辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题.docx

辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．若全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
4．“，关于的不等式恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的图像为（    ）
A． B．
C． D．
6．已知是定义在上的函数，，则“为增函数”是“为增函数”的（    ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．“若，恒成立”是真命题，则实数可能取值是（ ）
A． B． C．4 D．5
8．设函数，若是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（ ）
A．
B． ，
C．
D．
10．已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．已知函数是定义在上的增函数，且其图像是连续不断的曲线.若，（，），那么对上述常数，下列选项正确的是（ ）
A．一定存在，使得
B．一定存在，使得
C．不一定存在，使得
D．不一定存在，使得
12．已知函数，则下列结论正确的是（    ）
A．为奇函数
B．值域为
C．若，且，则
D．当时，恒有成立

三、填空题
13．设，，若，则实数的值为 .
14．若函数在上为单调函数，则实数的取值范围为 .
15．已知正数满足，则的最小值为 .
16．若定义在上的函数同时满足：①为偶函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为 .
四、解答题
17．已知全集为，．
(1)求集合；
(2)设不等式的解集为，若且“”是“”的充分不必要条件，试求实数的取值范围.
18．设．
(1)若不等式有实数解，试求实数的取值范围；
(2)当时，试解关于的不等式.
19．已知函数.
(1)若，判断的奇偶性并加以证明.
(2)若时，不等式恒成立，试求实数的取值范围.
20．已知函数，，
(1)若的解集为，求a的值；
(2)试问是否存在实数，使得对于时，不等式恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
21．已知函数，.
(1)若函数在上为偶函数，试求实数的值；
(2)在（1）的条件下，当的定义域为时，解答以下两个问题：
①判断函数在定义域上的单调性并加以证明；
②若，试求实数的取值范围.
22．设函数的定义域为，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称为的一个“美好区间”.性质①：对任意，有；性质②：对任意，有.
(1)判断并证明区间是否为函数的“美好区间”；
(2)若（）是函数的“美好区间”，试求实数的取值范围；
(3)已知定义在上，且图像连续不断的函数满足：对任意（），有.求证：存在“美好区间”，且存在，使得不属于的任意一个“美好区间”.

试卷第3页，共4页

参考答案：
1．C 2．B 3．A 4．B 5．D 6．D 7．A 8．C
9．ACD 10．AC 11．AB 12．AC
13．或 14． 15． 16．
17．【详解】（1）由，得，
由，得，解得，
故.
（2）因为且“”是“”的充分不必要条件，
所以的解集非空且是的真子集，
设，
则，即，解得或，
当时不等式的解集为，符合题意；
当时不等式的解集为，符合题意；
综上，实数的取值范围为．
18．【详解】（1）依题意，有实数解，即不等式有实数解，
当时，有实数解，则符合题意.
当时，取，则成立，符合题意.
当时，二次函数的图像开口向下，
要有解，当且仅当，所以.
综上，实数的取值范围是.
（2）不等式，
因为，所以不等式可化为，
当，即时，不等式无解；
当，即时，；
当，即时，；
综上， 当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为．
19.【详解】（1）为奇函数，证明如下：
因为，所以，
则的定义域为，且，
所以为奇函数.
（2）时，不等式恒成立，
对恒成立.
设（）， 则只需即可.
当时，则在单调递增，
所以，解得，所以；
当时，因为在单调递减，单调递增.
①当，即时，在单调递减，
所以，解得，舍去；
②当，即时，在单调递增，
所以，解得，所以此时；
③当，即时，
，解得，所以此时；
综上，实数的取值范围为.
20．【详解】（1），即，
整理得到，不等式的解集为，
故为方程的根，即，解得，
故，解得，则.
（2）对，，恒成立，只需.
在上单调递增，因此；
的对称轴为.
当，即时，，故，即，
无解，舍；
当，即时，，故，
解得，舍.
综上所述：不存在实数符合题意.
21．【详解】（1）在上为偶函数，故，
，即，解得或，
由区间定义可知，即，不满足，所以.
（2）①函数在上单调递增；
证明如下：，，任取满足，
，
由于，故，，
于是，则，
则在上单调递增.
②函数的定义域为，关于原点对称，
，则为奇函数，
由，即，
又因为在上单调递增，则，解得，
所以实数的取值范围是.
22．【详解】（1）函数，当时，可得，所以区间是函数的一个“美好区间”.
（2）记，，可得，故若为的“美好区间”，
则不满足性质②，必满足性质①，即；
由，
当时，在上单调递增，且，
即，所以不包含于，不合题意；
当时，，符合题意；
当时，，所以，不合题意；
综上可知，，即实数的取值范围是.
（3）对于任意区间，记，
由已知得在上单调递减，故，
因为，即的长度大于的长度，故不满足性质①，
所以若为的“美好区间”，必满足性质②，这只需，
即只需或，
由显然不恒成立，所以存在常数使得.
如，取，区间满足性质②；
如，取，区间满足性质②；
综上，函数一定存在“美好区间”；
记，则图象连续不断，下证明有零点：
因为在R上是减函数，所以在R上是减函数，记；
若，则是的零点，
若，则，即，，
由零点存在性定理，可知存在，使得，
若，则，即，，
由零点存在性定理，可知存在，使得，
综上，有零点，即，
因为的所有“美好区间”都满足性质②，故.（否则，与性质②不符），
即不属于的任意一个“美好区间”，证毕.

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