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江西省部分学校2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．某学校开设5门球类运动课程、6门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ）
A．90种 B．30种 C．14种 D．11种
2．根据3对数据，，绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归方程为，则（    ）
A．11 B．10 C．9 D．8
3．若曲线表示椭圆，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
4．已知事件与事件相互独立，，则（    ）
A． B． C． D．
5．设随机变量，若，则的最大值为（    ）
A．4 B．3 C． D．
6．北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（    ）
A．504种 B．432种 C．384种 D．240种
7．已知点是双曲线：上一点，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为（    ）
A． B． C． D．
8．已知，直线与的交点在圆上，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．若，则的值可以是（    ）
A．10 B．12 C．14 D．15
10．设离散型随机变量的分布列为：

0
1
2
3

0.4
0.3
0.2
若离散型随机变量满足，则（    ）
A． B．
C． D．
11．已知倾斜角为的直线经过抛物线：()的焦点，且与抛物线交于，两点(点在第一象限)，与抛物线的准线交于点，则（    ）
A．以为直径的圆与轴相切
B．准线上存在唯一点，使得
C．
D．
12．如图，在长方体中，，M，N分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（   ）

A．平面
B．平面
C．异面直线和所成角的余弦值为
D．若为线段上的动点，则点到平面的距离不是定值

三、填空题
13．展开式中的常数项为 ．
14．在四棱锥中，底面是平行四边形，是棱上一点，且，，则 ．
15．第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日在成都开幕．大运会组委会给运动员准备了丰富的饮食服务．大运村共有两个餐厅：餐厅、餐厅，运动员甲第一天随机地选择一个餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6．则运动员甲第二天去餐厅用餐的概率为 ．
16．已知点A，B，C是离心率为的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点D，E，F分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ．

四、解答题
17．已知两点，直线．
(1)若直线经过点P，且，求直线的方程；
(2)若圆C的圆心在直线l上，且P，Q两点在圆C上，求圆C的方程．
18．从这7个数字中取出4个数字，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的四位数？
(2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数？
19．某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于分为优秀．
(1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例；
(2)若该市有名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数．
参考数据：若，则，，．
20．在荾形中，，，将菱形沿着翻折，得到三棱锥如图所示，此时．

(1)求证：平面平面；
(2)若点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
21．时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下：
直播带货评级
主播的学历层次
优秀
良好
合计
本科及以上
60
40
100
专科及以下
30
70
100
合计
90
110
200
(1)是否有的把握认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联？
(2)统计学中常用表示在事件条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件条件下发生有优势．现从这200人中任选1人，表示“选到的主播带货良好”，表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件条件下发生是否有优势；
(3)现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望．
附：，．

0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
22．已知点是抛物线的焦点，点在上，且.
(1)求的方程；
(2)过点作两条直线交于两点，交于两点，且.
①求证：为定值；
②求四边形面积的最小值.

试卷第5页，共5页

参考答案：
1．C
2．B
3．B
4．A
5．C
6．A
7．B
8．D
9．AC
10．ABD
11．ABC
12．ACD
13．24
14．
15．0.7/
16．3
17．(1)
(2)

【分析】（1）易知直线的斜率为2，再根据结合直线经过点求解；
（2）方法一：求得的中垂线方程，再由圆心C在直线l上，由求得圆心即可；方法二：根据圆C的圆心在直线l上，可设圆心C的坐标为，半径为r，再由P，Q两点在圆C上，代入圆的方程求解.
【详解】（1）解：直线的斜率为2，
设直线的斜率为k，由，得，解得，
又直线经过点，
所以直线的方程为，即．
（2）方法一：，所以的中垂线的斜率为，
又的中点为，所以的中垂线的方程为，即．
因为两点在圆C上，所以圆心C在的中垂线上，
又圆心C在直线l上，由得即圆心C的坐标为，
又圆C的半径，
所以圆C的方程为．
方法二：因为圆C的圆心在直线l上，所以可设圆心C的坐标为，半径为r，
所以圆C的方程为，
又P，Q两点在圆C上，
所以，解得
所以圆C的方程为．
18．(1)720
(2)420

【分析】（1）按照千位，百位，十位，个位的顺序，利用分布乘法计数原理即可求；
（2）个位数字可能为0，2，4，6，有四种情况，利用分类加法计数原理即可求.
【详解】（1）第一步：千位不能为0，有6种选择；
第二步：百位可以从剩余数字中选，有6种选择；
第三步：十位可以从剩余数字中选，有5种选择；
第四步：个位可以从剩余数字中选，有4种选择．
根据分步计数原理，能组成个没有重复数字的四位数．
（2）第一类：当个位数字是0时，没有重复数字的四位数有个；
第二类：当个位数字是2时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个；
第三类：当个位数字是4时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个；
第四类：当个位数字是6时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个．
根据分类计数原理．能组成个没有重复数字的四位偶数．
19．(1)
(2)人

【分析】（1）结合正态分布的对称性和特定区间概率即可求出结果；
（2）结合正态分布的对称性和特定区间概率即可得到答案.
【详解】（1）设学生的物理得分为随机变量，
则，所以，，
所以，
，
所以物理成绩优秀的人数占总人数的比例为．
（2）由题意，得，，
即，，
所以，，
所以．
又，
所以全市物理成绩在内的学生人数估计为人．
20．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）取的中点，由已知得到和的长，由勾股定理的逆定理得到，再结合证明平面，由此证明平面平面；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，分别写出直线的方向向量和平面的法向量，利用空间坐标求出角的正弦值.
【详解】（1）
证明：因为四边形是菱形，，
所以与均为正三角形，
取的中点，连结，，则，
因为，所以，
因为，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）由（1）可知，，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
因为是的中点，所以，
所以，，，
设为平面的一个法向量，
则
令，得，，所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21．(1)有
(2)，在事件条件下发生有优势
(3)分布列见解析，

【分析】（1）根据公式可求的值，结合临界值表可判断是否有的把握认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联．
（2）根据条件概率公式可求，据此值可判断在事件条件下发生有优势.
（3）利用超几何分布可求的分布列，根据公式可求其期望.
【详解】（1）由题意得．
由于，所以有的把握认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联．
（2），
因为，所以认为在事件条件下发生有优势．
（3）按照分层抽样，直播带货优秀的有3人，直播带货良好的有2人，
随机变量的可能取值为1，2，3，
，
，
，
所以的分布列为：
X
1
2
3
P

所以数学期望．
22．(1)
(2)①证明见解析；②32

【分析】（1）利于在抛物线上及建立方程组，解出即可；
（2）①联立直线和抛物线方程，利于韦达定理得到关系式，继而求得弦的长度，计算即可；②利用求得面积后，利于基本不等式求最小值即可.
【详解】（1）抛物线的准线方程为，
由题意及抛物线的定义可得
解得或
又，所以，所以抛物线的方程为.
（2）①证明：由题意知，直线的斜率均存在，
不妨设直线的方程为，
联立得，
所以，
所以.
因为，所以，
所以将换成，得.
所以，
即为定值4.
②四边形的面积

当且仅当，即时等号成立，
所以四边形面积的最小值是32.

答案第7页，共7页