江苏省无锡市辅仁高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷.docx

江苏省无锡市辅仁高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．经过，两点的直线的方向向量为，则的值为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于1，那么点与另一个焦点的距离等于（    ）
A． B． C．3 D．5
3．已知圆:,过作圆的切线,则切线长为（    ）
A． B． C．3 D．4
4．已知空间三点，，，则以、为邻边的平行四边形的面积为（    ）
A． B． C． D．
5．斜率为1的直线经过抛物线（）的焦点，且与抛物线相交于两点，线段的长为8，则的值为（    ）
A． B．1 C．2 D．3
6．在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（    ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆（）的面积为，求满足的点所构成的平面图形的面积为（    ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，设，，，动点满足，则最大值为（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．若构成空间的一个基底，则下列向量不能构成的基底是（    ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
10．(多选)已知双曲线的离心率为2.若抛物线C2：x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则（    ）
A．双曲线C1的渐近线为
B．双曲线C1的渐近线为
C．抛物线C2的方程为x2=8y
D．抛物线C2的方程为x2=16y
11．已知，点到直线：的垂足为，，，则（    ）
A．直线过定点 B．点到直线的最大距离为
C．的最大值为 D．的最小值为
12．过椭圆的右焦点作一条直线，交椭圆于、两点，则的内切圆面积可能是（    ）
A．1 B． C．2 D．

三、填空题
13．已知双曲线的方程为,则的取值范围是 .
14．已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 .
15．在棱长为3的正方体中，为线段靠近的三等分点.为线段靠近的三等分点，则直线到平面的距离为 .
16．已知椭圆：（），、为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，，则椭圆的离心率为 .

四、解答题
17．已知直线，点.
(1)已知直线与平行，求的值；
(2)求点关于直线的对称点的坐标.
18．已知过点的圆的圆心在直线上，且与直线相切.
(1)求圆的标准方程；
(2)求过点且被圆截得的弦长为的直线的斜率.
19．在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，侧棱长为，点为棱上靠近的三等分点，点在棱上靠近点的三等分点.

(1)求证：点，，，共面；
(2)求点到的距离.
20．已知椭圆：，右焦点为，点、分别为左右顶点过点的直线与椭圆交于、两点，其中点在轴上方.
(1)若四边形的面积为，求直线的斜率；
(2)设直线的斜率为，的斜率为，求的值.
21．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，是棱上一点.

(1)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求点的位置.
22．已知直线方程为，点，点到点的距离与到直线的距离之比为，.
(1)求点的轨迹的方程（用表示）；
(2)若斜率为的动直线与（1）中轨迹交于点，，其中，.点（）在轨迹上，且直线、与轴分别交于、两点，若恒有，求的值.

试卷第3页，共4页

参考答案：
1．C
2．A
3．B
4．B
5．C
6．D
7．C
8．B
9．ABD
10．AD
11．AB
12．AB
13．
14．
15．/
16．/
17．(1)3
(2)

【详解】（1）由直线平行直线，可得，解得或，
当时，直线符合题意，
当时，直线与直线重合，不合题意，
所以的值为3.
（2）设对称点的坐标为，则中点的坐标为，
所以可得，解得，
所以的坐标为.
18．(1)
(2)
【详解】（1）因为圆过点，所以①，
因为圆的圆心在直线上，所以②，
又因为圆与直线相切，所以③，
又，则①②③联立解得，
所以圆的标准方程为.
（2）由题意可得圆心到直线的距离，

设直线方程为，即，
所以，解得.
19．(1)参见解析
(2)
【详解】（1）以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

由已知可得：，
所以，所以，即向量共线，
所以点共面.
（2）由（1）可得：，
设向量的夹角为，则，
所以，又
所以点到直线的距离.
20．(1)
(2)

【详解】（1）由题知，，易知直线的斜率不为0，
设直线的方程为，，且，
由，消得到，
则，
由韦达定理得到，，
如图，四边形的面积
又，所以，整理得到，
解得或（舍），
即，所以直线的斜率为.
（2）易知，所以，
所以，
由（1）知，，
又，
，
所以，
所以的值为.

21．(1)
(2)点为的中点
【详解】（1）
如图，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系.则
于是，,设平面的法向量为，
则
故可取.设直线与平面所成角为，
则
即直线与平面所成角的正弦值是.
（2）
如图，设，，则，因，故，解得：，
则,设平面的法向量为，
则故可取.
又,设平面的法向量为，
则故可取.
设平面与平面的夹角为，则，
解得：或，因，故，即当点为的中点时，平面与平面的夹角的余弦值为.
22．(1)
(2)

【详解】（1）设，由已知可得，
两边平方化简可得，同时除以可得
，即点的轨迹的方程.
（2）
点（）在轨迹上，所以，即，
因为直线、与轴分别交于、两点，若恒有，
所以，
，
所以，通分化简可得
，①
设斜率为的动直线方程为，
所以代入①并化简可得
，②
又直曲联立可得，消去可得，
其中，
，
代入②可得，
化简并整理可得，
因为上述等式恒成立，所以上式中含项为零，
即即，
所以.

答案第7页，共7页