河南省南阳市第一中学校2023-2024学年高二下学期第二次月考（6月）数学试题.docx

河南省南阳市第一中学校2023-2024学年高二下学期第二次月考（6月）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．抛物线的焦点为F，点M在C上，，则M到y轴的距离是（    ）
A．4 B．8 C．10 D．12
2．如图，四棱锥S－ABCD的底面ABCD是菱形，且，AB＝AS＝1，则SC＝（    ）

A．1 B． C． D．
3．设，随机变量的分布

0
1

则当在内增大时，（    ）
A．增大，增大 B．增大，减小
C．减小，增大 D．减小，减小
4．已知变量x，y的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据下：

16
17
18
19

50
34
41
31
由上表可得线性回归方程，则c＝（　　）
A． B． C．109 D．
5．已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为（    ）
A． B． C． D．
6．若过点可以作曲线的两条切线，则（    ）
A． B．
C． D．
7．数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，（且），则数列的前n项和为（    ）
A． B． C． D．
8．若（其中为自然对数的底数），则，，的大小关系是（   ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点，则下列说法正确的是（    ）

A．
B．平面
C．与平面所成夹角的正弦值为
D．平面与平面所成夹角的正弦值为
10．已知函数，则（    ）
A．
B．当时，的极大值为，无极小值
C．当时，的极小值为，无极大值
D．当时，恒成立，的取值范围为
11．已知双曲线，、分别为双曲线的左、右顶点，、为左、右焦点，，且，，成等比数列，点是双曲线的右支上异于点的任意一点，记，的斜率分别为，，则下列说法正确的是（    ）．
A．当轴时，
B．双曲线的离心率
C．为定值
D．若为的内心，满足，则

三、填空题
12．已知数列满足 ，若 为数列 的前 项和，则
13．设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
14．已知关于 的不等式 (其中 )的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是

四、解答题
15．某家会员足够多的知名水果店根据人的年龄段办理会员卡， “年龄在 20岁到34岁之间的会员” 为 1 号会员，占比 20%， “年龄在 35 岁到 59 岁之间的会员” 为 2 号会员，占比 ，“年龄在 60 岁到 80 岁之间的会员” 为 3 号会员，占比 ，现对会员进行水果质量满意度调查. 根据调查结果得知，1 号会员对水果质量满意的概率为 号会员对水果质量满意的概率为 号会员对水果质量满意的概率为 .
(1)随机选取 1 名会员， 求其对水果质量满意的概率;
(2)从会员中随机抽取 2 人，记抽取的 2 人中，对水果质量满意的人数为 ，求 的 分布列和数学期望.
16．如图，在斜三棱柱 中， 分别是 的中点.

(1)证明: 平面 ;
(2)若 ，且 ，求直线 与平面所成角的正弦值.
17．已知点 为椭圆 上任一点，椭圆的短轴长为 ，离心率为 .
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)若点 是抛物线 的准线上的任意一点，以为直径的圆过原点 ，试判断 是否为定值? 若是，请求出这个定值; 若不是，请说明理由.
18．已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求实数的取值范围；
(3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
19．在计算机科学中，维数组是一种基础而重要的数据结构，它在各种编程语言中被广泛使用．对于维数组，，定义与的差为与之间的距离为．
(1)若维数组，证明：；
(2)证明：对任意的数组A，B，C，有；
(3)设集合中有个维数组，记中所有两元素间的距离的平均值为，证明：．

试卷第5页，共5页

参考答案：
1．B
2．B
3．D
4．D
5．A
6．B
7．D
8．A
9．BC
10．CD
11．BCD
12．77
13．
14．
15．(1)
(2)分布列见解析；

【分析】（1）由题意，根据全概率公式计算即可求解；
（2）由题意知，利用二项分布求出对应的概率，列出的分布列，求出数学期望即可.
【详解】（1）设事件：随机选取1名会员，其对水果质量满意.
则；
（2）的可能取值为，则，
，
，
，
所以的分布列为

0
1
2

所以.
16．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）连接交于点E，连接OE，，可得四边形为平行四边形，则有，利用线面平行的判定定理可证得平面；
（2）可证得平面ABC，以O为原点，OA，，OC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成的角正弦值.
【详解】（1）连接交于点E，连接OE，，
∵O，E分别是AB，的中点，D为的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，则．
∵平面，平面，
∴平面．
（2）连接OC，
∵，,
∴为正三角形，
∴，
∵，且都在面，
∴平面ABC，而面，故，
由，易知△ABC是等腰直角三角形，
∴，
以O为原点，OA，，OC所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，则，，，，
由，可得，且，，
设平面的法向量为，
∴，即，令，，
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成的角正弦值为．
17．(1)
(2)为定值，且定值为2．

【分析】（1）将椭圆方程化为标准方程，然后利用椭圆的焦点坐标求出的值，代入即可求出椭圆的标准方程；
（2）设，，因为以为直径的圆过原点，所以，得到，再利用两点间的距离公式代入化简计算即可.
【详解】（1）因为椭圆的短轴长为 ，离心率为 .，
所以，
所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由（1）知抛物线的标准方程为，其准线方程为：，
设，，
因为以为直径的圆过原点，所以，所以，
所以，即，
所以，
又因为，，
所以，
所以为定值，且定值为2．
【点睛】方法点睛：两点间距离公式中点的坐标应用椭圆方程转化为一个未知量即可得出定值.
18．(1)答案见解析
(2)
(3)

【分析】（1）求导，分和讨论判断正负，得解；
（2）根据题意，问题转化为有两解，令，利用导数判断函数的单调性极值情况得解；
（3）根据题意，问题转化为，对恒成立．当时，上式显然成立；当时，上式转化为，令利用导数求出最值得解.
【详解】（1）， ，
当时，，所以在上单调递增．
当时，令，则．           
若，即时，恒成立，所以在上单调递增．
若，即时，方程的根为，
当时，或，在和上单调递增；
当时，，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，
在上单调递减．
（2）令，则．
令，则．        
所以当时，，在上单调递减．
当时，，在上单调递增．
又当时，，且；当时，，      
所以当时，先减后增，且在处有最小值，
此时直线与有两个交点，
所以实数的取值范围为．
（3）因为，即，
即，对恒成立．
当时，上式显然成立；
当时，上式转化为，
令，，
，所以函数在上单调递增，
，，
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：第三问解题的关键是转化为在上恒成立，构造函数并利用导数研究单调性求最值，进而确定参数范围.
19．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.

【分析】（1）根据题意，结合新定义判断证明；
（2）根据新定义，因为，分和两种情况证明；
（3）根据题意结合排列组合的知识表示的式子，然后结合组合数和基本不等式进行放缩即可证得结论.
【详解】（1）设与的对应项中同时为0的有个，同时为1的有个，则对应项不同的为个，所以．
所以．
（2）设．
因为，
所以．
因为．
所以当时，，
当时，
所以
（3）记集合P中所有两个元素间距离的总和为，
则．
设集合中所有元素的第个位置的数字共有个个0．
则，因为，
所以．所以.
所以
【点睛】思路点睛：第一问，设与的对应项中同时为0的有个，同时为1的有个，根据A与B之间的距离的定义，求出，，可证；第二问，设，先由A与B的差的定义求出，再求出，分和讨论证明；第三问，记集合P中所有两个元素间距离的总和为，可得，设集合中所有元素的第个位置的数字共有个个0，则，结合组合数和基本不等式进行放缩即可证得结论.

答案第7页，共7页