资源描述
三角函数模块专題复习 ——任意角的三角函数及诱导公式
二．要點精讲
1．任意角的概念
旋转開始時的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端點叫做叫的顶點。
规定:按逆時针方向旋转所形成的角叫正角,按顺時针方向旋转所形成的角叫负角。假如一条射线没有做任何旋转,我們称它形成了一种零角。
2．终边相似的角、区间角与象限角
3．弧度制
長度等于半径長的圆弧所對的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(單位可以省略不写)。角有正负零角之分，它的弧度数也应當有正负零之分.
a的终边
P(x,y))
O
x
y
角的弧度数的绝對值是：，其中，l是圆心角所對的弧長，是半径。
角度制与弧度制的换算重要抓住。
弧度与角度互换公式：1rad＝° 1°＝（rad）。
弧長公式：（是圆心角的弧度数），
扇形面积公式：。
4．三角函数定义
运用單位圆定义任意角的三角函数，设是一种任意角,它的终边与單位圆交于點,那么:
(1)叫做的正弦,记做,即；
（2）叫做的余弦,记做,即；
（3）叫做的正切,记做,即。
5．三角函数线
6．同角三角函数关系式
（1）平方关系：
（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,
（3）商数关系：
几种常用关系式：sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；(三式之间可以互相表达)
7．诱导公式
可用拾個字概括為“奇变偶不变，符号看象限”。
诱导公式一：，，其中
诱导公式二： ；
诱导公式三： ；
诱导公式四：；
诱导公式五：；
－
sin
－sin
sin
－sin
－sin
sin
cos
cos
cos
－cos
－cos
cos
cos
sin
（1）要化的角的形式為（為常整数）；
（2）记忆措施：“函数名不变，符号看象限”；
（3）sin(kπ+α)=(－1)ksinα；cos(kπ+α)=(－1)kcosα(k∈Z)；
（4）；。
三．思维總結
1．几种终边在特殊位置時對应角的集合為：
角的终边所在位置
角的集合
X轴正半轴
Y轴正半轴
X轴负半轴
Y轴负半轴
X轴
Y轴
坐標轴
2．α、、2α之间的关系。
若α终边在第一象限则终边在第一或第三象限；2α终边在第一或第二象限或y轴正半轴。
若α终边在第二象限则终边在第一或第三象限；2α终边在第三或第四象限或y轴负半轴。
若α终边在第三象限则终边在第二或第四象限；2α终边在第一或第二象限或y轴正半轴。
若α终边在第四象限则终边在第二或第四象限；2α终边在第三或第四象限或y轴负半轴。
3．學习本节内容時要注意如下几點：（1）纯熟地掌握常用的措施与技巧，在使用三角代换求解有关問題時要注意有关范围的限制；（2）要注意差异分析，又要活用公式，要善于瞄准解題目的進行有效的变形，其解題一般思维模式為：发現差异，寻找联络，合理转化。
三角函数的值与點在终边上的位置無关，仅与角的大小有关.我們只需计算點到原點的距离,那么,,。
三角函数的图象与性质
二．要點精讲
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
2．三角函数的單调区间：
的递增区间是，
递減区间是；
的递增区间是，
递減区间是，
的递增区间是，
3．函数
最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的對称轴是直线，但凡该图象与直线的交點都是该图象的對称中心。
4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两個途径，只有区别開這两個途径，才能灵活進行图象变换。
运用图象的变换作图象時，倡导先平移後伸缩，但先伸缩後平移也常常出現無论哪种变形，請牢记每一种变换總是對字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜個單位，再将图象上各點的横坐標变為本来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y＝sinx的图象上各點的横坐標变為本来的倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移個單位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。
5．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：
給出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的題型，有時從寻找“五點”中的第一零點（－，0）作為突破口，要從图象的升降状况找准第一种零點的位置。
6．對称轴与對称中心：
的對称轴為，對称中心為；
的對称轴為，對称中心為；
對于和来說，對称中心与零點相联络，對称轴与最值點联络。
7．求三角函数的單调区间：一般先将函数式化為基本三角函数的原则式，要尤其注意A、的正负运用單调性三角函数大小一般要化為同名函数,并且在同一單调区间；
8．求三角函数的周期的常用措施：
通過恒等变形化成“、”的形式，在运用周期公式，此外尚有图像法和定义法。
9．五點法作y=Asin（ωx+）的简图：
五點取法是设x=ωx+，由x取0、、π、、2π来求對应的x值及對应的y值，再描點作图。
三．思维總結
1．数形結合是数學中重要的思想措施，在中學阶段，對各类函数的研究都离不開图象，诸多函数的性质都是通過观测图象而得到的。
2．作函数的图象時，首先要确定函数的定义域。
3．對于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象時只要作出一种周期的图象，就可根据周期性作出整個函数的图象。
4．求定义域時，若需先把式子化简，一定要注意变形時x的取值范围不能发生变化。
