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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,3 复数乘幂与方根,1、乘积与商,所以|,z,1,z,2,|=,r,1,r,2,，Arg(,z,1,z,2,)=Arg,z,1,+Arg,z,2.,注意其几何意义.,1/34,1,结论,两个复数商模等于它们模商，,两个复数商辐角等于被除数与除,数辐角之差.,2/34,2,2、幂与根,2.1定义,z,n,次幂：,则有,-,棣美弗公式.,2.2 定义,zn,次根：,若有,w,n,=z,则称,w,为,zn,次根，记为,定义,3/34,3,怎样求,zn,次根呢？,4/34,4,注：1任一非零复数开 n次方，有且仅有n个不一样根；,2它们均匀分布在以原点为中心，,r,1/n,为半径圆周上.,x,y,o,5/34,5,例2,.,例1.,6/34,6,7/34,7,4 区域，单连通，多连通,1、区域概念,1.1,邻域,：复平面上以z,0,为中心，半径为,圆内全部点组成集合称为z,0,一个邻域,记为,去心邻域：由不等式,0|z-z,0,|,所确定点集。,以下设G为一平面点集.,1.2,内点,为G中一点，若存在 某个邻域，,该邻域内全部点都属于G，则称 为G一个内点.,8/34,8,1.3 开集,若G内每一点都是,内点，则称G是开集.,连通,是指,1.4 区域,设 D是一个开集，,且D是连通，称,D是一个区域.,D-区域,内点,外点,1.5 边界与边界点,已知点P不属于D，若点P任何,邻域中都包含D中点及不属于D点，则称P是,D边界点；,D全部边界点组成D边界.,P,9/34,9,1.6,闭区域,:区域,D,与它边界一起组成闭区域或闭域，记作 .,1.7,有界域与无界区域,：假如区域D能够包含在一个以原点为中心圆里面，则称D为有界；不然称为无界.,比如,表示一个闭区域.,比如,10/34,10,2、,简单曲线（或Jordan曲线),令,z,(,t,)=,x,(,t,)+,i y,(,t,),a,t,b,;,则曲线方程可记为：,z,=,z,(,t,),，,a,t,b,有限条光滑曲线相连接组成一条分段光滑曲线.,2.1,11/34,11,2.2 重点,设连续曲线C：,z,=,z,(,t,)，,a,t,b,，,对于,t,1,(,a,，,b,),t,2,a,b,当t,1,t,2,时，若,z,(,t,1,)=,z,(,t,2,)，,称,z,(,t,1,)为曲线C重点.,2.3定义,称,没有重点,连续曲线C为简单曲线或 Jordan曲线;若简单曲线C 满足,z,(,a,)=,z,(,b,)时，则称此曲线C是简单,闭,曲线或Jordan,闭,曲线.,z,(,a,)=,z,(,b,),简单闭曲线,z,(,t,1,)=,z,(,t,2,),不是简单闭曲线,12/34,12,3.单连通域与多连通域,2.4 简单闭曲线性质,任一条简单闭曲线 C：,z,=,z,(,t,)，,t,a,，,b,，把复,平面唯一地分成三个互不相交部分：一个是有,界区域，称为C内部；一个是无界区域，称为,C外部；还有一个是它们公共边界.,z,(,a,)=,z,(,b,),C,z,(,a,)=,z,(,b,),内部,外部,边界,定义,复平面上一个区域 B，,假如B内任何简单闭曲线,内部总在B,内,，就称 B为单连通,域；非单连通域称为多连通域.,13/34,13,例,|z|1是多连通区域.,注：1.多连通区域一个显著特点：内部含有洞或,裂缝.,2.任一简单闭曲线将复平面分为内、外两部分，内部单连通，外部多连通.,3.属于单连通区域D内任何一条简单闭曲线，在D内能够经过连续变形而缩成一点.,单连通区域,多连通区域,14/34,14,5 复变函数极限与连续性,1、复变函数定义,定义,设,G,是一个复数,z,=,x,+,iy,集合,假如有一个确定法则存在,按照这一法则,对于集合,G,中每一个复数,z,就有一个或几个复数,w,=,u,+,iv,与之对应,则称复变数,w,是复变数,z,函数(简称,复变函数,),记作：,w,=,f,(,z,).,假如,z,一个值对应着,w,一个值,则函数,f,(,z,)是,单值,;不然就是,多值,.