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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,第三章 刚体的转动和流体的运动,第1页,第三章 刚体转动与流体运动,3-1,刚体模型及其运动,3-2,力矩 转动惯量 定轴转动定律,3-,3,定轴转动中功效关系,3-4,定轴转动刚体角动量定理,和角动量守恒定律,3-5,进动,3-6,理想流体模型 定常流动 伯努利方程,3-7,牛顿力学内在随机性 混沌,第2页,3.1,刚体模型及其运动,一、刚体,特殊质点系，,理想化模型,形状和体积不改变,在力作用下，组成物体全部质点间距离一直保持不变,二、自由度,确定物体位置所需要独立坐标数,物体自由度数,s,O,i=,1,x,y,z,O,(,x,y,z,),i=,3,i=,2,x,y,z,O,i=,3+2+1=6,当刚体受到一些限制,自由度降低,第3页,刚体运动时，若在刚体内所作任一条直线都一直保持和本身平行,三、刚体平动,刚体平动,平动特点,(1),刚体中各质点运动情况相同,(2),刚体平动可归结为质点运动,所以刚体内任何一个质点运动，都可代表整个刚体运动。,第4页,3-2,力矩 转动惯量 定轴转动定律,z,M,I,II,P,一、描述刚体绕定轴转动角量,刚体平动和绕定轴转动是刚体两种最简单最基本运动,刚体内各点都绕同一直线,(,转轴,),作圆周运动,_,刚体转动,转轴固定不动,定轴转动,定轴转动特点：,（,1,）角位移，角速度和角加速度均相同；,（,2,）质点在垂直转轴各自平面内运动作半径不一样圆周运动。,1,、角坐标、角速度 角加速度,第5页,2,、定轴转动刚体上各点速度和加速度,定轴,P,刚体,参考方向,z,O,r,基点,O,瞬时轴,任意点都绕同一轴作圆周运动,且,，,都相同,第6页,二、力矩,力,改变刚体转动状态,刚体取得角加速度,质点取得加速度,改变质点运动状态,？,A,1,、力 对 点力矩,对于过,O,点,Z,轴，力矩可分解为两个分量,定义：,大小：,方向：垂直 组成平面,SI,：,Nm,h,第7页,（,2,）,（,1,）,大小：,A,h,平行于,z,轴,不产生对,z,轴力矩,在转动平面内,产生对,z,轴力矩,2,、,力 对转轴,Z,力矩,定义：,方向：沿,z,轴正或负方向,讨论,？,注,:,在定轴动问题中，如不加说明，所指力矩是指力在转动平面内分力对转轴力矩。,注,:,对转轴力矩为零，在定轴转动中不予考虑。,第8页,O,对刚体中任一质量元,-,外力,-,内力,O,（,3,）力对任意点力矩，在经过该点任一轴上投影等于该力对该轴力矩,（,4,）在详细坐标系中，力矩在各坐标轴分量，就叫对轴力矩。,3,、刚体合,力矩,内力对定点力矩之和为零,？,第9页,(1),力对点力矩,O,.,(2),力对定轴力矩矢量形式,(3),力对任意点力矩，在经过该点任一轴上投影，等于该力对该轴力矩,小结,在刚体定轴转动中，力矩只有两个指向,h,A,A,(4),刚体协力矩,第10页,x,L,O,M,y,例,已知棒长,L,质量,M,，在摩擦系数为,桌面转动,(,如图,),解,x,d,x,T,T,比如,T,T,在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算,求 摩擦力对,y,轴力矩,第11页,刚体转动定律,作用在刚体上全部外力对,定轴,z,轴力矩代数和,刚体对,z,轴,转动惯量,(1),M,正比于,，,力矩越大,，,刚体,越大,(2),力矩相同，若转动惯量不一样，产生角加速度不一样,三、刚体对定轴转动定律,试验证实,当,M,为零时，则刚体保持静止或匀速转动,当存在,M,时，,与,M,成正比，而与,J,成反比,(3),与牛顿定律比较：,讨论,在国际单位中,k,=1,强调：均对同一转轴而言,第12页,O,理论推证,取一质量元,切线方向,对固定轴力矩,对全部质元,合内