2024年湖北省中考数学真题 （解析版）.docx

2024年湖北省中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收入20元记作元，则支出10元记作（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【详解】解：如果收入20元记作元，那么支出10元记作元，
故选：B．
2. 如图，是由4个相同的正方体组成的立方体图形，其主视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图．根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形对每一项判断即可．
【详解】解：从正面看该组合体，所看到的主视图与选项相同，
故选：．
3. 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法．运用单项式乘单项式运算法则求出结果即可判断．
【详解】解：，

故选：D．
4. 如图，直线，已知，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据同旁内角互补，，求出结果即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
5. 不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法即在数轴上表示不等式的解集．根据一元一次不等式的性质解出未知数的取值范围，在数轴上表示即可求出答案．
【详解】解：，
．
在数轴上表示如图所示：

故选：A．
6. 下列各事件是，是必然事件的是（ ）
A. 掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3 B. 某同学投篮球，一定投不中

C. 经过红绿灯路口时，一定是红灯 D. 画一个三角形，其内角和为
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了随机事件和必然事件，解题的关键是掌握一定会发生的是必然事件，有可能发生，也有可能不发生的是随机事件，据此逐个判断即可．
【详解】解：A、掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3，是随机事件，不符合题意；
B、某同学投篮球，一定投不中，是随机事件，不符合题意；
C、经过红绿灯路口时，一定红灯，是随机事件，不符合题意；
D、画一个三角形，其内角和为，是必然事件，符合题意；
故选：D．
7. 《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值金，每只羊值金，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据未知数，将今有牛5头，羊2头，共值10金；牛2头，羊5头，共值8金，两个等量关系具体化，联立即可．
【详解】解：设每头牛值x金，每头羊值y金，
∵牛5头，羊2头，共值10金；牛2头，羊5头，共值8金，
∴，
故选：A．
8. 为半圆的直径，点为半圆上一点，且．①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点；③作射线，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理以及角平分线定义，根据直径所对的圆周角是直角可求出，根据作图可得，故可得答案
【详解】解：∵为半圆的直径，
∴，
∵，
∴，
由作图知，是的角平分线，
∴，
故选：C
9. 平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查坐标系下的旋转．过点和点分别作轴的垂线，证明，得到，，据此求解即可．
【详解】解：过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为，

∵点坐标为，
∴，，
∵将线段绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标为，
故选：B．
10. 抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，画出草图，逐一分析即可得出结论．
【详解】解：根据题意画出函数的图像，如图所示：

∵开口向上，与轴的交点位于轴上方，
∴，，
∵抛物线与轴有两个交点，
∴，
∵抛物线的顶点为，
∴，
观察四个选项，选项C符合题意，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 写一个比大的数______．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了有理数比较大小．根据有理数比较大小的方法即可求解．
【详解】解：．
故答案为：0（答案不唯一）．
12. 中国古代杰出的数学家祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰好是赵爽是概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查运用概率公式求概率，根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：共有5位数学家，赵爽是其中一位，
所以，从中任选一个，恰好是赵爽是概率是，
故答案为：
13. 计算：______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的加减运算．直接按同分母分式加减运算法则计算即可．
【详解】解：．

故选：1．
14. 铁的密度约为，铁的质量与体积成正比例．一个体积为的铁块，它的质量为______．
【答案】79
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数的应用．根据铁的质量与体积成正比例，列式计算即可求解．
【详解】解：∵铁的质量与体积成正比例，
∴m关于V的函数解析式为，
当时，，
故答案为：79．
15. 为等边三角形，分别延长，到点，使，连接，，连接并延长交于点．若，则______，______．

【答案】 ①. ##30度 ②. ##
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．利用三角形的外角性质结合可求得；作交的延长线于点，利用直角三角形的性质求得，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：∵等边三角形，，
∴，，
∴，，，
作交的延长线于点，

∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
故答案为：，．
三、解答题（75分）
16. 计算：
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据零指数幂运算法则，算术平方根定义，进行计算即可．
【详解】解：

．
17. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF．

【答案】证明见解析．
【解析】

【分析】利用SAS证明△AEB≌△CFD，再根据全等三角形的对应边相等即可得．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AB=DC，
∴∠BAE=∠DCF，
在△AEB和△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（SAS），
∴BE=DF．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
18. 小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：
方案一：如图（1），测得地与树相距10米，眼睛处观测树的顶端的仰角为：
方案二：如图（2），测得地与树相距10米，在处放一面镜子，后退2米到达点，眼睛在镜子中恰好看到树的顶端．
已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度．（结果保留整数，）

【答案】树的高度为8米
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的实际应用题，解直角三角形的实际应用题．
方案一：作，在中，解直角三角形即可求解；
方案二：由光的反射规律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可．
【详解】解：方案一：作，垂足为，

则四边形是矩形，
∴米，
在中，，
∴（米），
树的高度为米．
方案二：根据题意可得，
∵，
∴
∴，即
解得：米，
答：树的高度为8米．
19. 为促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的体育活动．为了解学生引体向上的训练成果，调查了七年级部分学生，根据成绩，分成了四组，制成了不完整的统计图．分组：，，，．

（1）组的人数为______：
（2）七年级400人中，估计引体向上每分钟不低于10个的有多少人？
（3）从众数、中位数、平均数中任选一个，说明其意义．
【答案】（1）12 （2）180
（3）见解析