集合,G,称为,f,(,z,),定义集合,对应于,G,中全部,z,对应一切,w,值所成集合,G,*,称为,函数值集合,.,15/34,15,在以后讨论中,定义集合,G,经常是一个平面区域,称之为,定义域,而且,如无尤其申明,所讨论函数均为,单值函数,.因为给定了一个复数,z,=,x,+,iy,就相当于给定了两个实数,x,和,y,而复数,w,=,u,+,iv,亦一样地对应着一对实数,u,和,v,所以,复变函数,w,和自变量,z,之间关系,w,=,f,(,z,),相当于两个关系式:,u,=,u,(,x,y,),v,=,v,(,x,y,),它们确定了自变量为,x,和,y,两个二元实变函数,.,16/34,16,如:,2、,映射,：,映射是当代数学中 一个惯用概念.,A,B,a,b,。,。,定义,：若对集合A中任一元素a，按照某种对应关系,f，,总有集B中元素b相对应，则称,f,是集合A到集合B一个映射，记为f:a,b，a、b分别称为映射,原象,和,象.,17/34,17,o,x,y,(,z,),G,o,u,v,(,w,),G,G*,w=f,(,z,),在几何上，,w=f,(,z,)能够看作：,定义域,函数值集合,z,w=f,(,z,),w,18/34,18,例1 考查,映射性质.,解：记原象点,，,则象点,所以，象点与原象点相比，模是原来平方，幅角是,原来二倍.除此而外,我们还不难发觉，这一映射还含有,这么特征：,将顶点在原点角形域映成角形域，只不过夹角扩大为二倍.,如：将z平面第一象限映成w平面一、二象限,即上半平面;将单位圆映成单位圆.,所以在该映射下,19/34,19,图示,o,x,y,(z,),o,u,v,(w,),o,x,y,(z,),o,u,v,(w,),R=2,R=4,20/34,20,例2.函数,把z平面上曲线,映成w平面什么曲线?,解：原曲线方程为：,记,则,-这就是象曲线实参数方程.,消去参数，得,这是一个圆周.,于是象曲线方程为：,思索:,曲线,在映射,像是何图形?,21/34,21,3、复变函数反函数,定义,设,w,=,f,(,z,)定义集合为G,函数值集合为G,*,G*中,每一个点w必将对应着G中点.按照函数定义，在G*上,就确定了一个单值（或多值）函数，它称为,w,=,f,(,z,),反函数，也称为映射,w,=,f,(,z,),逆映射.,则称,z,=,(,w,)为,w,=,f,(,z,),反函数,（逆映射）.,当它们都是单射时,称为,一一对应.,22/34,22,4、函数极限,定义,u,v,(,w,),o,A,x,y,(,z,),o,几何意义,:,当变点z一旦进,入,z,0,充分小去,心邻域时,它象,点,f,(,z,)就落入A,一个预先给定,邻域中.,23/34,23,注,：从形式上来看，复变函数极限定义与一元实函数,是完全类似，但实际上二者有很主要区分.主要是因为在复平面上，变量z趋于z,0,方式有没有穷各种，能够从不一样方向，既能够沿直线，也能够沿曲线.这一点跟二元函数极限有相同之处.,所以，,假如仅凭某几个特殊方向，还不能判断极限存在。,假如方向不一样，改变趋势也不一样，则极限一定不存在.,比如讨论当,时,24/34,24,相关性质,定理主要意义在于将复变函数极限问题转化为两个二元实函数极限问题，这是在高等数学中已经讨论过问题.,25/34,25,证实：,26/34,26,反过来,27/34,27,5、函数连续性,定理2,28/34,28,由此，复函数连续性问题也转化为对应实问题.,本定理证实可依据定理1马上得到.,相关性质,29/34,29,依据定理2和定理3还可推得:,定理4.1)连续函数和、差、积、商(分母不为零),仍是连续函数.,2)连续函数复合函数还是连续函数.,2.在闭曲线或包含曲线端点在内曲线段上连续函数在曲线上是有界.,3.因普通复数不能比较大小，故实连续函数最大、最小值定理，介值定理不再成立.,注：,1.,函数,f,(,z,),在曲线,C,上,z,0,点处连续意义是指,30/34,30,31/34,31,32/34,32,思索题：,33/34,33,本讲小结,1、复数运算,2、平面点集中几个概念,3、复变函数概念,4、连续函数性质,34/34,34,
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