力矩,=,0,合外力矩,M,刚体转动惯量,J,写成矢量式：,强调：均对同一转轴而言,第13页,四、转动惯量,1,、转动惯量定义式,:,（质量不连续分布）,（质量连续分布）,转动惯量三要素,:(1),总质量,(2),质量分布,(3),转轴位置,J,物理意义：转动中物体惯性量度,定轴转动定律在转动问题中地位相当于平动时牛顿第二定律,则称,r,G,为刚体对该定轴回转半径,第14页,(1),J,与刚体总质量相关,比如细棒绕端点轴转动惯量,L,z,O,x,d,x,M,(2),J,与质量分布相关,比如圆围绕中心轴旋转转动惯量,比如圆盘绕中心轴旋转转动惯量,d,l,O,m,R,O,m,r,d,r,R,第15页,O,L,x,d,x,M,z,L,O,x,d,x,M,2,、平行轴定理及,垂直轴定理,z,h,C,M,z,z,(3),J,与转轴位置相关,平行轴定理,:,刚体绕任意轴转动惯量,:,刚体绕经过质心轴,:,两轴间垂直距离,第16页,此定理只适合用于平面薄板状物体，并限于板内两轴相互垂直，,Z,轴与板面正交,。,垂直轴定理,(,薄板,),x,y,轴在薄板内；,z,轴垂直,薄板,例 计算钟摆转动惯量。,已知：摆锤质量,m,，半径,r,，摆杆质量,m,，长度,2r,r,o,解：,摆杆：,摆锤：,钟摆：,第17页,强调：,J,和转轴相关,同一个物体对不一样转轴转动惯量是不一样,o,o,平行轴,o,o,第18页,A,h,大小：,2,、,力 对转轴,Z,力矩,定义：,方向：沿,z,轴正或负方向,小 结,1,、力 对 点力矩,定义：,二、转动定律,三,.,转动惯量,一、力矩,3,、刚体合,力矩,定轴转动定律在转动问题中地位相当于平动时牛顿第二定律,应用转动定律解题步骤与牛顿第二定律时完全相同。,第19页,(1),飞轮角加速度,(2),如以重量,P,=98 N,物体挂在绳端，试计算飞轮角加速度,解,(1),(2),二者区分,五、转动定律应用举例,例,1,求,一轻绳绕在半径,r,=20 cm,飞轮边缘，在绳端施以,F,=98 N,拉力，飞轮转动惯量,J,=0.5 kgm,2,，飞轮与转轴间摩擦不计，,(,见图,),第20页,例,2,一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳两端分别悬有质量为,m,1,和,m,2,物体,1,和,2,，,m,1,m,2,如图所表示。设滑轮质量为,m,，半径为,r,，所受摩擦阻力矩为,M,。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体加速度和绳张力。,m,1,m,2,a,T,2,T,1,T,1,T,2,G,2,G,1,a,a,m,1,m,2,解,:,第21页,第22页,当不计滑轮质量及摩擦阻力矩，有,这种装置叫,阿特伍德机,，是一个可用来测量重力加速度,g,简单装置。,已知,m,1,、,m,2,、,r,和,J,，经过试验测物体,1,和,2,加速度,a,，算出,g,。在试验中可使两物体,m,1,和,m,2,相近，从而使它们加速度,a,和速度,v,都较小，这么就能角准确地测出,a,来。,第23页,取,3-3,定轴转动中功效关系,一、刚体动能,z,O,设系统包含有,N,个质量元,其动能为,各质量元速度不一样，但角速度相同,刚体总动能,P,绕定轴转动刚体动能等于刚体对转轴转动惯量与其角速度平方乘积二分之一,结论,（刚体转动动能）,第24页,二、力矩功,O,1,、力矩功定义,2,、力矩作功微分形式,对一有限过程,若,M=C,(,积分形式）,力累积过程,力矩空间累积效应,.,P,讨论,(1),协力矩功,第25页,三、转动动能定理,力矩功效果,对于一有限过程,绕定轴转动刚体在任一过程中动能增量，等于在该过程中作用在刚体上全部外力所作功总和。,这就是绕定轴转动刚体,动能定理,(3),力矩功就是力功。,(2),力矩功就是协力矩功；内力矩作功之和为零。