5．求三角函数式的最小正周期時，要尽量地化為只含一种三角函数，且三角函数的次数為1的形式，否则很轻易出現錯误。
6．函数的單调性是在定义域或定义域的某個子区间上考虑的，要比较两三角函数值的大小一般先将它們化归為同一單调区间的同名函数再由该函数的單调性来比较大小。
7．判断y=－Asin（ωx+）（ω＞0）的單调区间，只需求y=Asin（ωx+）的相反区间即可，一般常用数形結合而求y=Asin（－ωx+）（－ω＜0＝單调区间時，则需要先将x的系数变為正的，再设法求之。
三角恒等变形及应用
二．要點精讲
1．两角和与差的三角函数
；
；
。
2．二倍角公式
；
；
。
3．三角函数式的化简
常用措施：①直接应用公式進行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简规定：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被開方数不含三角函数。
（1）降幂公式
；；。
（2）辅助角公式（萬能公式）
，
。
4．三角函数的求值类型有三类
（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要观测所給角与特殊角间的关系，运用三角变换消去非特殊角，转化為求特殊角的三角函数值問題；
（2）給值求值：給出某些角的三角函数式的值，求此外某些角的三角函数值，解題的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表达，求解時要注意角的范围的讨论；
（3）給值求角：实质上转化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函数值結合所求角的范围及函数的單调性求得角。
5．三角等式的证明
（1）三角恒等式的证題思绪是根据等式两端的特性，通過三角恒等变换，应用化繁為简、左右同一等措施，使等式两端化“异”為“同”；
（2）三角条件等式的证題思绪是通過观测，发現已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法進行证明。
三．思维總結
1．两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在學习時应注意如下几點：
（1）不仅對公式的正用逆用要熟悉，并且對公式的变形应用也要熟悉；
（2）善于拆角、拼角
如，等；
（3）對公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如
（4）注意倍角的相對性
（5）要時時注意角的范围
（6）化简规定
熟悉常用的措施与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等。
2．证明三角等式的思绪和措施。
（1）思绪：运用三角公式進行化名，化角，变化运算构造，使等式两边化為同一形式。
（2）证明三角不等式的措施：比较法、配措施、反证法、分析法，运用函数的單调性，运用正、余弦函数的有界性，运用單位圆三角函数线及鉴别法等。
第三讲：三角函数單元部分易錯題解析
（1）终边与终边共线(的终边在终边所在直线上) .
（2）终边与终边有关轴對称.
（3）终边与终边有关轴對称.
（4）终边与终边有关原點對称.
（5）终边在轴上的角可表达為：；终边在轴上的角可表达為：；终边在坐標轴上的角可表达為：.如的终边与的终边有关直线對称，则＝
1.特殊角的三角函数值：
30°
45°
60°
0°
90°
180°
270°
15°
75°
0
1
0
－1
1
0
－1
0
1
0
0
2-
2+
1
0
0
2+
2-
2. 同角三角函数的基本关系式：
（1）平方关系：
（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,
（3）商数关系：
3、正切函数的图象和性质：
（1）定义域：。碰到有关正切函数問題時，你注意到正切函数的定义域了吗？
（2）值域是R，在上面定义域上無最大值也無最小值；
（3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线的两個相邻交點之间的距离是一种周期。绝對值或平方對三角函数周期性的影响：一般說来，某一周期函数解析式加绝對值或平方，其周期性是：弦減半、切不变．既為周期函数又是偶函数的函数自变量加绝對值，其周期性不变，其他不定。 如的周期都是, 但的周期為，而，的周期不变；
（4）奇偶性与對称性：是奇函数，對称中心是，尤其提醒：正(余)切型函数的對称中心有两类：一类是图象与轴的交點，另一类是渐近线与轴的交點，但無對称轴，這是与正弦、余弦函数的不一样之处。
（5）單调性：正切函数在開区间内都是增函数。但要注意在整個4.定义域上不具有單调性。如下图：
5. 三角形中的有关公式：
(1)内角和定理：三角形三角和為，這是三角形中三角函数問題的特殊性，解題可不能忘掉！任意两角和与第三個角總互补，任意两半角和与第三個角的半角總互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值為正值任两角和都是钝角任意两边的平方和不小于第三边的平方.
(2)正弦定理：(R為三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的某些变式：；
；；②已知三角形两边一對角，求解三角形時，若运用正弦定理，则务必注意也許有两解.
(3)余弦定理：等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.
(4)面积公式：（其中為三角形内切圆半径）.如中，若，判断的形状（答：直角三角形）。
尤其提醒：（1）求解三角形中的問題時，一定要注意這個特殊性：；（2）求解三角形中具有边角混合关系的問題時，常运用正弦定理、余弦定理实現边角互化。
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