【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
（1）先根据C组人数除以所占百分比求出总人数，再减去B，C，D组人数即可得A的人数；
（2）求出C，D组人数在样本中所占百分比，再乘以400即可得答案；
（3）根据众数、中位数、平均数的意义进行解答即可．
【小问1详解】
解：（人），
A组人数为：（人），
故答案为：12；
【小问2详解】
解：（人），
答：估计引体向上每分钟不低于10个的有180人；
【小问3详解】
解：从A，B，C，D组人数来看，最中间的两个数据是第20，21个，中位数落在B组，
说明B组靠后的成绩处于中等水平；
由于统计图中没有具体体现学生引体向上的训练成绩，只给出训练成绩的范围，无法计算出训练成绩的众数和平均数．
20. 一次函数经过点，交反比例函数于点．

（1）求；
（2）点在反比例函数第一象限的图象上，若，直接写出的横坐标的取值范围．
【答案】（1），，；

（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握数形结合的思想．
（1）利用一次函数经过点，点，列式计算求得，，得到点，再利用待定系数法求解即可；
（2）利用三角形面积公式求得，得到，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵一次函数经过点，点，
∴，
解得，
∴点，
∵反比例函数经过点，
∴；
【小问2详解】
解：∵点，点，
∴，
∴，，
由题意得，
∴，
∴，
∴的横坐标的取值范围为．
21. 中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点．且．

（1）求证：是的切线．
（2）连接交于点，若，求弧的长．
【答案】（1）见解析 （2）弧的长为．
【解析】
【分析】（1）利用证明，推出，据此即可证明结论成立；
（2）设的半径为，在中，利用勾股定理列式计算求得，求得，再求得，利用弧长公式求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，

在和中，，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵，
∴，

设的半径为，
在中，，即，
解得，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴弧的长为．
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，三角函数的定义，弧长公式．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
22. 学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为．

（1）求与与的关系式．
（2）围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值．
（3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值．
【答案】（1）；
（2）能，
（3）的最大值为800，此时
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用：
（1）根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式；
（2）令，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ；
（3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可．

【小问1详解】
解：∵篱笆长，
∴，
∵
∴
∴
∵墙长42m，
∴，
解得，，
∴；
又矩形面积

；
【小问2详解】
解：令，则，
整理得：，
此时，，
所以，一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴围成矩形花圃面积能为；
∴
∴
∵，
∴；
【小问3详解】

解：
∵
∴有最大值，
又，
∴当时，取得最大值，此时，
即当时，的最大值为800
23. 如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于．

（1）求证：．
（2）若为中点，且，求长．
（3）连接，若为中点，为中点，探究与大小关系并说明理由．
【答案】（1）见详解 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质得，由折叠得出，得出，证明；
（2）根据矩形性质以及线段中点，得出，根据代入数值得，进行计算，再结合，则，代入数值，得，所以；
（3）由折叠性质，得直线，，是等腰三角形，则，因为为中点，为中点，所以，，所以，则，所以，证明

，则，即可作答．
【小问1详解】
解：如图：

∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图：

∵四边形是矩形，
∴，，
∵为中点，
∴，
设，
∴，
在中，，
即，

解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：如图：延长交于一点M，连接
∵分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
∴直线

，
，
∴是等腰三角形，
∴，
∵为中点，
∴设，
∴，
∵为中点，
∴，
∵，，
∴，

∴，，

∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
【点睛】本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
24. 如图1，二次函数交轴于和，交轴于．

（1）求的值．
（2）为函数图象上一点，满足，求点的横坐标．
（3）如图2，将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为与轴交于点，记，记顶点横坐标为．
①求与的函数解析式．
②记与轴围成的图象为与重合部分（不计边界）记为，若随增加而增加，且内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出的取值范围．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）的取值范围为或．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得，，作轴于点，设，分当点在轴上方和点在轴下方时，两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质，列式求解即可；
（3）①利用平移的性质得图象的解析式为，得到图象与轴交于点的坐标，据此列式计算即可求解；
②先求得或，中含，，三个整数点（不含边界），再分三种情况讨论，分别列不等式组，求解即可．
【小问1详解】
解：∵二次函数交轴于，
∴，

解得；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
令，则，
解得或，
令，则，
∴，，，
作轴于点，
设，
当点在轴上方时，如图，

∵，
∴，
∴，即，
解得或（舍去）；
当点在轴下方时，如图，

∵，
∴，

∴，即，
解得或（舍去）；
∴或；
【小问3详解】
解：①∵将二次函数沿水平方向平移，
∴纵坐标不变是4，
∴图象的解析式为，
∴，
∴，
∴；
②由①得，
则函数图象如图，

∵随增加而增加，
∴或，中含，，三个整数点（不含边界），
当内恰有2个整数点，时，

当时，，当时，，
∴，
∴，或，
∴；
∵或，
∴；
当内恰有2个整数点，时，

当时，，当时，，
∴，
∴或，，
∴；
∵或，
∴；
当内恰有2个整数点，时，

此情况不存在，舍去，

综上，的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的表达式及二次函数与线段的交点问题，也考查了二次函数与不等式，相似三角形的判定和性质．熟练掌握二次函数图象的性质及数形结合法是解题的关键．