,力矩元功,第26页,刚体机械能,刚体重力势能,刚体机械能,质心势能,刚体机械能守恒,对于包含刚体系统，功效原理和机械能守恒定律仍成立,四、刚体重力势能,第27页,例,1,一根长为,l,，质量为,m,均匀细直棒，可绕轴,O,在竖直平面内转动，初始时它在水平位置,解：,由动能定理,求 它由此下摆,角时,此题也可用机械能守恒定律方便求解,O,l,m,C,x,第28页,图示装置可用来测量物体转动惯量。待测物体,A,装在转动架上，转轴,Z,上装二分之一径为,r,轻鼓轮，绳一端缠绕在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为,m,重物。重物下落时，由绳带动被测物体,A,绕,Z,轴转动。今测得重物由静止下落一段距离,h,，所用时间为,t,，,例,2,求：物体,A,对,Z,轴转动惯量,Jz,。设绳子不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴处摩擦力矩忽略不计。,解,分析（机械能）：,第29页,若滑轮质量不可忽略，怎样？,机械能守恒,第30页,质点角动量,刚体绕定轴转动角动量,质点角动量守恒定律,质点角动量定理,刚体角动量守恒定律,质点,刚体,刚体绕定轴转动角动量定理,3-4,角动量定理和角动量守恒定律,第31页,一、质点角动量,(,动量矩,),定理和角动量守恒定律,1.,质点角动量,(,对,O,点,),大小,:,质点角动量与质点动量及,位矢相关。,(,取决于固定点选择,),特例：质点作圆周运动,3-4,角动量定理和角动量守恒定律,说明,在,惯性参考系中,O,S,惯性参考系,(2),当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点,O,角动量也称为质点对过,O,垂直于运动平面轴角动量。,方向：垂直 组成平面,SI:,第32页,O,S,(3),质点对某点角动量,在经过该点任意轴上投影就等于质点对该轴角动量,例,一质点,m,，速度为,v,，如图所表示，,A,、,B,、,C,分别为三个参考点,此时,m,相对三个点距离分别为,d,1,、,d,2,、,d,3,求 此时刻质点对三个参考点角动量,m,d,1,d,2,d,3,A,B,C,解,(4),对轴角动量,在详细坐标系中，角动量在各坐标轴分量，就叫对轴角动量。,第33页,(,质点角动量定理积分形式,),(,质点角动量定理微分形式,),质点所受协力矩冲量,矩,等于质点角动量增量,2.,质点角动量定理,说明,(1),冲量矩是质点角动量改变原因,(2),质点角动量改变是力矩对时间积累结果,称为在时间 内冲量矩，它表示了力矩在一段时间间隔内累积效应。,第34页,3.,质点角动量守恒定律,(2),通常对有心力：,比如,由角动量守恒定律可导出行星运动开普勒第二定律,(1),角,动量守恒定律是物理学基本定律之一，它不但适合用于宏观体系，也适合用于微观体系，且在高速低速范围均适用,讨论,m,行星对太阳位矢在相等时间内扫过相等面积,过,O,点，,M=,0,，角动量守恒,第35页,当飞船静止于空间距行星中心,4,R,时，以速度,v,0,发射一,求：,角及着陆滑行初速度多大？,解,引力场（有心力）,质点角动量守恒,系统机械能守恒,例 发射一宇宙飞船去考查一 质量为,M,、半径为,R,行星，,质量为,m,仪器。要使该仪器恰好擦过行星表面,第36页,二、质点系角动量定理和角动量守恒定律,质点系对参考点,O,角动量就是,质点系全部质点对同一参考点角动量矢量和,1,、质点系角动量,=0,2,、质点系角动量定理,第37页,质点系角动量定理,微分形式,积分形式,质点系所受合外力矩冲量矩等于质点系角动量增量。