
解：令，则，
解得或，
∴，
同理，直线的解析式为，
∵四边形正方形，
∴，，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，如图，
，，
∴，
∴，，
设，
∴，，
则，
∵点M在直线上，
∴，
解得或，
当时，，，
即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形是正方形，此时；
当时，，，
点O向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点M，
则点E向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点N，
∴，即．
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式和正方形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论．
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