,质点系内力矩不能改变质点系角动量,说明：,=0,第38页,3.,质点系角动量守恒定律,对质点,系,三、刚体定轴转动角动量定理和角动量守恒定律,1.,刚体定轴转动角动量,O,假如作用在质点系合外力矩沿某轴投影为零,则沿此轴角动量守恒,如,刚体上各质点都含有相同方向，合矢量大小就是分矢量大小直接相加,(,全部质元角动量之和,),刚体上任一质点对,Z,轴角动量：,第39页,2.,刚体定轴转动角动量定理,由转动定律,（角动量定理,积分形式）,定轴转动刚体所受合外力矩冲量矩等于其角动量增量,说明,3.,刚体定轴转动角动量守恒定律,对,定轴转动刚体,角动量定理微分形式,（,1,）对于绕固定转轴转动刚体，因,J,保持不变，当合外力矩为零时，其角速度恒定。,=,恒量,=,恒量,第40页,(b),当,变形体所受合外力矩为零时，变形体角动量也守恒,如：花样滑冰、跳水、芭蕾舞等,(a),变形体绕某轴转动时，若其上各点,(,质元,),转动角速度相同，则变形体对该轴角动量,（,2,）,若系统由若干个刚体组成（系统内可能现有平动也有转动），若系统对某一定轴合外力矩为零,则系统对该轴角动量守恒。如变形体：,第41页,4,、力矩瞬时作用规律,力矩连续作用规律,守恒定律,（分析某一时刻合外力矩与转动状态关系）,（分析过程特点，选取始末状态）,（判断守恒条件）,例,如此衔接，角动量守恒吗？,转动定律 微积分法,动能和角动量定理,角动量守恒定理,第42页,一、运动学,描写刚体转动物理量,1,、角量：,线量：,微积分关系,2,、角量与线量关系,3,、方向：右手螺旋法,与,关系：,4,、匀角加速转动公式,小 结,3,第43页,二、动力学,1,、基本概念：,力矩：,转动惯量：,转动动能：,转动角动量：,定轴转动：,（定点、定轴）,（定点）,2,、基本定理：,转动定律：,（定轴转动中力矩瞬时作用规律）,第44页,转动动能定理：,角动量定理：,力矩连续作用规律,功效原理：,守恒定律：,时，守恒,时，守恒,3,、解题思绪：,平动部分：分析外力,转动部分：分析力矩,平动与转动联络：角量和线量关系,（隔离分析方法）,第45页,直线运动与定轴转动规律对照,质点直线运动,刚体定轴转动,定轴转动刚体角动量守恒定律,第46页,圆锥摆,子弹击入杆,以子弹和杆为系统,机械能,不,守恒,.,角动量守恒；,动量,不,守恒；,以子弹和沙袋为系统,水平方向动量守恒；,角动量守恒；,机械能,不,守恒,.,圆锥摆系统,动量,不,守恒；,角动量守恒；,机械能守恒,.,子弹击入沙袋,细绳质量不计,下面各系统动量、角动量和机械能是否守恒？,讨论,第47页,例,1,质点与质量均匀细棒相撞,(,如图,),解：过程,1,质点与细棒相碰撞。碰撞过程中系统对,o,点协力矩为,设，完全非弹性碰撞,求：棒摆最大角度,所以，系统对,o,点角动量守恒。即，,细棒势能,过程,2,质点、细棒上摆，系统中包含地球，只有保守内力作功，所以机械能守恒。设末态为势能零点,质点势能,第48页,补充：一长为,l,、质量为,m,匀质细杆，可绕光滑轴,O,在铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为,m,0,子弹水平射入与轴相距为,a,处杆内，并留在杆中，使杆能偏转到,q,=30,0,，求子弹初速,v,0,。,解：分两个阶段进行考虑,(1),子弹射入细杆,使细杆取得初速度。因这一过程进行得很快,细杆发生偏转极小,可认为杆仍处于竖直状态。子弹和细杆组成待分析系统,对于轴,O,无外力矩,满足角动量守恒条件。子弹射入细杆前、后一瞬间,系统角动量分别为,由角动量守恒,:,第49页,(2),子弹随杆一起绕轴,O,转动。以子弹、细杆及地球组成一系统，只有保守内力作功，机械能守恒。选取细杆处于竖直位置时子弹位置为重力势能零点，系统在始末状态机械能为：,势能零点,由机械能守恒，,E=E,0,代入,q,=,30,0,，,得：,第50页,例,2:,有一细棒长为 质量为 均匀分布，静止放在滑动摩擦系数为 水平桌面上，它可绕经过其端点 ，且与桌面垂直固定光滑轴转动，另有一水平运动小滑块，质量为 ，以水平速度 从左侧垂直与棒另一端作完全弹性碰撞，碰撞时间极短（可忽略摩擦）。求从细棒在碰撞后开始转动到停顿转动过程中所经历时间。,o,解：,设角动量向上方向为正，碰撞瞬间：,机械能守恒,在棒上取质量元 ，离轴 距离为,又由角动量定理,第51页,例,3,：,人造地球卫星绕地球作椭圆运动，地心在其一焦点,O,上，如图所表示。已知轨道近地点,P,距地面,145,公里。远地点,A,距地面,151,公里，地球半径,R=6400,公里。试求卫星在近地点,P,动能与其在远地点,A,动能比值。,解：设人造地球卫星质量为 ，人造卫星对 点角动量守恒。,而卫星在,P,、,A,两点动能之比为：,第52页,例题,3-12,工程上，两飞轮惯用摩擦啮合器使它们以相同转速一起转动。如图所表示，,A,和,B,两飞轮轴杆在同一中心线上，,A,轮转动惯量为,J,A,=10kg,m,2,，,B,转动惯量为,J,B,=20kg,m,2,。开始时,A,轮转速为,600r/min,，,B,轮静止。,C,为摩擦啮合器。求两轮啮合后转速；在啮合过程中，两轮机械能有何改变？,A,A,C,B,A,C,B,解：,系统角动量守恒,第53页,补充：,A,、,B,两圆盘绕各自中心轴转动，角速度分别为：,w,A,=50,rad,.,s,-1,w,B,=200,rad,.,s,-1,。已知,A,圆盘半径,R,A,=0.2m,质量,m,A,=2kg,B,圆盘半径,R,B,=0.1m,质量,m,B,=4kg.,试求两圆盘对心衔接后角速度,w,.,解：以两圆盘为系统，尽管在衔接过程中有重力、轴对圆盘支持力及轴向正压力，但他们均不产生力矩；圆盘间切向摩擦力属于内力。所以系统角动量守恒，得到,第54页,例题,3-13,恒星晚期在一定条件下，会发生超新星暴发，这时星体中有大量物质喷入星际空间，同时星内核却向内坍缩，成为体积很小中子星。中子星是一个异常致密星体，一汤匙中子星物体就有几亿吨质量！设某恒星绕自转轴每,45,天转一周，它内核半径,R,0,约为,2,10,7,m,，坍缩成半径,R,仅为,6,10,3,m,中子星。试求中子星角速度。坍缩前后星体内核均看作是匀质圆球。,解,在星际空间中，恒星不会受到显著外力矩，所以恒星角动量应该守恒，则它内核在坍缩前后角动量,J,0,0,和,J,应相等。因,代入,J,0,0,=J,中，整理后得：,第55页,原来系统对中心轴角动量近似地等于飞船本身角动量，即,例题,3-14,图中宇宙飞船对其中心轴转动惯量为,J=2,10,3,kg,m,2,，它以,=0.2rad/s,角速度绕中心轴旋转。宇航员用两个切向控制喷管使飞船停顿旋转。每个喷管位置与轴线距离都是,r=1.5m,。两喷管喷气流量恒定，共是,=2kg/s,。废气喷射速率（相对于飞船周围）,u=50m/s,，而且恒定。问喷管应喷射多长时间才能使飞船停顿旋转。,r,d,m,/2,d,m,/2,u,-,u,L,0,L,g,解,喷出气体对中心轴角动量为,dm,r(u+v),近似地等于,dm,ru,。,第56页,例,1,如图所表示，弹簧（,l,0,，,k,）一端固定在一光滑水平面,O,点，,另一端系一质量为,m,小球。开始时，弹簧被拉长,x,，即,l,l,0,x,，此时给小球一个与弹簧垂直初速度,0,，,求：当弹簧恢复原长,l,0,时，小球速度,解,小球绕,O,点转动，,但并非圆周运动,小球弹簧：机械能,E,守恒,小球运动过程中受有心力作用，角动量,L,守恒,第57页,如图所表示，细杆（,l,，,m,）可绕端点,O,水平轴转动，从水平位置自由释放，在竖直位置与物体,M,相碰，物体与地面摩擦系数为,，相撞后，物体沿水平地面滑行一段,s,后停顿，,例,2,求：碰后杆质心,C,离地最大高度，并说明杆向左右摆条件,解,（,1,）自由下落过程,（,E,守恒）,（,2,）杆物相碰,（,L,守恒）,第58页,（,3,）碰后物体滑动,（动能定理）,杆向右摆,杆向左摆,（,4,）碰后杆摆动,（,E,守恒）,第59页,如图所表示，细杆（,l,，,m,1,）可绕端点,O,转动，与水平桌面摩擦系数为,。有一运动滑块,m,2,，以速度,1,与静止杆另一端点垂直相碰，,t,极短，碰后速度,2,与,1,反向，,例,3,求：细杆从碰后到停下来经历时间,t,解：,m,1,与,m,2,相碰，动量不守恒，,但角动量守恒,碰后角速度,细杆在平面内移动时受到阻力（摩擦力）矩：,第60页,方法一：,转动定理,（匀角加速）,方法二：,角动量定理,第61页,如图所表示，质量为,m,物体挂在匀质圆盘（,M,，,R,）边缘，盘可绕水平光滑轴转动，起初在圆盘上加一恒力矩，使物体以,0,匀速上升，如去掉所加恒力矩，经历多少时间圆盘开始作反向转动？,例,4,解法一：,转动定理,M,转动：,m,平动：,恒定加速度,第62页,解法二：,功效原理,研究对象：,M,m,地球,E,守恒,取初态位置为重力势能零点,解法三：,角动量定理,第63页,例,5,质量为,mA,物体,A,静止在光滑水平面上,和一质量不计绳索相连接,绳索跨过二分之一径为,R,质量为,mC,圆柱形滑轮,C,并系在另一质量为,mB,物体,B,上,.,滑轮与绳索间没有滑动,且滑轮与轴承间摩擦力可略去不计,.,(3),若滑轮与轴承间摩擦力不能忽略，并设它们间摩擦力矩为,M,f,再求线加速度及绳张力,.,(2),物体,B,从静止落下距离,y,时,其速率是多少,?,A,B,C,问,:(1),两物体线加速度为多少,?,水平和竖直两段绳索张力各为多少？,第64页,A,B,C,解 （,1,）隔离,第65页,A,B,C,取坐标如图,列方程：,第66页,A,B,C,方程简化得：,如,第67页,(3),考虑滑轮与轴承间摩擦力矩,(2),B,由静止出发作匀加速直线运动,下落速率,第68页,A,B,C,第69页,如图所表示,例,解析：,（平动转动）,隔离分析受力（矩）,要求正方向：逆时针,平动：分析受力,转动：分析力矩,线量与角量关系：,六个未知数，六个方程，可求解,T,1,，,T,2,，,T,3,，,a,，,1,，,2,第70页,例,6,二分之一径为,R,，质量为,m,匀质圆盘，平放在粗糙水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为,，令圆盘最初以角速度,0,绕经过中心且垂直盘面轴旋转，问它经过多少时间才停顿转动？,r,R,d,r,0,d,e,解 因为摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在,整个圆盘与桌子接触面上，力矩计算要用积分,法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元,质量,dm=,rd,dre,，所受到阻力矩是,r,dmg,。,第71页,此处,e,是盘厚度。圆盘所受阻力矩就是,因,m=,e,R,2,，代入得,依据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即取得负角加速度,.,设圆盘经过时间,t,停顿转动，则有,由此求得,第72页,例,7,一质量为,m,，长为,l,均质细杆，转轴在,o,点，距,A,端,l,/3,。今使棒从静止开始由水平位置绕,o,点转动，求：（,1,）水平位置角速度和角加速度。（,2,）垂直位置时角速度和角加速度。,解：,c,o,B,A,（,1,）,棒对于,O,轴转动惯量为：,水平位置时：,由定轴转动定律可得：,第73页,c,o,B,A,（,2,）,由定轴转动定律：,任意位置时：,积分得：,此时角速度为：,角加速度为：,第74页,例,8.,质量为,M，,半径为,R,转台，可绕中心轴转动。转台与轴间摩擦不计，设质量为,m,人站在台边缘。初始时人、台都静止。若人相对台匀速率沿边缘行走一周，问：相对地面，人和台各转过多少角度？,解：,人：,设对地角速度,台：,设对地角速度,角动量守恒：,人相对于转台角速度：,人跑一周所需时间：,人：,台：,第75页,
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